1. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,四边形$OABC$是平行四边形且点$C(-4,0)$,将平行四边形$OABC$绕点$A$逆时针旋转得到平行四边形$FADE$,$AD$经过点$O$,点$F$恰好落在$x$轴的正半轴上.若点$A,D$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上.
(1) 填空: $∠ AOF=$$°$, 常数 $k=$；
(2)设点$A$关于$x$轴的对称点为点$H$.求证:点$H$在直线$EF$上；
(3)设$P(x_1,a),Q(x_2,b)(x_2＞x_1＞0)$是双曲线$y=\dfrac{k}{x}$上的两点.设$m=\sqrt{\dfrac{a+b}{2k}}$,$n=\sqrt{\dfrac{2}{x_1+x_2}}$,试判断$m,n$的大小,并说明理由.

1. (1) 60，√3 解析：由旋转,可知:∠OAF=∠OAB,AO=AF,AD=AB=OC=4.
∵ AB//OC,
∴ ∠AOF=∠OAB=∠OAF,
∴ OF=AF.又
∵ AO=AF,
∴ AO=AF=OF,
∴ △AOF为等边三角形,
∴ ∠AOF=60°.过点A作AM⊥x轴于点M,如图所示,
∵ 点A,D在反比例函数y=k/x的图象上,
∴ 点A,D关于原点对称,
∴ AO=1/2 AD=2,
∴ ∠OAM=90°-60°=30°,
∴ OM=1/2 AO=1,AM=√(2²-1²)=√3,
∴ 点A的坐标为(1,√3),
∴ k=1×√3=√3.
(2)
∵ 四边形 AFED 为平行四边形,
∴ x_F - x_A = x_E - x_D.
∵ AO=AF,且 AM⊥OF,
∴ x_F - x_A = x_A - x_O,
∴ x_A - x_O = x_E - x_D,由题意可得点A,D关于原点对称,
∴ x_A = -x_D.
∵ x_O=0,可得x_E=0,即点E在y轴上.如图,连接AC,AE,
∵ 点C(-4,0),点A的坐标为(1,√3),
∴ AC=√[(-4-1)²+(√3)²]=2√7.
∵ 将平行四边形 OABC 绕点 A 逆时针旋转得到平行四边形FADE,
∴ AE=AC=2√7,设E(0,m),
∴ √[1²+(√3 - m)²]=2√7,
∴ m=-2√3(正值舍去),
∴ E(0,-2√3).
∵ △AOF 为等边三角形,
∴ OF=OA=2,
∴ F(2,0),设直线 EF 表达式为y=k₁x+b,由题意得{2k₁ + b = 0, b = -2√3, 解得{k₁=√3, b=-2√3,
∴ 直线 EF 的表达式为y=√3 x - 2√3.
∵ 点A关于x轴的对称点为点H,
∴ H(1,-√3),当x=1时,y=√3 - 2√3=-√3,
∴ 点H在直线EF上.
(3)m＞n,理由如下:设P(x₁,a),Q(x₂,b)(x₂＞x₁＞0)是双曲线上的两点,
∴ a＞b＞0.
∵ a=k/x₁,b=k/x₂,
∴ m²=(a+b)/(2k)=(k/x₁ + k/x₂)/(2k)=(x₁+x₂)/(2x₁x₂),n²=2/(x₁+x₂),
∴ m² - n²=(m+n)(m-n)=(x₁+x₂)/(2x₁x₂) - 2/(x₁+x₂)=(x₁-x₂)²/[2x₁x₂(x₁+x₂)]＞0.
∵ a＞b＞0,k＞0,
∴ m+n＞0,
∴ m-n＞0,
∴ m＞n.

【分析】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，分三小问：
1. 第(1)问：利用旋转性质得AO=AF，结合平行四边形对边平行的性质，推出∠AOF=∠OAF，进而判定△AOF为等边三角形，得∠AOF=60°；再根据反比例函数图象上点关于原点对称，得AO=2，结合三角函数求出A点坐标，计算k值。
2. 第(2)问：先求F点坐标，再利用旋转性质得AE=AC，通过距离公式求E点坐标，进而求出直线EF的解析式；再求出A关于x轴的对称点H的坐标，代入直线EF解析式验证即可。
3. 第(3)问：由反比例函数表达式得a、b与x₁、x₂的关系，代入m、n的表达式，计算m² -n²，根据分子分母的正负判断差值符号，结合m、n为正数，比较大小。
【解析】
(1) 由旋转性质可知：∠OAF=∠OAB，AO=AF，AD=AB=OC=4。
∵ 四边形OABC是平行四边形，
∴ AB//OC，
∴ ∠AOF=∠OAB，
∴ ∠AOF=∠OAF，
∴ OF=AF。
又
∵ AO=AF，
∴ AO=AF=OF，即△AOF为等边三角形，故∠AOF=60°。
∵ 点A、D在反比例函数y=k/x的图象上，
∴ 点A、D关于原点对称，
∴ AO=1/2 AD=2。
过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示，在Rt△AOM中，∠AOM=60°，AO=2，
∴ OM=AO·cos60°=1，AM=AO·sin60°=√3，
∴ 点A的坐标为(1,√3)，
∴ k=1×√3=√3。
(2)
∵ △AOF为等边三角形，
∴ OF=OA=2，
∴ F(2,0)。
∵ 四边形OABC是平行四边形，C(-4,0)，A(1,√3)，
∴ AC=√[(-4-1)²+(0-√3)²]=2√7。
由旋转性质得AE=AC=2√7，设E(0,m)，则AE=√[(1-0)²+(√3 - m)²]=2√7，解得m=-2√3（正值舍去），
∴ E(0,-2√3)。
设直线EF的表达式为y=k₁x+b，代入E(0,-2√3)和F(2,0)，得{2k₁ + b=0，b=-2√3}，解得{k₁=√3，b=-2√3}，
∴ 直线EF的表达式为y=√3 x -2√3。
∵ 点A关于x轴的对称点为H，
∴ H(1,-√3)，当x=1时，y=√3×1 -2√3=-√3，与H的纵坐标相等，
∴ 点H在直线EF上。
(3) m＞n，理由如下：
∵ P(x₁,a)、Q(x₂,b)(x₂＞x₁＞0)在双曲线y=k/x上，
∴ a=k/x₁，b=k/x₂，且a＞b＞0。
计算得：m²=(a+b)/(2k)=(k/x₁ + k/x₂)/(2k)=(x₁+x₂)/(2x₁x₂)，n²=2/(x₁+x₂)。
∴ m² -n²=(x₁+x₂)/(2x₁x₂) -2/(x₁+x₂)=[(x₁+x₂)² -4x₁x₂]/[2x₁x₂(x₁+x₂)]=(x₁ -x₂)²/[2x₁x₂(x₁+x₂)]。
∵ x₂＞x₁＞0，
∴ (x₁ -x₂)²＞0，分母2x₁x₂(x₁+x₂)＞0，
∴ m² -n²＞0，即m²＞n²。
又
∵ m=√[(a+b)/(2k)]，n=√[2/(x₁+x₂)]，均为正数，
∴ m＞n。
【答案】
(1) 60，√3；
(2) 证明见上述解析；
(3) m＞n，理由见上述解析。
【知识点】
反比例函数性质，平行四边形旋转，一次函数解析式，代数式大小比较。
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，融合了旋转、等边三角形、平行四边形、一次函数等知识点，需结合几何性质与代数运算，考查学生的数形结合能力和综合分析能力，难度适中。
【难度系数】
0.5

2. 放风筝是人们非常喜欢的一种传统游戏活动，它最早是用来祈福和观测气象变化的.数学中有一种四边形，酷似风筝形状，故名“筝形”.“筝形”的特点是有一组对角相等，有两组邻边分别相等，一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线.小明同学在平面直角坐标系中做了一个“筝形”$ABCD$，其中$AD ⊥ AB$，直线$y=kx+b$与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$的图象交于点$A(a,6)$，$B(3,2)$，点$C$在反比例函数第三象限的图象上，连接$BD$交$y$轴于点$H$.
(1) 求$a$，$b$，$k$，$m$的值；
(2) 求点$H$的坐标；
(3) 以点$A$为圆心，$AD$的长为半径作$\overset{\frown}{BD}$，直接写出图中阴影部分的面积.

2. (1)
∵ 直线y=kx+b与反比例函数y=m/x的图象交于点A(a,6),B(3,2),
∴ 2=m/3,6=m/a,解得m=6,a=1,
∴ A(1,6),
∴ {k + b = 6, 3k + b = 2, 解得{k=-2, b=8.
(2)如图,过点A作EF//x轴,过点D作DE⊥EF于点E,过点B作BF⊥EF于点F,
∵ A(1,6),B(3,2),
∴ AF=2,BF=4.
∵ 四边形ABCD是“筝形”,
∴ AD=AB.
∵ AD⊥AB,
∴ ∠DAE+∠BAF=90°.
∵ DE⊥EF,
∴ ∠DAE+∠ADE=90°,
∴ ∠ADE=∠BAF.
∵ ∠E=∠F=90°,
∴ △DAE≌△ABF(AAS),
∴ AE=BF=4,DE=AF=2,
∴ D(-3,4).设直线BD的表达式为y=k'x+b',
∴ {3k' + b' = 2, -3k' + b' = 4, 解得{k'=-1/3, b'=3,
∴ 直线BD的表达式为y=-1/3 x + 3,令x=0,则y=3,
∴ 点H的坐标为(0,3).
(3)图中阴影部分的面积为30-5π. 解析:如图,由坐标关系可得点H是BD的中点,连接AC,
∵ 四边形ABCD是“筝形”,则AC垂直平分BD,
∴ 点H在AC上,设直线AC的表达式为y=k''x+b'',
∴ {k'' + b'' = 6, b'' = 3, 解得{k''=3, b''=3,
∴ 直线AC的表达式为y=3x+3,联立方程组{y=3x+3, y=6/x, 解得{x=1, y=6, 或{x=-2, y=-3,
∴ C(-2,-3),
∴ AC=√[(1+2)²+(6+3)²]=3√10.
∵ BD=√[(3+3)²+(2-4)²]=2√10,AB=√[(1-3)²+(6-2)²]=2√5,
∴ S阴影=S筝形ABCD - S扇形ABD=1/2 × 3√10 × 2√10 - 90π×(2√5)²/360=30-5π.

【分析】
本题分三小问，解题思路如下：
1. 求$a$、$b$、$k$、$m$：利用反比例函数上的点满足解析式，先由点$B$求$m$，再求点$A$的$a$；再将$A$、$B$两点代入直线解析式，解方程组得$k$、$b$。
2. 求点$H$坐标：根据筝形性质，$AD=AB$且$AD⊥AB$，通过作辅助线构造全等三角形求出$D$点坐标；用待定系数法求直线$BD$的解析式，令$x=0$即可得$H$点坐标。
3. 求阴影面积：阴影部分为筝形$ABCD$减去扇形$ABD$，需先求筝形的对角线$AC$、$BD$长度，再求扇形$ABD$的面积，两者相减得结果。
【解析】
(1) 因为点$B(3,2)$在反比例函数$y=\dfrac{m}{x}$上，所以$2=\dfrac{m}{3}$，解得$m=6$，反比例函数解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
又点$A(a,6)$在反比例函数上，代入得$6=\dfrac{6}{a}$，解得$a=1$，即$A(1,6)$。
将$A(1,6)$、$B(3,2)$代入直线$y=kx+b$，得方程组：
$\begin{cases}k + b = 6 \\3k + b = 2\end{cases}$
两式相减得$-2k=4$，解得$k=-2$，代入$k + b=6$得$b=8$。
综上，$a=1$，$b=8$，$k=-2$，$m=6$。
(2) 过点$A$作$EF// x$轴，过$D$作$DE⊥EF$于$E$，过$B$作$BF⊥EF$于$F$。
因为$A(1,6)$，$B(3,2)$，所以$AF=3-1=2$，$BF=6-2=4$。
因为四边形$ABCD$是筝形，所以$AD=AB$，又$AD⊥AB$，故$∠ DAE + ∠ BAF=90°$。
又$∠ DAE + ∠ ADE=90°$，所以$∠ ADE=∠ BAF$，且$∠ E=∠ F=90°$，则$△ DAE≌△ ABF(AAS)$。
所以$AE=BF=4$，$DE=AF=2$，则$D$点坐标为$(1-4,6-2)=(-3,4)$。
设直线$BD$的解析式为$y=k'x + b'$，代入$B(3,2)$、$D(-3,4)$得：
$\begin{cases}3k' + b' =2 \\-3k' + b' =4\end{cases}$
解得$k'=-\dfrac{1}{3}$，$b'=3$，即直线$BD$：$y=-\dfrac{1}{3}x +3$。
令$x=0$，得$y=3$，故$H$点坐标为$(0,3)$。
(3) 阴影面积$S_{阴影}=S_{筝形ABCD} - S_{扇形ABD}$。
先求$C$点：筝形中$AC$垂直平分$BD$，故$AC$过$H(0,3)$，设直线$AC$解析式为$y=k''x + b''$，代入$A(1,6)$、$H(0,3)$得$b''=3$，$k''=3$，即$y=3x+3$。
联立$\begin{cases}y=3x+3 \\y=\dfrac{6}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1 \\y=6\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2 \\y=-3\end{cases}$，故$C(-2,-3)$。
计算对角线：$AC=\sqrt{(1+2)^2 + (6+3)^2}=3\sqrt{10}$，$BD=\sqrt{(3+3)^2 + (2-4)^2}=2\sqrt{10}$，则$S_{筝形ABCD}=\dfrac{1}{2}× AC× BD=\dfrac{1}{2}×3\sqrt{10}×2\sqrt{10}=30$。
扇形$ABD$：$∠ BAD=90°$，$AB=\sqrt{(1-3)^2 + (6-2)^2}=2\sqrt{5}$，故$S_{扇形ABD}=\dfrac{90°}{360°}×π×(2\sqrt{5})^2=5π$。
因此$S_{阴影}=30 -5π$。
【答案】
(1) $a=1$，$b=8$，$k=-2$，$m=6$；
(2) $H(0,3)$；
(3) $30 -5π$；

【知识点】
反比例函数、一次函数、图形面积计算
【点评】
本题结合反比例函数、一次函数与几何图形（筝形、全等三角形、扇形），需运用函数性质求点坐标，结合几何全等和筝形性质推导，综合性较强，考查数形结合与几何计算能力。
【难度系数】
0.5