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1. 是小明爸爸设置的手势密码图，已知左右、上下两个相邻密码点间的距离均为1，手指沿A—B—C—D—E的顺序解锁.按此手势解锁密码一次的路径长为（
A.8
B.$4+\sqrt{5}$
C.$5+\sqrt{5}$
D.1
B
）.A.8
B.$4+\sqrt{5}$
C.$5+\sqrt{5}$
D.1
答案
1. B
解析
【分析】要求解锁路径的总长度，只需将路径拆分为A→B、B→C、C→D、D→E四段，分别计算每段的长度后求和即可。其中水平、竖直方向的线段可以根据相邻点间距为1直接得到长度，倾斜的线段可放入直角三角形中，利用勾股定理计算斜边长度，最后将所有段长度相加就能得到结果。
【解析】将路径拆分为4条线段分别计算：
1. 计算水平/竖直线段的长度和：其中3条为水平或竖直方向的线段，长度分别为1、2、1，总和为$1+2+1=4$；
2. 计算倾斜线段的长度：剩余1条为倾斜线段，它是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，根据勾股定理，其长度为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
3. 总路径长为两段长度之和：$4+\sqrt{5}$。
因此本题选B选项。
【答案】B
【知识点】勾股定理；线段长度计算；路径求和
【点评】本题结合生活中的手势密码场景考查勾股定理的实际应用，解题核心是拆分路径分类计算长度，倾斜线段不能直接数格子，需要用勾股定理求解，整体解题思路清晰，不易出错。
【难度系数】0.7
【解析】将路径拆分为4条线段分别计算：
1. 计算水平/竖直线段的长度和：其中3条为水平或竖直方向的线段，长度分别为1、2、1，总和为$1+2+1=4$；
2. 计算倾斜线段的长度：剩余1条为倾斜线段，它是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，根据勾股定理，其长度为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
3. 总路径长为两段长度之和：$4+\sqrt{5}$。
因此本题选B选项。
【答案】B
【知识点】勾股定理；线段长度计算；路径求和
【点评】本题结合生活中的手势密码场景考查勾股定理的实际应用，解题核心是拆分路径分类计算长度，倾斜线段不能直接数格子，需要用勾股定理求解，整体解题思路清晰，不易出错。
【难度系数】0.7
2. 如图2，船夫欲划一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G与欲到达点F偏离了400 m，结果船在水中实际行驶了500 m（行驶轨迹为直线），则该河流的宽度EF=
300
m.答案
2. 300
解析
【分析】
这是一道勾股定理的实际应用问题，我们可以先将题目中的渡河场景抽象为直角三角形模型：河流宽度EF、偏离距离GF、实际行驶路线EG三条线段恰好构成直角三角形，其中∠EFG为直角，EG是斜边。已知斜边和其中一条直角边的长度，我们直接利用勾股定理就能求出另一条直角边EF的长度，也就是河流的宽度。
【解析】
由题意得△EFG是直角三角形，且∠EFG=90°，其中EG=500m，GF=400m。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$EF^2 + GF^2 = EG^2$
代入已知数值计算：
$EF^2 = EG^2 - GF^2 = 500^2 - 400^2 = 250000 - 160000 = 90000$
因为长度为正数，所以$EF=\sqrt{90000}=300\ \mathrm{m}$。
【答案】
300
【知识点】
勾股定理；直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是能从实际场景中抽象出直角三角形模型，准确对应各边的实际长度，再代入勾股定理计算即可，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.9
这是一道勾股定理的实际应用问题，我们可以先将题目中的渡河场景抽象为直角三角形模型：河流宽度EF、偏离距离GF、实际行驶路线EG三条线段恰好构成直角三角形，其中∠EFG为直角，EG是斜边。已知斜边和其中一条直角边的长度，我们直接利用勾股定理就能求出另一条直角边EF的长度，也就是河流的宽度。
【解析】
由题意得△EFG是直角三角形，且∠EFG=90°，其中EG=500m，GF=400m。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$EF^2 + GF^2 = EG^2$
代入已知数值计算：
$EF^2 = EG^2 - GF^2 = 500^2 - 400^2 = 250000 - 160000 = 90000$
因为长度为正数，所以$EF=\sqrt{90000}=300\ \mathrm{m}$。
【答案】
300
【知识点】
勾股定理；直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，解题关键是能从实际场景中抽象出直角三角形模型，准确对应各边的实际长度，再代入勾股定理计算即可，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.9
3. 如图3，圆柱AD高为6 m，底面周长为1.5 m. 有一名工人从柱底A点沿圆柱表面盘绕3圈画线到达柱顶正上方的D点，则圆柱上所画的长至少为
7.5
m. 答案
3. 7.5
解析
【分析】
要求圆柱表面盘绕的最短画线长度，需先将圆柱侧面转化为平面图形，利用“平面内两点之间线段最短”求解。因为要盘绕3圈，展开后水平方向的总长度为3倍的底面周长，竖直方向长度等于圆柱的高，最后用勾股定理计算线段长度即可得到最短路径。
【解析】
将圆柱侧面沿高AD剪开，拼接3个相同的侧面展开长方形：
1. 计算展开后长方形的长：盘绕3圈，对应水平总长度为 $3×1.5=4.5\ \mathrm{m}$
2. 展开后长方形的宽等于圆柱的高，为 $6\ \mathrm{m}$
3. 最短画线长度为该长方形的对角线长度，根据勾股定理：
$l=\sqrt{4.5^2+6^2}=\sqrt{20.25+36}=\sqrt{56.25}=7.5\ \mathrm{m}$
【答案】
7.5
【知识点】
1. 圆柱侧面展开图
2. 勾股定理
3. 最短路径求解
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型考题，解题核心是将曲面问题转化为平面问题，需注意盘绕圈数对应展开后水平方向的总长度，避免因漏乘圈数导致计算错误。
【难度系数】
0.6
要求圆柱表面盘绕的最短画线长度，需先将圆柱侧面转化为平面图形，利用“平面内两点之间线段最短”求解。因为要盘绕3圈，展开后水平方向的总长度为3倍的底面周长，竖直方向长度等于圆柱的高，最后用勾股定理计算线段长度即可得到最短路径。
【解析】
将圆柱侧面沿高AD剪开，拼接3个相同的侧面展开长方形：
1. 计算展开后长方形的长：盘绕3圈，对应水平总长度为 $3×1.5=4.5\ \mathrm{m}$
2. 展开后长方形的宽等于圆柱的高，为 $6\ \mathrm{m}$
3. 最短画线长度为该长方形的对角线长度，根据勾股定理：
$l=\sqrt{4.5^2+6^2}=\sqrt{20.25+36}=\sqrt{56.25}=7.5\ \mathrm{m}$
【答案】
7.5
【知识点】
1. 圆柱侧面展开图
2. 勾股定理
3. 最短路径求解
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的典型考题，解题核心是将曲面问题转化为平面问题，需注意盘绕圈数对应展开后水平方向的总长度，避免因漏乘圈数导致计算错误。
【难度系数】
0.6
