【变式2】(1)已知$-\frac{π}{3}＜x＜π$，且$\cos(x+\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{6}}{3}$，则$\sin(\frac{2π}{3}-x)=( )$
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$-\frac{1}{3}$
(2)已知$\sin(\frac{π}{6}+α)=-\frac{1}{3}$，且$α\in(0,π)$，则$\sin(\frac{π}{3}-α)=\_\_\_\_\_\_$

(1)因为$-\frac{π}{3}＜x＜π$，所以$0＜x+\frac{π}{3}＜\frac{4π}{3}$。
又$\cos(x+\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{6}}{3}＞0$，所以$0＜x+\frac{π}{3}＜\frac{π}{2}$，(求三角函数值时，要先确定角的范围)
所以$\sin(x+\frac{π}{3})=\sqrt{1-\cos^2(x+\frac{π}{3})}=\sqrt{1-\frac{6}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以$\sin(\frac{2π}{3}-x)=\sin[π-(x+\frac{π}{3})]=\sin(x+\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(2)由诱导公式，得$\sin(\frac{π}{3}-α)=\sin[\frac{π}{2}-(\frac{π}{6}+α)]=\cos(\frac{π}{6}+α)$。
因为$α\in(0,π)$，所以$α+\frac{π}{6}\in(\frac{π}{6},\frac{7π}{6})$。
又$\sin(\frac{π}{6}+α)=-\frac{1}{3}＜0$，所以$α+\frac{π}{6}\in(π,\frac{7π}{6})$，
所以$\cos(\frac{π}{6}+α)=-\sqrt{1-\sin^2(\frac{π}{6}+α)}=-\sqrt{1-(-\frac{1}{3})^2}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
所以$\sin(\frac{π}{3}-α)=\cos(\frac{π}{6}+α)=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

【典例3】化简$\sqrt{1+2\sin(π-2)\cos(π-2)}$得 注意“1”的巧用。（）

A.$\sin2+\cos2$
B.$\cos2-\sin2$
C.$\sin2-\cos2$
D.$-\cos2-\sin2$
解题指导 先根据诱导公式化简，再将1化为$\sin^22+\cos^22$，配方化简可得结果。
解析 原式$=\sqrt{1+2\sin2(-\cos2)}$
$=\sqrt{1-2\sin2\cos2}$
$=\sqrt{\sin^22-2\sin2\cos2+\cos^22}$
$=\sqrt{(\sin2-\cos2)^2}$
$=|\sin2-\cos2|.$
因为2为第二象限角，所以$\sin2＞0,\cos2＜0,$
所以原式$=\sin2-\cos2$.(要注意$\sin2$与$\cos2$的大小)
答案C
$\tan(π-α)\cos(2π-α)\sin(\frac{π}{2}+α)$

C

先利用诱导公式化简得$\sin(π-2)=\sin2$，$\cos(π-2)=-\cos2$，代入原式得$\sqrt{1-2\sin2\cos2}$；将1替换为$\sin^22+\cos^22$，根号内配完全平方得$\sqrt{(\sin2-\cos2)^2}=|\sin2-\cos2|$；因为2弧度是第二象限角，$\sin2＞0$，$\cos2＜0$，故$\sin2-\cos2＞0$，去掉绝对值得$\sin2-\cos2$。

【典例4】已知$f(α)=\frac{$$}{\cos(π+α)}$.
(1)化简$f(α)$；
(2)若$α$为第二象限角，且$f(α)=\frac{3}{5}$，求$\tanα$的值.
解题指导 (1)由诱导公式对每一项化简.
(2)由平方关系求得$\cosα$，再由商数关系求得$\tanα$.
答案 解:(1)$f(α)=\frac{-\tanα\cosα\cosα}{-\cosα}=\sinα$.
(2)由(1),知$f(α)=\sinα=\frac{3}{5}$.
因为$α$为第二象限角，
所以$\cosα=-\sqrt{1-\sin^2α}=-\frac{4}{5}$，
所以$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}=-\frac{3}{4}$.

解：
(1) 由诱导公式化简分子分母各项：
$\tan(π-α)=-\tanα$，
$\cos(2π-α)=\cosα$，
$\sin(\frac{π}{2}+α)=\cosα$，
$\cos(π+α)=-\cosα$，
代入$f(α)$得：
$\begin{aligned}f(α)&=\frac{\tan(π-α)\cos(2π-α)\sin(\frac{π}{2}+α)}{\cos(π+α)}\\&=\frac{-\tanα·\cosα·\cosα}{-\cosα}\\&=\tanα·\cosα\\&=\frac{\sinα}{\cosα}·\cosα\\&=\sinα\end{aligned}$
(2) 由(1)可知$f(α)=\sinα=\frac{3}{5}$，
因为$α$为第二象限角，所以$\cosα＜0$，
由同角三角函数平方关系得：
$\cosα=-\sqrt{1-\sin^2α}=-\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=-\frac{4}{5}$
由同角三角函数商数关系得：
$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$