8.(2024·武进区一模)如图,动点$P$在平面直角坐标系中,沿曲线从左往右运动,第1秒从原点运动到点$(1,1)$,第2秒运动到点$(2,0)$,第3秒运动到点$(3,-1)$,第4秒运动到点$(4,0),···,$按这样的规律,第2024秒运动到点.

8.(2024,0)

9. 在平面直角坐标系中,已知点 $M$ 的坐标为 $(3m-2,5-2m).$
(1)若点 $M$ 到 $x$ 轴的距离是 3,求 $m$ 的值.
(2)若点 $M$ 在第二、四象限的角平分线上,求 $m$ 的值.
(3)若点 $M$ 在第一象限的角平分线上,求点 $M$ 关于 $x$ 轴对称的点 $N$ 的坐标.
(4)判断点 $M$ 是否可能在第三象限,如果可能,求出 $m$ 的取值范围;如果不可能,请说明理由.

9.解:(1)由题意,得$|5-2m|=3$,解得 $m=1$ 或 $m=4$.
(2)由题意,得 $3m-2+5-2m=0$,解得 $m=-3$.
(3)由题意,得 $3m-2=5-2m$,
解得 $m=\dfrac{7}{5}$,此时 $M(\dfrac{11}{5},\dfrac{11}{5})$.
$\because$ 点 $M,N$ 关于 $x$ 轴对称,$\therefore N(\dfrac{11}{5},-\dfrac{11}{5})$.
(4)点 $M$ 不可能在第三象限. 理由如下：
若点 $M$ 在第三象限,则$\begin{cases} 3m-2＜0,\\5-2m＜0,\end{cases}$即$\begin{cases} m＜\dfrac{2}{3},\\m＞\dfrac{5}{2},\end{cases}$
此不等式组无解,故点 $M$ 不可能在第三象限.

10. (2024·洪泽湖中学月考)在平面直角坐标系中,已知点 $P\ (1-3m,2-n),Q(m-3,2n+5).$
(1)若这两点都在第一、三象限的角平分线上,求 $m,n$ 的值.
(2)如果点 $P$ 在 $y$ 轴上,点 $Q$ 在 $x$ 轴上,求 $m,n$ 的值.
(3)点 $P$ 和点 $Q$ 能否同时在第三象限? 若能,求出 $m,n$ 的取值范围;若不能,请说明理由.
(4)如果 $PQ// y$ 轴,且 $PQ=6$,求 $m,n$ 的值.

10.解:(1)由题意,得$\begin{cases} 1-3m=2-n,\\m-3=2n+5,\end{cases}$
整理,得$\begin{cases} 3m-n=-1,\\m-2n=8,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases} m=-2,\\n=-5.\end{cases}$
(2)由题意,得$\begin{cases} 1-3m=0,\\2n+5=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=\dfrac{1}{3},\\n=-\dfrac{5}{2}.\end{cases}$
(3)点 $P$ 和点 $Q$ 不能同时在第三象限. 理由:若两点同时在第三象限内,则$\begin{cases} 2-n＜0,\\2n+5＜0,\end{cases}$ 此不等式组无解,
故点 $P$ 和点 $Q$ 不能同时在第三象限.
(4)由题意,得$\begin{cases} 1-3m=m-3,\\|2-n-(2n+5)|=6,\end{cases}$
解得 $m=1,n=-3$ 或 $n=1$.