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1. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，则点O是$△ ABC$的 （
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
B
）A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先明确题干核心：求三角形内切圆圆心的性质。首先回忆内切圆的特征：内切圆与三角形三边都相切，因此圆心到三边的距离相等，都等于内切圆半径。再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在角的平分线上，即可推导圆心的位置，最后结合各选项对应点的性质排除错误答案即可。
【解析】
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴点$O$到$△ ABC$三边的距离相等，都等于内切圆的半径。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点在该角的角平分线上。
因此到$△ ABC$三边距离都相等的点$O$，同时在$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的角平分线上，即点$O$是$△ ABC$三条角平分线的交点。
再逐一判断选项：
A选项：三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，为外接圆圆心，到三个顶点的距离相等，不符合要求；
B选项符合推导结论，正确；
C选项：三条中线的交点是三角形的重心，不符合要求；
D选项：三条高的交点是三角形的垂心，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内切圆性质，角平分线的性质，三角形特殊点定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分三角形内心、外心、重心、垂心的定义和性质，牢记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时先明确题干核心：求三角形内切圆圆心的性质。首先回忆内切圆的特征：内切圆与三角形三边都相切，因此圆心到三边的距离相等，都等于内切圆半径。再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，到角两边距离相等的点在角的平分线上，即可推导圆心的位置，最后结合各选项对应点的性质排除错误答案即可。
【解析】
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴点$O$到$△ ABC$三边的距离相等，都等于内切圆的半径。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点在该角的角平分线上。
因此到$△ ABC$三边距离都相等的点$O$，同时在$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的角平分线上，即点$O$是$△ ABC$三条角平分线的交点。
再逐一判断选项：
A选项：三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，为外接圆圆心，到三个顶点的距离相等，不符合要求；
B选项符合推导结论，正确；
C选项：三条中线的交点是三角形的重心，不符合要求；
D选项：三条高的交点是三角形的垂心，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内切圆性质，角平分线的性质，三角形特殊点定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分三角形内心、外心、重心、垂心的定义和性质，牢记相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.9
2. 如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（
A.$15°$
B.$17.5°$
C.$20°$
D.$25°$
C
）A.$15°$
B.$17.5°$
C.$20°$
D.$25°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先利用三角形内心的性质，由已知∠CAI的度数求出∠BAC的度数；再根据圆周角定理，得到同弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；最后结合OB=OC，利用等腰三角形的内角和性质即可计算出∠OBC的度数。
【解析】
1.
∵点I是△ABC的内心，内心是三角形内角角平分线的交点，
∴IA平分∠BAC，
∵∠CAI=35°，
∴∠BAC=2∠CAI=2×35°=70°。
2.
∵点O是△ABC外接圆的圆心，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴弧BC对应的圆心角∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°。
3.
∵OB、OC都是外接圆的半径，
∴OB=OC，△OBC为等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB=(180°-∠BOC)÷2=(180°-140°)÷2=20°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是区分三角形外心和内心的性质，结合圆周角定理和等腰三角形的角度计算规则即可求解，是圆与三角形结合的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时先利用三角形内心的性质，由已知∠CAI的度数求出∠BAC的度数；再根据圆周角定理，得到同弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；最后结合OB=OC，利用等腰三角形的内角和性质即可计算出∠OBC的度数。
【解析】
1.
∵点I是△ABC的内心，内心是三角形内角角平分线的交点，
∴IA平分∠BAC，
∵∠CAI=35°，
∴∠BAC=2∠CAI=2×35°=70°。
2.
∵点O是△ABC外接圆的圆心，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴弧BC对应的圆心角∠BOC=2∠BAC=2×70°=140°。
3.
∵OB、OC都是外接圆的半径，
∴OB=OC，△OBC为等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB=(180°-∠BOC)÷2=(180°-140°)÷2=20°。
【答案】
C
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是区分三角形外心和内心的性质，结合圆周角定理和等腰三角形的角度计算规则即可求解，是圆与三角形结合的常见考法。
【难度系数】
0.7
3. (2025·宁夏)如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，$∠ A=54°$，则$∠ BOC=$
117
°。答案
3. 117
解析
【分析】
解题思路如下：首先，⊙O是△ABC的内切圆，可知点O是△ABC的内心，即三角形三条角平分线的交点，因此BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB；其次，利用三角形内角和定理先求出∠ABC与∠ACB的和，再结合角平分线的性质求出∠OBC与∠OCB的和；最后，再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，即BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-54°=126°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×126°=63°$。
在△BOC中，由三角形内角和定理得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-63°=117°$。
【答案】
117
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形内心的性质，结合角平分线定义与三角形内角和定理即可求解，熟练掌握内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，⊙O是△ABC的内切圆，可知点O是△ABC的内心，即三角形三条角平分线的交点，因此BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB；其次，利用三角形内角和定理先求出∠ABC与∠ACB的和，再结合角平分线的性质求出∠OBC与∠OCB的和；最后，再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴点O是△ABC的内心，即BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-54°=126°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×126°=63°$。
在△BOC中，由三角形内角和定理得：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-63°=117°$。
【答案】
117
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形内心的性质，结合角平分线定义与三角形内角和定理即可求解，熟练掌握内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=70°$,$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$AB$,$BC$分别相切于点$D$,$E$,连接$DE$,$AO$的延长线交$DE$于点$F$,则$∠ AFD=$
35°
.答案
4. 35°
解析
【分析】
解题时先从内切圆的性质入手：内切圆圆心是三角形的角平分线交点，且圆心与切点的连线垂直于切线，由此得到AO平分∠CAB，OD⊥AB、OE⊥BC；再通过四边形内角和推导∠DOE与∠B的关系，结合等腰三角形性质得到∠ODE的度数；最后在△AFD中利用三角形内角和定理，将角度转化为与∠C相关的表达式，代入数值即可求出结果。
【解析】
解：连接OD、OE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO平分∠CAB，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴$∠ OAD = \frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ ODA=∠ OEB=90°$，
在四边形ODBE中，内角和为$360°$，
∴$∠ DOE + ∠ ODB + ∠ B + ∠ OEB = 360°$，
代入$∠ ODB=∠ OEB=90°$，得$∠ DOE = 180° - ∠ B$，
∵OD=OE，
∴△ODE为等腰三角形，
∴$∠ ODE = \frac{180° - ∠ DOE}{2} = \frac{180° - (180° - ∠ B)}{2} = \frac{1}{2}∠ B$，
∴$∠ ADF = ∠ ODA - ∠ ODE = 90° - \frac{1}{2}∠ B$，
在△AFD中，内角和为$180°$，
∴$∠ AFD = 180° - ∠ OAD - ∠ ADF$
$= 180° - \frac{1}{2}∠ CAB - (90° - \frac{1}{2}∠ B)$
$= 90° - \frac{1}{2}(∠ CAB + ∠ B)$，
∵在△ABC中，$∠ CAB + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，$∠ ACB=70°$，
∴$∠ CAB + ∠ B = 180° - 70° = 110°$，
代入得$∠ AFD = 90° - \frac{1}{2}×110° = 35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
三角形内切圆性质，角平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算类常考题，解题核心是熟练运用内切圆的相关性质进行角度转化，将未知角转化为已知角的表达式求解，对角度推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从内切圆的性质入手：内切圆圆心是三角形的角平分线交点，且圆心与切点的连线垂直于切线，由此得到AO平分∠CAB，OD⊥AB、OE⊥BC；再通过四边形内角和推导∠DOE与∠B的关系，结合等腰三角形性质得到∠ODE的度数；最后在△AFD中利用三角形内角和定理，将角度转化为与∠C相关的表达式，代入数值即可求出结果。
【解析】
解：连接OD、OE，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO平分∠CAB，OD⊥AB，OE⊥BC，
∴$∠ OAD = \frac{1}{2}∠ CAB$，$∠ ODA=∠ OEB=90°$，
在四边形ODBE中，内角和为$360°$，
∴$∠ DOE + ∠ ODB + ∠ B + ∠ OEB = 360°$，
代入$∠ ODB=∠ OEB=90°$，得$∠ DOE = 180° - ∠ B$，
∵OD=OE，
∴△ODE为等腰三角形，
∴$∠ ODE = \frac{180° - ∠ DOE}{2} = \frac{180° - (180° - ∠ B)}{2} = \frac{1}{2}∠ B$，
∴$∠ ADF = ∠ ODA - ∠ ODE = 90° - \frac{1}{2}∠ B$，
在△AFD中，内角和为$180°$，
∴$∠ AFD = 180° - ∠ OAD - ∠ ADF$
$= 180° - \frac{1}{2}∠ CAB - (90° - \frac{1}{2}∠ B)$
$= 90° - \frac{1}{2}(∠ CAB + ∠ B)$，
∵在△ABC中，$∠ CAB + ∠ B + ∠ ACB = 180°$，$∠ ACB=70°$，
∴$∠ CAB + ∠ B = 180° - 70° = 110°$，
代入得$∠ AFD = 90° - \frac{1}{2}×110° = 35°$。
【答案】
$35°$
【知识点】
三角形内切圆性质，角平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于角度计算类常考题，解题核心是熟练运用内切圆的相关性质进行角度转化，将未知角转化为已知角的表达式求解，对角度推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5. 如图，BC为$△ ABC$的外接圆$\odot O$的直径，点M为$△ ABC$的内心，连接AM并延长交$\odot O$于点D，连接CD.
（1）求$∠ BCD$的大小；
（2）若$CD=4$，求$DM$的值.
（1）求$∠ BCD$的大小；
（2）若$CD=4$，求$DM$的值.
答案
5. (1) $\because BC$为$△ ABC$的外接圆$\odot O$的直径,$\therefore ∠ BAC=90°$,$\because M$为$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=45°$,$\therefore ∠ BCD=∠ BAD=45°$.
(2) 如图,连接$CM$.$\because M$为$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$,$∠ ACM=∠ BCM$.$\because \overgroup{BD}=\overgroup{BD}$,$\therefore ∠ BAD=∠ BCD$,$\therefore ∠ DAC=∠ BCD$.$\because ∠ DMC=∠ DAC+∠ ACM$,$∠ DCM=∠ BCD+∠ BCM$,$\therefore ∠ DMC=∠ DCM$,$\therefore CD=DM$,$\therefore DM=CD=4$.
解析
【分析】
（1）求解∠BCD的度数：首先利用直径所对的圆周角为直角，得到∠BAC=90°；再结合三角形内心是内角角平分线交点的性质，可知AD平分∠BAC，得到∠BAD=45°；最后根据同弧所对的圆周角相等，即可推出∠BCD和∠BAD相等，得到∠BCD的度数。
（2）求解DM的长度：先连接CM，利用三角形内心的性质可得∠ACM=∠BCM，结合同弧所对圆周角相等的结论，可得∠DAC=∠BCD；再通过三角形外角的性质分别表示出∠DMC和∠DCM，可证两个角相等，得到△DMC为等腰三角形，即可推出DM=CD，代入已知CD的长度即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ BC为△ABC的外接圆$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAC=90°$，
∵ M为△ABC的内心，
∴ $∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=45°$，
∵ $∠ BCD$和$∠ BAD$均为$\overgroup{BD}$所对的圆周角，
∴ $∠ BCD=∠ BAD=45°$。
(2) 如图，连接$CM$。
∵ M为△ABC的内心，
∴ $∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ACM=∠ BCM$。
∵ $\overgroup{BD}=\overgroup{BD}$，
∴ $∠ BAD=∠ BCD$，
∴ $∠ DAC=∠ BCD$。
∵ $∠ DMC=∠ DAC+∠ ACM$，$∠ DCM=∠ BCD+∠ BCM$，
∴ $∠ DMC=∠ DCM$，
∴ $CD=DM$，
∵ $CD=4$，
∴ $DM=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$
(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
圆周角定理、三角形内心的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础综合题，核心考察基础定理的应用，解题关键是通过角的等量代换推导得到角相等的关系，侧重对学生几何逻辑推理能力的基础考察。
【难度系数】
0.7
（1）求解∠BCD的度数：首先利用直径所对的圆周角为直角，得到∠BAC=90°；再结合三角形内心是内角角平分线交点的性质，可知AD平分∠BAC，得到∠BAD=45°；最后根据同弧所对的圆周角相等，即可推出∠BCD和∠BAD相等，得到∠BCD的度数。
（2）求解DM的长度：先连接CM，利用三角形内心的性质可得∠ACM=∠BCM，结合同弧所对圆周角相等的结论，可得∠DAC=∠BCD；再通过三角形外角的性质分别表示出∠DMC和∠DCM，可证两个角相等，得到△DMC为等腰三角形，即可推出DM=CD，代入已知CD的长度即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ BC为△ABC的外接圆$\odot O$的直径，
∴ $∠ BAC=90°$，
∵ M为△ABC的内心，
∴ $∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC=45°$，
∵ $∠ BCD$和$∠ BAD$均为$\overgroup{BD}$所对的圆周角，
∴ $∠ BCD=∠ BAD=45°$。
(2) 如图，连接$CM$。
∵ M为△ABC的内心，
∴ $∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ACM=∠ BCM$。
∵ $\overgroup{BD}=\overgroup{BD}$，
∴ $∠ BAD=∠ BCD$，
∴ $∠ DAC=∠ BCD$。
∵ $∠ DMC=∠ DAC+∠ ACM$，$∠ DCM=∠ BCD+∠ BCM$，
∴ $∠ DMC=∠ DCM$，
∴ $CD=DM$，
∵ $CD=4$，
∴ $DM=4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$
(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
圆周角定理、三角形内心的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础综合题，核心考察基础定理的应用，解题关键是通过角的等量代换推导得到角相等的关系，侧重对学生几何逻辑推理能力的基础考察。
【难度系数】
0.7
6. 如图，点E是$△ ABC$的内心，AE的延长线和$△ ABC$的外接圆相交于点D.
（1）求证：$BD=DE$；
（2）连接OD交BC于点G，若$OD⊥ BC$，$DG=2$，$BC=10$，求圆的半径.
（1）求证：$BD=DE$；
（2）连接OD交BC于点G，若$OD⊥ BC$，$DG=2$，$BC=10$，求圆的半径.
答案
6. (1) 如图,连接$BE$,$\because$ 点$E$是$△ ABC$的内心,$\therefore ∠ ABE=∠ CBE$,$∠ BAD=∠ DAC$.$\because ∠ CAD=∠ CBD$,$\therefore ∠ BAD=∠ DBC$,$\therefore ∠ DBE=∠ DBC+∠ EBC$.$\because ∠ DEB=∠ ABE+∠ BAD$,$\therefore ∠ DBE=∠ DEB$,$\therefore BD=DE$；
(2) 连接$OD$,$OB$,由(1)可知,$∠ BAD=∠ DAC$,$\therefore \overgroup{BD}=\overgroup{CD}$,$\therefore OD$垂直平分$BC$,$\therefore BG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$,设$OD=OB=x$,则$OG=x-DG=x-2$,在$\mathrm{Rt}△ OBG$中,由勾股定理可得:$OG^2+BG^2=OB^2$,$\therefore (x-2)^2+5^2=x^2$,解得$x=\frac{29}{4}$,$\therefore$ 圆的半径为$\frac{29}{4}$.
解析
【分析】
（1）要证$BD=DE$，可通过证明$△ BDE$为等腰三角形，即证$∠ DBE=∠ DEB$。首先利用三角形内心是角平分线交点的性质，得到两组相等的角，再结合同弧所对圆周角相等进行角的转化，通过角的和差关系推导两角相等即可得证。
（2）求圆的半径时，先根据$OD⊥ BC$结合垂径定理得到$BG$的长度，连接$OB$后，设半径为未知数，在直角$△ OBG$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接$BE$，
$\because$ 点$E$是$△ ABC$的内心，
$\therefore ∠ ABE=∠ CBE$，$∠ BAD=∠ DAC$，
$\because ∠ CAD$和$∠ CBD$都是弧$CD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ CAD=∠ CBD$，即$∠ BAD=∠ DBC$，
$\because ∠ DBE=∠ DBC+∠ EBC$，$∠ DEB=∠ ABE+∠ BAD$，
$\therefore ∠ DBE=∠ DEB$，
$\therefore BD=DE$。
(2) 连接$OD$、$OB$，
由(1)可知$∠ BAD=∠ DAC$，
$\therefore \overgroup{BD}=\overgroup{CD}$，
$\therefore OD$垂直平分$BC$，
$\therefore BG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$，
设圆的半径为$x$，则$OD=OB=x$，
$\therefore OG=OD-DG=x-2$，
在$\mathrm{Rt}△ OBG$中，由勾股定理可得：$OG^2+BG^2=OB^2$，
$\therefore (x-2)^2+5^2=x^2$，
展开化简得：$-4x+29=0$，
解得$x=\frac{29}{4}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 圆的半径为$\frac{29}{4}$
【知识点】
三角形内心的性质、圆周角定理、垂径定理
【点评】
本题是三角形与圆的综合基础题，第一问侧重角的等量转化，核心是利用角平分线和圆周角的性质推导等角；第二问结合垂径定理与勾股定理，用方程思想求解半径，是圆中计算类问题的常见考法，熟练掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
（1）要证$BD=DE$，可通过证明$△ BDE$为等腰三角形，即证$∠ DBE=∠ DEB$。首先利用三角形内心是角平分线交点的性质，得到两组相等的角，再结合同弧所对圆周角相等进行角的转化，通过角的和差关系推导两角相等即可得证。
（2）求圆的半径时，先根据$OD⊥ BC$结合垂径定理得到$BG$的长度，连接$OB$后，设半径为未知数，在直角$△ OBG$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 连接$BE$，
$\because$ 点$E$是$△ ABC$的内心，
$\therefore ∠ ABE=∠ CBE$，$∠ BAD=∠ DAC$，
$\because ∠ CAD$和$∠ CBD$都是弧$CD$所对的圆周角，
$\therefore ∠ CAD=∠ CBD$，即$∠ BAD=∠ DBC$，
$\because ∠ DBE=∠ DBC+∠ EBC$，$∠ DEB=∠ ABE+∠ BAD$，
$\therefore ∠ DBE=∠ DEB$，
$\therefore BD=DE$。
(2) 连接$OD$、$OB$，
由(1)可知$∠ BAD=∠ DAC$，
$\therefore \overgroup{BD}=\overgroup{CD}$，
$\therefore OD$垂直平分$BC$，
$\therefore BG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$，
设圆的半径为$x$，则$OD=OB=x$，
$\therefore OG=OD-DG=x-2$，
在$\mathrm{Rt}△ OBG$中，由勾股定理可得：$OG^2+BG^2=OB^2$，
$\therefore (x-2)^2+5^2=x^2$，
展开化简得：$-4x+29=0$，
解得$x=\frac{29}{4}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) 圆的半径为$\frac{29}{4}$
【知识点】
三角形内心的性质、圆周角定理、垂径定理
【点评】
本题是三角形与圆的综合基础题，第一问侧重角的等量转化，核心是利用角平分线和圆周角的性质推导等角；第二问结合垂径定理与勾股定理，用方程思想求解半径，是圆中计算类问题的常见考法，熟练掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
7. 已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为 （
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
C
）A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$
答案
7. C
解析
【分析】
要求三角形内切圆的半径，我们可以利用三角形面积与内切圆半径的关系公式：三角形面积$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$（其中$r$为内切圆半径，$a,b,c$为三角形三边长），变形可得$r=\frac{2S}{a+b+c}$。因此解题步骤为：先求出该三角形的面积，再代入公式计算半径即可。求已知三边长的三角形面积，可通过作高构造直角三角形，利用勾股定理求出高后计算面积。
【解析】
设三边长为5,7,8的三角形为$△ ABC$，$BC=7$，$AB=5$，$AC=8$，过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$。
设$BD=x$，则$CD=7-x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2-BD^2=25-x^2$；
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2-CD^2=64-(7-x)^2$。
联立得方程：$25-x^2=64-(7-x)^2$
展开化简：$25-x^2=64-(49-14x+x^2)$
$25-x^2=15+14x-x^2$
消去$x^2$后解得：$x=\frac{5}{7}$
代入得$AD^2=25-(\frac{5}{7})^2=\frac{1200}{49}$，则$AD=\frac{20\sqrt{3}}{7}$
三角形面积$S=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×7×\frac{20\sqrt{3}}{7}=10\sqrt{3}$
三角形周长$C=5+7+8=20$，代入$S=\frac{1}{2}rC$得：
$10\sqrt{3}=\frac{1}{2}× r×20$
解得$r=\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题考查三角形内切圆半径的计算，核心是掌握内切圆半径与三角形面积、周长的关系，通过作高用勾股定理求面积是常用的基础方法，熟练掌握相关公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要求三角形内切圆的半径，我们可以利用三角形面积与内切圆半径的关系公式：三角形面积$S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$（其中$r$为内切圆半径，$a,b,c$为三角形三边长），变形可得$r=\frac{2S}{a+b+c}$。因此解题步骤为：先求出该三角形的面积，再代入公式计算半径即可。求已知三边长的三角形面积，可通过作高构造直角三角形，利用勾股定理求出高后计算面积。
【解析】
设三边长为5,7,8的三角形为$△ ABC$，$BC=7$，$AB=5$，$AC=8$，过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$。
设$BD=x$，则$CD=7-x$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2-BD^2=25-x^2$；
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2-CD^2=64-(7-x)^2$。
联立得方程：$25-x^2=64-(7-x)^2$
展开化简：$25-x^2=64-(49-14x+x^2)$
$25-x^2=15+14x-x^2$
消去$x^2$后解得：$x=\frac{5}{7}$
代入得$AD^2=25-(\frac{5}{7})^2=\frac{1200}{49}$，则$AD=\frac{20\sqrt{3}}{7}$
三角形面积$S=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×7×\frac{20\sqrt{3}}{7}=10\sqrt{3}$
三角形周长$C=5+7+8=20$，代入$S=\frac{1}{2}rC$得：
$10\sqrt{3}=\frac{1}{2}× r×20$
解得$r=\sqrt{3}$
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题考查三角形内切圆半径的计算，核心是掌握内切圆半径与三角形面积、周长的关系，通过作高用勾股定理求面积是常用的基础方法，熟练掌握相关公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
