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7.（2025 常州市金坛区期中）如图,已知$△ ABC$.用直尺和圆规按要求作图,保留作图痕迹,不写作法.
(1) 在图 1 中边 AB 上作出点 P,使得点 P到 AC,BC 的距离相等.
(2) 在图 2 中边 BC 上作出点 Q,使得$BC-BQ=AQ$.
(1) 在图 1 中边 AB 上作出点 P,使得点 P到 AC,BC 的距离相等.
(2) 在图 2 中边 BC 上作出点 Q,使得$BC-BQ=AQ$.
答案
7. 解:(1) 如图1,点P即为所求.
(2) 如图2,点Q即为所求.
8. (2025 淮安市淮安区期中)如图,在$8 × 8$的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一格点$△ ABC$(即三角形的顶点都在格点上).
(1) 在图中作出$△ ABC$关于直线$l$对称的$△ A_1B_1C_1$(要求点$A$与$A_1$,点$B$与$B_1$,点$C$与$C_1$分别对应).
(2) 若有一格点$P$到点$A$,$B$的距离相等,则网格中满足条件的点$P$有
(3) 在直线$l$上找到一点$Q$,使$QB+QC$的值最小(保留作图痕迹).
(1) 在图中作出$△ ABC$关于直线$l$对称的$△ A_1B_1C_1$(要求点$A$与$A_1$,点$B$与$B_1$,点$C$与$C_1$分别对应).
(2) 若有一格点$P$到点$A$,$B$的距离相等,则网格中满足条件的点$P$有
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个.(3) 在直线$l$上找到一点$Q$,使$QB+QC$的值最小(保留作图痕迹).
答案
8. 解:(1) 如图,$△ A_1B_1C_1$即为所求.
(2) 4 提示:由图可知,$P_1,P_2,P_3,P_4$满足到点A,B的距离相等,所以网格中满足条件的点P有4个.
(3) 如图,点Q即为所求.
9.（2025 南通市通州区期中）已知$△ ABC$是等边三角形.
(1) 用直尺和圆规作$△ ABC$的角平分线$BE$,$CD$,$BE$与$CD$交于点$O$(保留作图痕迹,不写作法).
(2) 过点$C$画直线$CF ⊥ BC$,垂足为$C$,$CF$交射线$BE$于点$F$.
(3) 求证:$△ OCF$是等边三角形.
(1) 用直尺和圆规作$△ ABC$的角平分线$BE$,$CD$,$BE$与$CD$交于点$O$(保留作图痕迹,不写作法).
(2) 过点$C$画直线$CF ⊥ BC$,垂足为$C$,$CF$交射线$BE$于点$F$.
(3) 求证:$△ OCF$是等边三角形.
答案
9. 解:(1) 如图1所示,BE,CD及点O即为所求.
(2) 如图2所示,CF即为所求.
(3) 证明:因为$△ ABC$为等边三角形,所以$∠ABC=∠ACB=60°$.因为BE,CD分别平分$∠ABC$和$∠ACB$,所以$∠CBE = ∠BCD = 30°$. 所以 $∠FOC = ∠OBC + ∠OCB = 60°$. 因为 $CF ⊥ BC$, 所以$∠BCF = 90°$. 所以 $∠OFC = 90° - ∠FBC=60°$,$∠OCF=90°-∠OCB=60°$. 所以 $∠OFC = ∠FOC = ∠OCF$. 所以$△ OCF$为等边三角形.
10. (2025 淮安市盱眙县期中)综合与实践.
【问题情境】
光射到两种介质的分界面上时,反射光线、入射光线和法线在同一平面内,反射光线和入射光线分居法线两侧,反射角等于入射角. 如图 1,光线从点 $ A $ 入射到反射面 $ EF $ 上的点 $ O $,然后反射经过点 $ B $,法线 $ ON $ $ ⊥ EF $,则反射角 $ β $ 等于入射角 $ α $. 请根据上面知识,解决下面问题:
【操作尝试】
(1) 如图 2,若要让反射光线射中目标 $ A $,在激光笔不动的情况下,可将平面镜
①竖直向上移动;②竖直向下移动;③水平向右移动;④水平向左移动.
【简单应用】
(2) "白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河",诗中隐含着一个数学问题:一位将军需从山峰 $ A $ 处返回营地 $ B $ 处,并在途中经过河边 $ l $ 让马饮水. 将军如何选择饮马点 $ P $,才能使得行进路径最短?
①请在图 3 中确定点 $ P $ 的位置(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
②若山峰 $ A $ 离河边 $ l $ 的距离为 $ 2\ \mathrm{km} $,营地 $ B $ 到河边 $ l $ 的距离为 $ 5\ \mathrm{km} $,山峰 $ A $ 与营地 $ B $ 的水平距离为 $ 4\ \mathrm{km} $,求出 $ PA + PB $ 的最小值.
【问题情境】
光射到两种介质的分界面上时,反射光线、入射光线和法线在同一平面内,反射光线和入射光线分居法线两侧,反射角等于入射角. 如图 1,光线从点 $ A $ 入射到反射面 $ EF $ 上的点 $ O $,然后反射经过点 $ B $,法线 $ ON $ $ ⊥ EF $,则反射角 $ β $ 等于入射角 $ α $. 请根据上面知识,解决下面问题:
【操作尝试】
(1) 如图 2,若要让反射光线射中目标 $ A $,在激光笔不动的情况下,可将平面镜
②
(填序号).①竖直向上移动;②竖直向下移动;③水平向右移动;④水平向左移动.
【简单应用】
(2) "白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河",诗中隐含着一个数学问题:一位将军需从山峰 $ A $ 处返回营地 $ B $ 处,并在途中经过河边 $ l $ 让马饮水. 将军如何选择饮马点 $ P $,才能使得行进路径最短?
①请在图 3 中确定点 $ P $ 的位置(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
②若山峰 $ A $ 离河边 $ l $ 的距离为 $ 2\ \mathrm{km} $,营地 $ B $ 到河边 $ l $ 的距离为 $ 5\ \mathrm{km} $,山峰 $ A $ 与营地 $ B $ 的水平距离为 $ 4\ \mathrm{km} $,求出 $ PA + PB $ 的最小值.
答案
10. 解:(1) ② 提示:如图,设激光笔为点M,入射光线与平面镜交点为Q,反射光线与墙壁交点为N,作点M关于平面镜的对称点$M'$,连接$MM'$交平面镜所在直线于点K,延长KQ交墙壁于点L,连接$M'Q$.由对称的性质,得$∠MQK=∠M'QK$.根据题意,得$∠MQK=∠NQL$,所以$∠NQL=∠MQK$.所以N,Q,$M'$三点共线.当点Q的位置向左移动时,点N的位置会下降,反射光线会射中目标A,所以可将平面镜竖直向下移动.
(2) ①如图2,点P即为所求. 提示:过点A作直线l的垂线,交直线l于点C,作点A关于直线l的对称点$A'$,连接$A'B$,交直线l于点P,如图所示,点P即为所求.
②如图2,过点$A'$作直线l的平行线,过点B作直线l的垂线,交于点G,设BG交直线l于点D.由①易知,$PA=PA'$,所以当$A'$,P,B三点共线时,$PA+PB$有最小值,最小值为$A'B$的长. 根据题意,得 $BD = 5\ \mathrm{km}$,$A'G = 4\ \mathrm{km}$,$AC = 2\ \mathrm{km}$,则 $A'C = 2\ \mathrm{km}$,$DG = 2\ \mathrm{km}$. 所以 $BG = BD + DG =7\ \mathrm{km}$. 由勾股定理,得 $A'B=\sqrt{A'G^2+BG^2}=\sqrt{4^2+7^2}=\sqrt{65}\ (\mathrm{km})$. 所以 $PA + PB$ 的最小值为$\sqrt{65}\ \mathrm{km}$.
