6. 如图,已知$△ ABC$的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和$△ ABC$全等的是 （）

A.甲和乙
B.乙和丙
C.只有乙
D.只有丙

6. B

【分析】
要判断三个三角形是否和△ABC全等，需结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，注意SSA不能判定全等），逐个对比甲、乙、丙的已知条件与△ABC的元素是否匹配：
1. 先明确△ABC的基本元素：三个内角分别为50°、72°、58°（由三角形内角和180°可验证），其中边a是50°角的对边，边c是72°角的对边。
2. 分析甲：甲的已知条件为边a、边c和50°角，此处50°角是边a的对角，属于两边及其中一边的对角（SSA），不符合全等判定规则，因此甲和△ABC不全等。
3. 分析乙：乙的已知条件为50°角、72°角，及72°角对的边a，满足两角及其中一角的对边相等（AAS），符合全等判定定理，因此乙和△ABC全等。
4. 分析丙：丙的已知条件为50°角，及夹50°角的两条边分别和△ABC中50°角的两条邻边对应相等，满足两边及其夹角相等（SAS），符合全等判定定理，因此丙和△ABC全等。
【解析】
第一步：计算△ABC的未知内角，$180°-50°-72°=58°$，明确各边角对应关系：50°角对边为a，72°角对边为c，58°角对边为b。
第二步：依据全等三角形判定定理逐个判断：
1. 甲：已知边a、边c和50°角，属于SSA组合，无法判定三角形全等，故甲不符合要求；
2. 乙：已知72°角、50°角和边a（72°角的对边），符合AAS（两角及其中一角的对边相等）判定规则，可判定乙和△ABC全等；
3. 丙：已知50°角，以及夹该角的两条边与△ABC对应边相等，符合SAS（两边及其夹角相等）判定规则，可判定丙和△ABC全等。
综上，乙和丙与△ABC全等。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定、角角边判定、边角边判定
【点评】
本题主要考查全等三角形判定定理的应用，解题时需注意SSA不能作为全等判定的依据，熟练掌握各判定定理的适用条件是解题的关键。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在$△ ABC$中,已知$∠ 1=∠ 2,BE=CD,AB=5,AE=2$,则$CE=$.

7. 3 解析:在△ABE和△ACD中,$\begin{cases}∠A=∠A,\\∠1=∠2,\\BE=CD,\end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(AAS),
∴AC=AB=5,
∴CE=AC-AE=5-2=3.

【分析】
解题时首先观察已知条件，题目给出了一组角相等∠1=∠2，一组边相等BE=CD，同时△ABE和△ACD有公共角∠A，恰好满足“角角边（AAS）”的全等判定条件，因此可先证明两个三角形全等；再根据全等三角形对应边相等得到AC的长度，最后利用线段和差关系，用AC减去AE即可求出CE的长度。
【解析】
在$△ ABE$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠A=∠A（公共角相等）,\\∠1=∠2（已知）,\\BE=CD（已知）,\end{cases}$
∴$△ ABE≌△ ACD$（AAS），
∴$AC=AB=5$（全等三角形对应边相等），
∴$CE=AC-AE=5-2=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. AAS判定全等 2. 全等三角形性质 3. 线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题的关键是挖掘出两个三角形共有的公共角这个隐含条件，结合已知条件判定三角形全等，再利用全等的性质求解线段长度，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8

8. 如图,地面上有一根旗杆AO,小明两次拉住从顶端垂下的绳子OB到OC、OD的位置(OC、OA、OD在同一平面内),测得$∠ COD=90°$,且C、D两点到OA的水平距离CE、DF分别为1.4 m和1.8 m,则F、E两点的高度差即FE的长为 m.

8. 0.4 解析:
∵CE⊥OA,DF⊥OA,
∴∠CEO=∠OFD=90°.
∵∠COD=90°,
∴∠COE+∠OCE=∠COE+∠DOF,
∴∠OCE=∠DOF.在△COE与△ODF中,$\begin{cases}∠OCE=∠DOF,\\∠CEO=∠OFD,\\CO=OD,\end{cases}$
∴△COE≌△ODF(AAS),
∴OF=CE=1.4 m,OE=DF=1.8 m,
∴FE=OE-OF=0.4 m.

【分析】
解题时首先结合题干信息，先明确隐含条件：OC、OD都是旗杆顶端垂下的绳子，因此OC=OD。接下来观察图形，CE、DF都垂直于OA，可得△COE和△ODF都是直角三角形；再结合∠COD=90°，利用同角的余角相等可推出两组角对应相等，结合OC=OD的条件，即可用AAS证明两个三角形全等。最后根据全等三角形对应边相等，得到OE、OF的长度，两者的差就是FE的长度。
【解析】
∵CE⊥OA，DF⊥OA，
∴∠CEO=∠OFD=90°。
∵∠COD=90°，
∴∠COE+∠DOF=90°，
又
∵∠COE+∠OCE=90°，
∴∠OCE=∠DOF。
在△COE和△ODF中：
$\begin{cases}∠OCE=∠DOF \\∠CEO=∠OFD \\CO=OD\end{cases}$
∴△COE≌△ODF（AAS），
∴OF=CE=1.4m，OE=DF=1.8m，
∴FE=OE-OF=1.8-1.4=0.4m。
【答案】
0.4
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；同角的余角相等；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际生活中的应用问题，解题的关键是挖掘题干中的隐含条件得到边相等，再通过角的互余关系推导对应角相等，进而证明三角形全等，利用全等性质求解线段长度。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,垂足为$D$,$BE ⊥ AC$,垂足为$E$,$AD$与$BE$相交于点$F$,$BF=AC$.
(1)求证:$△ ADC ≌ △ BDF$.
(2)若$DF=2$,$AF=3$,求$BC$的长.

9. (1)证明:
∵AD⊥BC,
∴∠BDF=∠ADC=90°.
∵BE⊥AC,
∴∠BEC=90°,
∴∠CAD+∠ACD=∠ACD+∠FBD=90°,
∴∠CAD=∠FBD.在△ADC和△BDF中,$\begin{cases}∠ADC=∠BDF,\\∠CAD=∠FBD,\\AC=BF,\end{cases}$
∴△ADC≌△BDF(AAS).
(2)
∵DF=2,AF=3,
∴AD=AF+DF=3+2=5.
∵△ADC≌△BDF,
∴BD=AD=5,CD=DF=2,
∴BC=BD+DC=5+2=7.

【分析】
(1) 要证明△ADC≌△BDF，首先观察两个三角形均为直角三角形，可先得到一组直角相等；再结合AD⊥BC、BE⊥AC的条件，利用同角的余角相等推出∠CAD=∠FBD，再结合题目给出的BF=AC的条件，满足AAS全等判定的要求，即可完成全等证明。
(2) 要求BC的长，BC可拆分为BD与CD的和，先根据线段和的关系求出AD的长度，再利用(1)中全等三角形对应边相等的性质，得到BD=AD、CD=DF，代入数值相加即可得到BC的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°。
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠ACD=∠ACD+∠FBD=90°，
∴∠CAD=∠FBD。
在△ADC和△BDF中，
$\begin{cases}∠ADC=∠BDF,\\∠CAD=∠FBD,\\AC=BF,\end{cases}$
∴△ADC≌△BDF(AAS)。
(2) 解：
∵DF=2，AF=3，
∴AD=AF+DF=3+2=5。
∵△ADC≌△BDF，
∴BD=AD=5，CD=DF=2，
∴BC=BD+DC=5+2=7。
【答案】
(1) △ADC≌△BDF得证；
(2) BC的长为7。
【知识点】
全等三角形AAS判定、全等三角形的性质、同角的余角相等
【点评】
本题是三角形章节的基础常考题，核心考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题关键是通过直角的性质推导得到相等的角，完成全等证明后即可借助对应边相等求解线段长度。
【难度系数】
0.7

10. 已知$AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD.$
(1)如图1,求证:$△ ABE≌△ ACD.$
(2)如图2,$∠BAC=90°$,点$D、E$分别在$AC、AB$上,连接$BD$,过点$A$作$AF// BC$,连接$BF、EF$,恰好满足$BA$平分$∠FBD$.请猜想线段$BF、EF、BD$之间的数量关系,并进行证明.

10. (1)证明:
∵∠BAC=∠EAD,
∴∠BAC-∠CAE=∠EAD-∠CAE,即∠BAE=∠CAD.
在△ABE和△ACD中,$\begin{cases}AB=AC,\\∠BAE=∠CAD,\\AE=AD,\end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(SAS).
(2)BF+EF=BD.证明如下:如图,延长CA、BF交于点H.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAH=∠BAD=90°.
∵BA平分∠FBD,
∴∠ABH=∠ABD.在△ABH和△ABD中,$\begin{cases}∠ABH=∠ABD,\\AB=AB,\\∠BAH=∠BAD,\end{cases}$
∴△ABH≌△ABD(ASA),
∴AH=AD.
∵AE=AD,
∴AH=AE.
∵AB=AC,AF//BC,
∴∠C=∠ABC,∠FAH=∠C,∠FAE=∠ABC,
∴∠FAH=∠FAE.
在△FAH和△FAE中,$\begin{cases}AH=AE,\\∠FAH=∠FAE,\\AF=AF,\end{cases}$
∴△FAH≌△FAE(SAS),
∴HF=EF,
∴BF+EF=BF+HF=BH.
∵AB垂直平分DH,
∴BH=BD,
∴BF+EF=BD.

【分析】
(1) 要证明$△ ABE≌△ ACD$，已知$AB=AC$、$AE=AD$两组边对应相等，只需证明两组边的夹角$∠ BAE=∠ CAD$即可。结合已知$∠ BAC=∠ EAD$，两个角同时减去公共角$∠ CAE$即可得到夹角相等，利用SAS判定定理即可证明全等。
(2) 猜想线段关系为$BF+EF=BD$。解题时通过构造全等三角形将三条线段转化到同一条线段上：先延长$CA$、$BF$交于点$H$，先利用角平分线的性质、公共边$AB$和$90°$角，用ASA证明$△ ABH≌△ ABD$，得到$BH=BD$、$AH=AD$，结合已知$AE=AD$可推出$AH=AE$；再利用$AF// BC$、$AB=AC$推导得到$∠ FAH=∠ FAE$，用SAS证明$△ FAH≌△ FAE$，得到$HF=EF$，最后通过等量代换即可得到三条线段的关系。
【解析】
(1) 证明:
$\because∠ BAC=∠ EAD,$
$\therefore∠ BAC-∠ CAE=∠ EAD-∠ CAE,$即$∠ BAE=∠ CAD.$
在$△ ABE$和$△ ACD$中,$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAE=∠ CAD,\\AE=AD,\end{cases}$
$\therefore△ ABE≌△ ACD(\mathrm{SAS}).$
(2) 猜想$BF+EF=BD$，证明如下:
如图,延长$CA$、$BF$交于点$H.$
$\because∠ BAC=90°,$
$\therefore∠ BAH=∠ BAD=90°.$
$\because BA$平分$∠ FBD,$
$\therefore∠ ABH=∠ ABD.$在$△ ABH$和$△ ABD$中,$\begin{cases}∠ ABH=∠ ABD,\\AB=AB,\\∠ BAH=∠ BAD,\end{cases}$
$\therefore△ ABH≌△ ABD(\mathrm{ASA}),$
$\therefore AH=AD,BH=BD.$
$\because AE=AD,$
$\therefore AH=AE.$
$\because AB=AC,∠ BAC=90°,$
$\therefore∠ C=∠ ABC=45°,$
$\because AF// BC,$
$\therefore∠ FAH=∠ C=45°,∠ FAE=∠ ABC=45°,$
$\therefore∠ FAH=∠ FAE.$
在$△ FAH$和$△ FAE$中,$\begin{cases}AH=AE,\\∠ FAH=∠ FAE,\\AF=AF,\end{cases}$
$\therefore△ FAH≌△ FAE(\mathrm{SAS}),$
$\therefore HF=EF,$
$\therefore BF+EF=BF+HF=BH,$
又$\because BH=BD,$
$\therefore BF+EF=BD.$
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $BF+EF=BD$，证明见解析。

【知识点】
全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形的综合应用题，第一问属于基础的全等判定题型，难度较低；第二问需要结合已知条件构造辅助线，通过两次全等三角形的证明将分散的线段转化到同一直线上完成等量代换，能有效锻炼逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.65