登录
6. 下图是体育课上常用到的可折叠垫子，折叠前后都是长方体。制作这样一个垫子需要多少平方米帆布？(接头处忽略不计)
答案
5分米=0.5米
10厘米=0.1米
0.1÷2=0.05(米)
(0.5×0.5)×2+(0.5×0.05)×4
=0.5+0.1
=0.6(平方米)
0.6×2=1.2(平方米)
答:制作这样一个垫子需要1.2平方米帆布。
10厘米=0.1米
0.1÷2=0.05(米)
(0.5×0.5)×2+(0.5×0.05)×4
=0.5+0.1
=0.6(平方米)
0.6×2=1.2(平方米)
答:制作这样一个垫子需要1.2平方米帆布。
解析
【分析】
要计算制作该垫子所需帆布的面积，本质是求这个可折叠垫子的表面积。首先需要统一单位，将分米、厘米换算成米，方便计算。观察图形可知，折叠后是两个相同的小长方体叠放，总高度为10cm，因此单个小长方体的高度为总高度的一半；小长方体的长和宽均为5dm。我们可以先计算出单个小长方体的表面积，再乘以2得到整个垫子的帆布面积。
【解析】
1. 单位换算：
5分米 = 0.5米
10厘米 = 0.1米
2. 计算单个小长方体的高度：
$0.1÷2 = 0.05$（米）
3. 计算单个小长方体的表面积：
$\begin{aligned}&(0.5×0.5)×2 + (0.5×0.05)×4\\=&0.5 + 0.1\\=&0.6(\mathrm{平方米})\end{aligned}$
4. 计算整个垫子的帆布面积：
$0.6×2 = 1.2$（平方米）
答：制作这样一个垫子需要1.2平方米帆布。
【答案】
1.2平方米
【知识点】
长方体表面积计算、单位换算
【点评】
本题考查长方体表面积的实际应用，关键是通过折叠前后的图形关系确定长方体的长、宽、高，同时要注意单位的统一，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
要计算制作该垫子所需帆布的面积，本质是求这个可折叠垫子的表面积。首先需要统一单位，将分米、厘米换算成米，方便计算。观察图形可知，折叠后是两个相同的小长方体叠放，总高度为10cm，因此单个小长方体的高度为总高度的一半；小长方体的长和宽均为5dm。我们可以先计算出单个小长方体的表面积，再乘以2得到整个垫子的帆布面积。
【解析】
1. 单位换算：
5分米 = 0.5米
10厘米 = 0.1米
2. 计算单个小长方体的高度：
$0.1÷2 = 0.05$（米）
3. 计算单个小长方体的表面积：
$\begin{aligned}&(0.5×0.5)×2 + (0.5×0.05)×4\\=&0.5 + 0.1\\=&0.6(\mathrm{平方米})\end{aligned}$
4. 计算整个垫子的帆布面积：
$0.6×2 = 1.2$（平方米）
答：制作这样一个垫子需要1.2平方米帆布。
【答案】
1.2平方米
【知识点】
长方体表面积计算、单位换算
【点评】
本题考查长方体表面积的实际应用，关键是通过折叠前后的图形关系确定长方体的长、宽、高，同时要注意单位的统一，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
7. 如图，图①、图②都是已经学过的立体图形。图③是一个底面是直角三角形、侧面是三个长方形围成的几何体，我们称为三棱柱。
(1) 回顾已有知识。
$ S_{\mathrm{长方体底面}} = $
$ V_{\mathrm{长方体}} = $
$ S_{\mathrm{正方体底面}} = $
$ V_{\mathrm{正方体}} = $
(2) 发现共同的规律。
$ V = $
(3) 推测新发现。
$ V_{\mathrm{三棱柱}} = $
(4) 尝试解决问题：图③的体积是多少立方厘米？
(5) 生活实际运用：豆豆家有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，从里面量，长 8 分米，宽 4 分米，深 6 分米。一天，豆豆不小心把鱼缸前面的玻璃打碎了。为了保护小鱼，豆豆将这个坏了的鱼缸倾斜一定角度盛水(如下图)。请你算一算：用这个坏了的鱼缸，最多能盛水多少升？
(1) 回顾已有知识。
$ S_{\mathrm{长方体底面}} = $
ab
$ V_{\mathrm{长方体}} = $
$S_{长方体底面}h$
$ S_{\mathrm{正方体底面}} = $
$a^{2}$
$ V_{\mathrm{正方体}} = $
$S_{正方体底面}h或a^{3}$
(2) 发现共同的规律。
$ V = $
$S_{底}h$
(3) 推测新发现。
$ V_{\mathrm{三棱柱}} = $
$S_{底}h$
(4) 尝试解决问题：图③的体积是多少立方厘米？
(5) 生活实际运用：豆豆家有一个无盖的长方体玻璃鱼缸，从里面量，长 8 分米，宽 4 分米，深 6 分米。一天，豆豆不小心把鱼缸前面的玻璃打碎了。为了保护小鱼，豆豆将这个坏了的鱼缸倾斜一定角度盛水(如下图)。请你算一算：用这个坏了的鱼缸，最多能盛水多少升？
答案
ab
$S_{长方体底面}h$
$a^2$
$S_{正方体底面}h$或$a^3$
$S_{底}h$
$S_{底}h$
0.5×6×6×10=180(立方厘米)
答:图③的体积是180立方厘米。
0.5×4×6×8=96(立方分米)=96(升)
答:最多能盛水96升。
$S_{长方体底面}h$
$a^2$
$S_{正方体底面}h$或$a^3$
$S_{底}h$
$S_{底}h$
0.5×6×6×10=180(立方厘米)
答:图③的体积是180立方厘米。
0.5×4×6×8=96(立方分米)=96(升)
答:最多能盛水96升。
解析
【分析】
1. 第(1)问：回忆已学的长方体、正方体相关公式，长方体底面是长方形，面积用长×宽表示，体积为底面积乘高；正方体底面是正方形，面积是边长的平方，体积可表示为底面积乘高或边长的立方。
2. 第(2)问：观察长方体和正方体的体积公式，发现二者均为底面积与高的乘积，由此总结出柱体体积的通用规律。
3. 第(3)问：三棱柱属于柱体，类比长方体、正方体的体积规律，推测其体积同样是底面积乘高。
4. 第(4)问：计算三棱柱体积时，先求出底面直角三角形的面积，再乘以三棱柱的高即可得到体积。
5. 第(5)问：鱼缸打碎前面玻璃后，最多盛水时，水的形状可看作底面为直角三角形（直角边为鱼缸的宽和深）、高为鱼缸长的棱柱，利用柱体体积公式计算后，进行单位换算得到容积。
【解析】
(1) 长方体底面是长方形，面积公式为长×宽，即$\boldsymbol{ab}$；长方体体积公式为底面积×高，即$\boldsymbol{S_{\mathrm{长方体底面}}h}$；
正方体底面是正方形，面积公式为边长的平方，即$\boldsymbol{a^2}$；正方体体积公式为底面积×高或边长的立方，即$\boldsymbol{S_{\mathrm{正方体底面}}h}$或$\boldsymbol{a^3}$。
(2) 观察长方体和正方体的体积公式，总结出柱体体积的共同规律：$\boldsymbol{V = S_{\mathrm{底}}h}$（底面积×高）。
(3) 三棱柱属于柱体，类比前面的规律，推测其体积公式为：$\boldsymbol{V_{\mathrm{三棱柱}} = S_{\mathrm{底}}h}$。
(4) 计算图③三棱柱的体积：
底面直角三角形面积：$0.5×6×6 = 18$（平方厘米）
三棱柱体积：$18×10 = 180$（立方厘米）
答:图③的体积是180立方厘米。
(5) 计算坏鱼缸最多盛水量：
当倾斜到最大盛水时，水的体积相当于底面为直角三角形（直角边为4分米、6分米），高为8分米的棱柱体积。
底面三角形面积：$0.5×4×6 = 12$（平方分米）
水的体积：$12×8 = 96$（立方分米）
因为1立方分米=1升，所以$96$立方分米=$96$升
答:最多能盛水96升。
【答案】
(1) $ab$；$S_{\mathrm{长方体底面}}h$；$a^2$；$S_{\mathrm{正方体底面}}h$或$a^3$
(2) $S_{\mathrm{底}}h$
(3) $S_{\mathrm{底}}h$
(4) $0.5×6×6×10=180$(立方厘米)
答:图③的体积是180立方厘米。
(5) $0.5×4×6×8=96$(立方分米)$=96$(升)
答:最多能盛水96升。
【知识点】
柱体体积公式；长方形、正方形面积公式；体积单位换算
【点评】
本题从已学的长方体、正方体知识切入，引导学生总结柱体体积的通用规律，实现知识迁移，进而解决三棱柱体积计算及生活实际盛水问题，既考查了基础知识掌握情况，又培养了类比推理和实际应用能力，体现了数学知识的连贯性与实用性。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：回忆已学的长方体、正方体相关公式，长方体底面是长方形，面积用长×宽表示，体积为底面积乘高；正方体底面是正方形，面积是边长的平方，体积可表示为底面积乘高或边长的立方。
2. 第(2)问：观察长方体和正方体的体积公式，发现二者均为底面积与高的乘积，由此总结出柱体体积的通用规律。
3. 第(3)问：三棱柱属于柱体，类比长方体、正方体的体积规律，推测其体积同样是底面积乘高。
4. 第(4)问：计算三棱柱体积时，先求出底面直角三角形的面积，再乘以三棱柱的高即可得到体积。
5. 第(5)问：鱼缸打碎前面玻璃后，最多盛水时，水的形状可看作底面为直角三角形（直角边为鱼缸的宽和深）、高为鱼缸长的棱柱，利用柱体体积公式计算后，进行单位换算得到容积。
【解析】
(1) 长方体底面是长方形，面积公式为长×宽，即$\boldsymbol{ab}$；长方体体积公式为底面积×高，即$\boldsymbol{S_{\mathrm{长方体底面}}h}$；
正方体底面是正方形，面积公式为边长的平方，即$\boldsymbol{a^2}$；正方体体积公式为底面积×高或边长的立方，即$\boldsymbol{S_{\mathrm{正方体底面}}h}$或$\boldsymbol{a^3}$。
(2) 观察长方体和正方体的体积公式，总结出柱体体积的共同规律：$\boldsymbol{V = S_{\mathrm{底}}h}$（底面积×高）。
(3) 三棱柱属于柱体，类比前面的规律，推测其体积公式为：$\boldsymbol{V_{\mathrm{三棱柱}} = S_{\mathrm{底}}h}$。
(4) 计算图③三棱柱的体积：
底面直角三角形面积：$0.5×6×6 = 18$（平方厘米）
三棱柱体积：$18×10 = 180$（立方厘米）
答:图③的体积是180立方厘米。
(5) 计算坏鱼缸最多盛水量：
当倾斜到最大盛水时，水的体积相当于底面为直角三角形（直角边为4分米、6分米），高为8分米的棱柱体积。
底面三角形面积：$0.5×4×6 = 12$（平方分米）
水的体积：$12×8 = 96$（立方分米）
因为1立方分米=1升，所以$96$立方分米=$96$升
答:最多能盛水96升。
【答案】
(1) $ab$；$S_{\mathrm{长方体底面}}h$；$a^2$；$S_{\mathrm{正方体底面}}h$或$a^3$
(2) $S_{\mathrm{底}}h$
(3) $S_{\mathrm{底}}h$
(4) $0.5×6×6×10=180$(立方厘米)
答:图③的体积是180立方厘米。
(5) $0.5×4×6×8=96$(立方分米)$=96$(升)
答:最多能盛水96升。
【知识点】
柱体体积公式；长方形、正方形面积公式；体积单位换算
【点评】
本题从已学的长方体、正方体知识切入，引导学生总结柱体体积的通用规律，实现知识迁移，进而解决三棱柱体积计算及生活实际盛水问题，既考查了基础知识掌握情况，又培养了类比推理和实际应用能力，体现了数学知识的连贯性与实用性。
【难度系数】
0.6
