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三、解答题
如图,在四边形ABCD中,AB = AD = 8 , ∠A = 60° , ∠D = 150° ,四边形ABCD的周长为32,求BC和CD的长度。
如图,在四边形ABCD中,AB = AD = 8 , ∠A = 60° , ∠D = 150° ,四边形ABCD的周长为32,求BC和CD的长度。
答案
BC = 10 , CD = 6
解析
【分析】
首先连接辅助线BD，利用AB=AD且∠A=60°的条件可判定△ABD是等边三角形，得到BD的长度和∠ADB的度数；再结合∠D=150°可推出△BDC是直角三角形；之后根据四边形周长求出BC与CD的和，最后设未知数，利用勾股定理列方程即可求出BC和CD的长度。
【解析】
1. 连接BD
∵ AB=AD=8，∠A=60°
∴ △ABD是等边三角形
∴ BD=AB=8，∠ADB=60°
2. 计算∠BDC的度数
∵ ∠ADC=150°
∴ ∠BDC=∠ADC - ∠ADB=150°-60°=90°，即△BDC为直角三角形
3. 求BC与CD的和
∵ 四边形ABCD周长为32
∴ AB+AD+BC+CD=32，代入AB=AD=8得：
BC+CD=32-8-8=16
4. 设未知数列方程求解
设CD=x，则BC=16-x，在Rt△BDC中，由勾股定理得：
$BD^2 + CD^2 = BC^2$
即 $8^2 + x^2 = (16-x)^2$
展开得：$64 + x^2 = 256 - 32x + x^2$
消去$x^2$后整理得：$32x=192$
解得$x=6$，即CD=6
∴ BC=16-6=10
【答案】
$BC=10$，$CD=6$
【知识点】
等边三角形判定与性质，勾股定理，四边形周长计算
【点评】
本题核心是通过作辅助线将四边形问题转化为特殊三角形问题求解，既考查了等边三角形、直角三角形的性质应用，也考查了用方程思想处理几何计算的能力，是几何综合类的典型题型。
【难度系数】
0.65
首先连接辅助线BD，利用AB=AD且∠A=60°的条件可判定△ABD是等边三角形，得到BD的长度和∠ADB的度数；再结合∠D=150°可推出△BDC是直角三角形；之后根据四边形周长求出BC与CD的和，最后设未知数，利用勾股定理列方程即可求出BC和CD的长度。
【解析】
1. 连接BD
∵ AB=AD=8，∠A=60°
∴ △ABD是等边三角形
∴ BD=AB=8，∠ADB=60°
2. 计算∠BDC的度数
∵ ∠ADC=150°
∴ ∠BDC=∠ADC - ∠ADB=150°-60°=90°，即△BDC为直角三角形
3. 求BC与CD的和
∵ 四边形ABCD周长为32
∴ AB+AD+BC+CD=32，代入AB=AD=8得：
BC+CD=32-8-8=16
4. 设未知数列方程求解
设CD=x，则BC=16-x，在Rt△BDC中，由勾股定理得：
$BD^2 + CD^2 = BC^2$
即 $8^2 + x^2 = (16-x)^2$
展开得：$64 + x^2 = 256 - 32x + x^2$
消去$x^2$后整理得：$32x=192$
解得$x=6$，即CD=6
∴ BC=16-6=10
【答案】
$BC=10$，$CD=6$
【知识点】
等边三角形判定与性质，勾股定理，四边形周长计算
【点评】
本题核心是通过作辅助线将四边形问题转化为特殊三角形问题求解，既考查了等边三角形、直角三角形的性质应用，也考查了用方程思想处理几何计算的能力，是几何综合类的典型题型。
【难度系数】
0.65
四、综合实践活动
磁力棋的棋盘为$9×9$的正方形网格,每个小正方形网格的边长为1。磁力珠(近似看成点)可放在网格交点处,摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起。若两颗磁力珠不吸到一起,则它们之间的距离应不小于$\sqrt{5}$,根据以上规则,回答下列问题:
(1)如右图,小颖在棋盘$A,B,C$三处放置了互不相吸的三颗磁力珠。若她想从$P_1,P_2$中选择一个位置再放一颗磁力珠,与其他磁力珠互不相吸,则她选择的位置是
(2)棋盘最多可摆放
磁力棋的棋盘为$9×9$的正方形网格,每个小正方形网格的边长为1。磁力珠(近似看成点)可放在网格交点处,摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起。若两颗磁力珠不吸到一起,则它们之间的距离应不小于$\sqrt{5}$,根据以上规则,回答下列问题:
(1)如右图,小颖在棋盘$A,B,C$三处放置了互不相吸的三颗磁力珠。若她想从$P_1,P_2$中选择一个位置再放一颗磁力珠,与其他磁力珠互不相吸,则她选择的位置是
$P_2$
;(2)棋盘最多可摆放
20
颗互不相吸的磁力珠。答案
(1) $P_2$
(2)如图1所示,连接AB,BP₂,CP,AC,可以发现:四边形ABP₂C是边长为$\sqrt{5}$的正方形。
以$\sqrt{5}$为边长,在四边形$ABP_2C$的基础上继续作正方形,如图2格点处的点即为满足条件的磁力珠,
故最多可摆排放20颗不相吸的磁力珠。
故答案为20。
解析
【分析】
(1) 要判断P₁、P₂是否符合放置要求，只需根据勾股定理分别计算两点到A、B、C三点的距离，若所有距离都≥√5则符合要求。(2) 要摆放最多的磁力珠，应让相邻磁力珠的距离尽可能取最小值√5，先找到边长为√5的基本正方形单元，再将该单元在9×9网格中延展，统计所有符合要求的格点数量即可。
【解析】
(1) 设每个小方格边长为1，根据勾股定理，网格中两点距离=$\sqrt{横向格差²+纵向格差²}$：
① 计算P₁到各点的距离：P₁与B的横向格差为2，纵向格差为0，距离为$2＜\sqrt{5}$，不符合要求；
② 计算P₂到各点的距离：P₂到B的距离=$\sqrt{2²+1²}=\sqrt{5}$，P₂到C的距离=$\sqrt{1²+2²}=\sqrt{5}$，P₂到A的距离=$\sqrt{1²+4²}=\sqrt{17}＞\sqrt{5}$，所有距离均≥√5，符合要求，因此选择P₂。
(2) 经计算AB、BP₂、P₂C、AC的长度均为$\sqrt{5}$，且四边形ABP₂C为正方形，以该正方形为基本单元向整个9×9网格延展，所有格点上的点两两之间距离均≥√5，统计所有符合要求的格点，总数为20。
【答案】
(1) $P_2$
(2)如图1所示,连接AB,BP₂,CP,AC,可以发现:四边形ABP₂C是边长为$\sqrt{5}$的正方形。
以$\sqrt{5}$为边长,在四边形$ABP_2C$的基础上继续作正方形,如图2格点处的点即为满足条件的磁力珠,
故最多可摆放20颗不相吸的磁力珠。
【知识点】
两点间距离计算，网格规律探究，正方形的性质
【点评】
本题结合生活场景命题，既考查了勾股定理的基础应用，又需要学生通过局部规律推导全局的最优摆放方案，对学生的观察和归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
(1) 要判断P₁、P₂是否符合放置要求，只需根据勾股定理分别计算两点到A、B、C三点的距离，若所有距离都≥√5则符合要求。(2) 要摆放最多的磁力珠，应让相邻磁力珠的距离尽可能取最小值√5，先找到边长为√5的基本正方形单元，再将该单元在9×9网格中延展，统计所有符合要求的格点数量即可。
【解析】
(1) 设每个小方格边长为1，根据勾股定理，网格中两点距离=$\sqrt{横向格差²+纵向格差²}$：
① 计算P₁到各点的距离：P₁与B的横向格差为2，纵向格差为0，距离为$2＜\sqrt{5}$，不符合要求；
② 计算P₂到各点的距离：P₂到B的距离=$\sqrt{2²+1²}=\sqrt{5}$，P₂到C的距离=$\sqrt{1²+2²}=\sqrt{5}$，P₂到A的距离=$\sqrt{1²+4²}=\sqrt{17}＞\sqrt{5}$，所有距离均≥√5，符合要求，因此选择P₂。
(2) 经计算AB、BP₂、P₂C、AC的长度均为$\sqrt{5}$，且四边形ABP₂C为正方形，以该正方形为基本单元向整个9×9网格延展，所有格点上的点两两之间距离均≥√5，统计所有符合要求的格点，总数为20。
【答案】
(1) $P_2$
(2)如图1所示,连接AB,BP₂,CP,AC,可以发现:四边形ABP₂C是边长为$\sqrt{5}$的正方形。
以$\sqrt{5}$为边长,在四边形$ABP_2C$的基础上继续作正方形,如图2格点处的点即为满足条件的磁力珠,
故最多可摆放20颗不相吸的磁力珠。
【知识点】
两点间距离计算，网格规律探究，正方形的性质
【点评】
本题结合生活场景命题，既考查了勾股定理的基础应用，又需要学生通过局部规律推导全局的最优摆放方案，对学生的观察和归纳能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
