1. 如图，一种“羊头”形图案的作法是：从正方形 $ \textcircled{1} $开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后以其直角边为边，分别向外作正方形 $ \textcircled{2} $和 $ \textcircled{2}^{\prime} $，...依此类推，若正方形 $ \textcircled{1} $的边长为 64 cm，则正方形 $ \textcircled{9} $的边长为_______cm.

专题二 勾股定理与最短路径问题

1. 4

如图，有一个上底面是敞口的长方体透明玻璃鱼缸，其长 AD=80 cm，高 AB=60 cm，宽 DF=40 cm. 在顶点 E处有一块面包屑，一只蚂蚁想从鱼缸外的点 A沿鱼缸外壁侧面到点 E吃面包屑，蚂蚁爬行的最短路线长是（ ）


A.$ \sqrt{(8 0+6 0)^{2}+4 0^{2}} $ cm
B.$ \sqrt{(8 0+4 0)^{2}+6 0^{2}} $ cm
C.$ \sqrt{(6 0+4 0)^{2}+8 0^{2}} $ cm
D.$ \sqrt{8 0^{2}+4 0^{2}+6 0^{2}} $ cm
解析 如图，把长方体玻璃鱼缸外壁侧面展开在平面上，蚂蚁爬行的最短路线长是线段 AE的长.

因为 $ A E^{2}=A F^{2}+E F^{2}, $
所以 $ A E^{2}=(80+40)^{2}+60^{2}. $
所以 $ A E=\sqrt{(80+40)^{2}+60^{2}} $ cm.
答案 B

B

将长方体鱼缸外壁侧面展开，使点A和点E所在的侧面处于同一平面，此时$AF=AD+DF=80+40=120\mathrm{cm}$，$EF=AB=60\mathrm{cm}$。根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路线为线段$AE$的长，即$AE=\sqrt{(80+40)^2+60^2}\mathrm{cm}$。

2. 如图，一个圆柱形食品盒，它的高为 10 cm，底面圆的周长为 32 cm.
(1) 点 A位于盒外底面的边缘，在 A处有一只蚂蚁，它要想吃到盒外表面对侧中点 B处的食物，请求出蚂蚁需要爬行的最短路程；
(2) 将这个食品盒改为一个无盖的圆柱形食品盒，外表面的点 C距离下底面 3 cm，如果蚂蚁从点 C处出发，爬到盒内表面对侧中点 D处，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？

专题三 勾股定理与翻折问题

2. 解(1)如图①，把圆柱侧面展开，

在Rt△AEB中，AE = 32÷2 = 16（cm）.
又B是EF的中点，
所以BE = $\dfrac{1}{2}$EF = 5 cm.
所以AB = $\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}$ = $\sqrt{16^{2}+5^{2}}$ = $\sqrt{281}$（cm）.
所以蚂蚁需要爬行的最短路程是$\sqrt{281}$ cm.
(2)如图②，点D与点D'关于PQ对称，CN⊥DD'，

可得CN = 16 cm，D'N = 12 cm.
在Rt△D'CN中，CD' = $\sqrt{CN^{2}+D'N^{2}}$ = $\sqrt{16^{2}+12^{2}}$ = 20（cm）.