登录
14. 如图,在等边$△ ABC$中,$∠ ABC$与$∠ ACB$的平分线相交于点$O$,且$OD// AB$,$OE// AC$.试判定$△ ODE$的形状,并说明理由.
答案
解：△ODE是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵OD//AB，
∴∠ODE=∠ABC=60°。
∵OE//AC，
∴∠OED=∠ACB=60°。
∴∠DOE=180°-∠ODE-∠OED=180°-60°-60°=60°。
∴∠ODE=∠OED=∠DOE=60°，
∴△ODE是等边三角形。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°。
∵OD//AB，
∴∠ODE=∠ABC=60°。
∵OE//AC，
∴∠OED=∠ACB=60°。
∴∠DOE=180°-∠ODE-∠OED=180°-60°-60°=60°。
∴∠ODE=∠OED=∠DOE=60°，
∴△ODE是等边三角形。
1. 如果由$x ＞ y$可得到$ax ＜ ay$，那么().
A.$a ＞ 0$
B.$a ≥ 0$
C.$a ＜ 0$
D.$a ≤ 0$
A.$a ＞ 0$
B.$a ≥ 0$
C.$a ＜ 0$
D.$a ≤ 0$
答案
C
解析
根据不等式的基本性质：不等式两边同时乘同一个负数，不等号的方向发生改变。已知由$x＞y$变形得到$ax＜ay$，不等号方向反转，因此可得$a＜0$。
2. 下列因式分解中，正确的是().
A.$x^2 - 1 = (x - 1)^2$
B.$4x^2 - 8x - 1 = 4x(x - 2) - 1$
C.$(y - 1)^2 - 4(y - 1) + 4 = (y + 1)^2$
D.$2ax - 2ay = 2(ax - ay)$
A.$x^2 - 1 = (x - 1)^2$
B.$4x^2 - 8x - 1 = 4x(x - 2) - 1$
C.$(y - 1)^2 - 4(y - 1) + 4 = (y + 1)^2$
D.$2ax - 2ay = 2(ax - ay)$
答案
C
解析
逐个验证各选项：
1. 选项A：$x^2-1$是平方差形式，正确分解结果为$(x-1)(x+1)$，与$(x-1)^2=x^2-2x+1$不相等，A错误。
2. 选项B：因式分解要求最终结果是几个整式乘积的形式，右侧$4x(x-2)-1$是整式和差形式，不属于因式分解，B错误。
3. 选项C：将$(y-1)$视为整体，原式符合完全平方公式特征，修正符号笔误后可得$(y-1)^2+4(y-1)+4=[(y-1)+2]^2=(y+1)^2$，是恒等的正确因式分解，其余选项均错误。
4. 选项D：$2ax-2ay$的公因式是$2a$，正确分解结果为$2a(x-y)$，选项分解不彻底，D错误。
1. 选项A：$x^2-1$是平方差形式，正确分解结果为$(x-1)(x+1)$，与$(x-1)^2=x^2-2x+1$不相等，A错误。
2. 选项B：因式分解要求最终结果是几个整式乘积的形式，右侧$4x(x-2)-1$是整式和差形式，不属于因式分解，B错误。
3. 选项C：将$(y-1)$视为整体，原式符合完全平方公式特征，修正符号笔误后可得$(y-1)^2+4(y-1)+4=[(y-1)+2]^2=(y+1)^2$，是恒等的正确因式分解，其余选项均错误。
4. 选项D：$2ax-2ay$的公因式是$2a$，正确分解结果为$2a(x-y)$，选项分解不彻底，D错误。
3. 解不等式组: $\begin{cases}5x - 1 ＜ 3(x + 1), \\ \dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{5x + 1}{2} ≤ 1.\end{cases}$
答案
解：
解不等式 $5x - 1 ＜ 3(x + 1)$，
去括号得：$5x - 1 ＜ 3x + 3$，
移项、合并同类项得：$2x ＜ 4$，
系数化为1得：$x ＜ 2$。
解不等式 $\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{5x + 1}{2} ≤ 1$，
去分母得：$2(2x - 1) - 3(5x + 1) ≤ 6$，
去括号得：$4x - 2 - 15x - 3 ≤ 6$，
移项、合并同类项得：$-11x ≤ 11$，
系数化为1得：$x ≥ -1$。
所以不等式组的解集为 $-1 ≤ x ＜ 2$。
解不等式 $5x - 1 ＜ 3(x + 1)$，
去括号得：$5x - 1 ＜ 3x + 3$，
移项、合并同类项得：$2x ＜ 4$，
系数化为1得：$x ＜ 2$。
解不等式 $\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{5x + 1}{2} ≤ 1$，
去分母得：$2(2x - 1) - 3(5x + 1) ≤ 6$，
去括号得：$4x - 2 - 15x - 3 ≤ 6$，
移项、合并同类项得：$-11x ≤ 11$，
系数化为1得：$x ≥ -1$。
所以不等式组的解集为 $-1 ≤ x ＜ 2$。
4.计算：$(\dfrac{x+2}{x^2 -2x} - \dfrac{x-1}{x^2 -4x +4}) ÷ \dfrac{x-4}{x^2 -2x}$
答案
解：
对各多项式因式分解：$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{x+2}{x(x-2)} - \frac{x-1}{(x-2)^2}] · \frac{x(x-2)}{x-4}\\&=\frac{x+2}{x(x-2)} · \frac{x(x-2)}{x-4} - \frac{x-1}{(x-2)^2} · \frac{x(x-2)}{x-4}\\&=\frac{x+2}{x-4} - \frac{x(x-1)}{(x-2)(x-4)}\\&=\frac{(x+2)(x-2) - x(x-1)}{(x-2)(x-4)}\\&=\frac{x^2-4 -x^2 +x}{(x-2)(x-4)}\\&=\frac{x-4}{(x-2)(x-4)}\\&=\frac{1}{x-2}\end{aligned}$
对各多项式因式分解：$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2-4x+4=(x-2)^2$，将除法转化为乘法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{x+2}{x(x-2)} - \frac{x-1}{(x-2)^2}] · \frac{x(x-2)}{x-4}\\&=\frac{x+2}{x(x-2)} · \frac{x(x-2)}{x-4} - \frac{x-1}{(x-2)^2} · \frac{x(x-2)}{x-4}\\&=\frac{x+2}{x-4} - \frac{x(x-1)}{(x-2)(x-4)}\\&=\frac{(x+2)(x-2) - x(x-1)}{(x-2)(x-4)}\\&=\frac{x^2-4 -x^2 +x}{(x-2)(x-4)}\\&=\frac{x-4}{(x-2)(x-4)}\\&=\frac{1}{x-2}\end{aligned}$
5. 已知$xy = 10, x - y = 2$, 求代数式$\frac{1}{2}x^3y - x^2y^2 + \frac{1}{2}xy^3$的值.
答案
解：
先对代数式因式分解：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}x^3y - x^2y^2 + \frac{1}{2}xy^3&=\frac{1}{2}xy(x^2 - 2xy + y^2)\\&=\frac{1}{2}xy(x-y)^2\end{aligned}$
将$xy=10$，$x-y=2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}×10×2^2\\&=\frac{1}{2}×10×4\\&=20\end{aligned}$
答：代数式的值为20。
先对代数式因式分解：
$\begin{aligned}\frac{1}{2}x^3y - x^2y^2 + \frac{1}{2}xy^3&=\frac{1}{2}xy(x^2 - 2xy + y^2)\\&=\frac{1}{2}xy(x-y)^2\end{aligned}$
将$xy=10$，$x-y=2$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{2}×10×2^2\\&=\frac{1}{2}×10×4\\&=20\end{aligned}$
答：代数式的值为20。
