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1 先约分,再化成带分数。
$\boldsymbol{\frac{36}{16}}$ $\boldsymbol{\frac{40}{24}}$ $\boldsymbol{\frac{57}{38}}$ $\boldsymbol{\frac{91}{39}}$ $\boldsymbol{\frac{77}{56}}$
$\boldsymbol{\frac{36}{16}}$ $\boldsymbol{\frac{40}{24}}$ $\boldsymbol{\frac{57}{38}}$ $\boldsymbol{\frac{91}{39}}$ $\boldsymbol{\frac{77}{56}}$
答案
1.$\frac{36}{16}=\frac{36÷4}{16÷4}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$ $\frac{40}{24}=\frac{40÷8}{24÷8}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$
$\frac{57}{38}=\frac{57÷19}{38÷19}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$ $\frac{91}{39}=\frac{91÷13}{39÷13}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$
$\frac{77}{56}=\frac{77÷7}{56÷7}=\frac{11}{8}=1\frac{3}{8}$
解析：先根据分数的基本性质约分成最简分数，再化成由整数和真分数合成的数，即带分数。
$\frac{57}{38}=\frac{57÷19}{38÷19}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$ $\frac{91}{39}=\frac{91÷13}{39÷13}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$
$\frac{77}{56}=\frac{77÷7}{56÷7}=\frac{11}{8}=1\frac{3}{8}$
解析：先根据分数的基本性质约分成最简分数，再化成由整数和真分数合成的数，即带分数。
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步是约分，需先找出每个分数分子和分母的最大公因数，依据分数的基本性质，分子分母同时除以这个最大公因数，将分数化为最简分数；第二步是把最简假分数转化为带分数，用分子除以分母，商作为带分数的整数部分，余数作为带分数的分子，分母保持不变。
具体到每个分数：
对于$\frac{36}{16}$，先确定36和16的最大公因数是4，分子分母同除以4得到最简分数，再用9÷4，商2余1，写成带分数。
对于$\frac{40}{24}$，40和24的最大公因数是8，约分后用5÷3，商1余2，写成带分数。
对于$\frac{57}{38}$，57和38的最大公因数是19，约分后用3÷2，商1余1，写成带分数。
对于$\frac{91}{39}$，91和39的最大公因数是13，约分后用7÷3，商2余1，写成带分数。
对于$\frac{77}{56}$，77和56的最大公因数是7，约分后用11÷8，商1余3，写成带分数。
【解析】
$\frac{36}{16}=\frac{36÷4}{16÷4}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$
$\frac{40}{24}=\frac{40÷8}{24÷8}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$
$\frac{57}{38}=\frac{57÷19}{38÷19}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$
$\frac{91}{39}=\frac{91÷13}{39÷13}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$
$\frac{77}{56}=\frac{77÷7}{56÷7}=\frac{11}{8}=1\frac{3}{8}$
【答案】
$\frac{36}{16}=2\frac{1}{4}$，$\frac{40}{24}=1\frac{2}{3}$，$\frac{57}{38}=1\frac{1}{2}$，$\frac{91}{39}=2\frac{1}{3}$，$\frac{77}{56}=1\frac{3}{8}$
【知识点】
约分、假分数化带分数、分数的基本性质
【点评】
本题考查分数约分和假分数化带分数的基础方法，解题关键是准确找出分子分母的最大公因数进行约分，熟练掌握假分数转化为带分数的计算规则，属于基础题型，需扎实掌握相关知识点。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步是约分，需先找出每个分数分子和分母的最大公因数，依据分数的基本性质，分子分母同时除以这个最大公因数，将分数化为最简分数；第二步是把最简假分数转化为带分数，用分子除以分母，商作为带分数的整数部分，余数作为带分数的分子，分母保持不变。
具体到每个分数：
对于$\frac{36}{16}$，先确定36和16的最大公因数是4，分子分母同除以4得到最简分数，再用9÷4，商2余1，写成带分数。
对于$\frac{40}{24}$，40和24的最大公因数是8，约分后用5÷3，商1余2，写成带分数。
对于$\frac{57}{38}$，57和38的最大公因数是19，约分后用3÷2，商1余1，写成带分数。
对于$\frac{91}{39}$，91和39的最大公因数是13，约分后用7÷3，商2余1，写成带分数。
对于$\frac{77}{56}$，77和56的最大公因数是7，约分后用11÷8，商1余3，写成带分数。
【解析】
$\frac{36}{16}=\frac{36÷4}{16÷4}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}$
$\frac{40}{24}=\frac{40÷8}{24÷8}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$
$\frac{57}{38}=\frac{57÷19}{38÷19}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}$
$\frac{91}{39}=\frac{91÷13}{39÷13}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$
$\frac{77}{56}=\frac{77÷7}{56÷7}=\frac{11}{8}=1\frac{3}{8}$
【答案】
$\frac{36}{16}=2\frac{1}{4}$，$\frac{40}{24}=1\frac{2}{3}$，$\frac{57}{38}=1\frac{1}{2}$，$\frac{91}{39}=2\frac{1}{3}$，$\frac{77}{56}=1\frac{3}{8}$
【知识点】
约分、假分数化带分数、分数的基本性质
【点评】
本题考查分数约分和假分数化带分数的基础方法，解题关键是准确找出分子分母的最大公因数进行约分，熟练掌握假分数转化为带分数的计算规则，属于基础题型，需扎实掌握相关知识点。
【难度系数】
0.8
(1)下面说法错误的是(
A.分子为1的真分数都是最简分数
B.分数约分后,分数值不变,分数单位变大
C.$\boldsymbol{\frac{a}{a+1}}$一定是最简分数
D.$m$、$n$均为合数,$\boldsymbol{\frac{n}{m}}$一定不是最简分数
D
)。(字母均表示非零自然数)A.分子为1的真分数都是最简分数
B.分数约分后,分数值不变,分数单位变大
C.$\boldsymbol{\frac{a}{a+1}}$一定是最简分数
D.$m$、$n$均为合数,$\boldsymbol{\frac{n}{m}}$一定不是最简分数
答案
2.(1)D
解析：本题综合考查了最简分数和约分的含义。最简分数是分子和分母只有公因数1的分数。公因数只有1的几种常见情况：$\begin{cases}①1和任意大于1的自然数\\②相邻非零自然数或相邻奇数\\③两个不同的质数\end{cases}$
A、C选项分别属于①②两种情况。
D选项可设数，如设$m = 9$，$n = 4$，9和4都是合数，但$\frac{4}{9}$是最简分数。
约分是把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数。分母变小，分数单位就变大。如$\frac{6}{10}$约分成$\frac{3}{5}$，分数单位从$\frac{1}{10}$变成$\frac{1}{5}$，变大了。
解析：本题综合考查了最简分数和约分的含义。最简分数是分子和分母只有公因数1的分数。公因数只有1的几种常见情况：$\begin{cases}①1和任意大于1的自然数\\②相邻非零自然数或相邻奇数\\③两个不同的质数\end{cases}$
A、C选项分别属于①②两种情况。
D选项可设数，如设$m = 9$，$n = 4$，9和4都是合数，但$\frac{4}{9}$是最简分数。
约分是把一个分数化成和它相等，但分子、分母都比较小的分数。分母变小，分数单位就变大。如$\frac{6}{10}$约分成$\frac{3}{5}$，分数单位从$\frac{1}{10}$变成$\frac{1}{5}$，变大了。
解析
【分析】
要解决这道题，需结合最简分数、约分、合数的核心概念，逐个分析选项判断对错：
1. 分析选项A：根据最简分数定义，分子和分母只有公因数1的分数是最简分数。分子为1的真分数，1与任何非零自然数的公因数都只有1，因此这类分数都是最简分数，A说法正确。
2. 分析选项B：约分的本质是保证分数值不变，将分子分母化为更小的数；分数单位是分母的倒数，分母越小分数单位越大，比如$\frac{6}{10}$约分后是$\frac{3}{5}$，分数单位从$\frac{1}{10}$变为$\frac{1}{5}$，确实变大，B说法正确。
3. 分析选项C：$a$和$a+1$是相邻非零自然数，相邻自然数的公因数只有1，所以$\frac{a}{a+1}$的分子分母互质，一定是最简分数，C说法正确。
4. 分析选项D：合数是除了1和自身外还有其他因数的数，但两个合数可能互质，比如9和4都是合数，$\frac{4}{9}$却是最简分数，因此D说法错误。
【解析】
本题综合考查最简分数、约分及合数的相关概念：
选项A：分子为1的真分数，1与任何非零自然数的公因数只有1，符合最简分数定义，说法正确。
选项B：约分后分数值不变，且分母变小；分数单位是$\frac{1}{\mathrm{分母}}$，分母越小分数单位越大，例如$\frac{6}{10}$约分为$\frac{3}{5}$，分数单位从$\frac{1}{10}$变为$\frac{1}{5}$，说法正确。
选项C：$a$和$a+1$是相邻非零自然数，相邻自然数公因数只有1，$\frac{a}{a+1}$分子分母互质，是最简分数，说法正确。
选项D：存在两个合数互质的情况，如$m=9$，$n=4$，9和4都是合数，但$\frac{4}{9}$是最简分数，因此该说法错误。
【答案】
D
【知识点】
最简分数判定、约分的性质、合数的认识
【点评】
本题通过选择题形式综合考查分数相关核心概念，解题关键是准确理解各概念的定义，对于易混淆选项可通过举反例快速判断错误，能有效锻炼学生的概念辨析与逻辑思维能力。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需结合最简分数、约分、合数的核心概念，逐个分析选项判断对错：
1. 分析选项A：根据最简分数定义，分子和分母只有公因数1的分数是最简分数。分子为1的真分数，1与任何非零自然数的公因数都只有1，因此这类分数都是最简分数，A说法正确。
2. 分析选项B：约分的本质是保证分数值不变，将分子分母化为更小的数；分数单位是分母的倒数，分母越小分数单位越大，比如$\frac{6}{10}$约分后是$\frac{3}{5}$，分数单位从$\frac{1}{10}$变为$\frac{1}{5}$，确实变大，B说法正确。
3. 分析选项C：$a$和$a+1$是相邻非零自然数，相邻自然数的公因数只有1，所以$\frac{a}{a+1}$的分子分母互质，一定是最简分数，C说法正确。
4. 分析选项D：合数是除了1和自身外还有其他因数的数，但两个合数可能互质，比如9和4都是合数，$\frac{4}{9}$却是最简分数，因此D说法错误。
【解析】
本题综合考查最简分数、约分及合数的相关概念：
选项A：分子为1的真分数，1与任何非零自然数的公因数只有1，符合最简分数定义，说法正确。
选项B：约分后分数值不变，且分母变小；分数单位是$\frac{1}{\mathrm{分母}}$，分母越小分数单位越大，例如$\frac{6}{10}$约分为$\frac{3}{5}$，分数单位从$\frac{1}{10}$变为$\frac{1}{5}$，说法正确。
选项C：$a$和$a+1$是相邻非零自然数，相邻自然数公因数只有1，$\frac{a}{a+1}$分子分母互质，是最简分数，说法正确。
选项D：存在两个合数互质的情况，如$m=9$，$n=4$，9和4都是合数，但$\frac{4}{9}$是最简分数，因此该说法错误。
【答案】
D
【知识点】
最简分数判定、约分的性质、合数的认识
【点评】
本题通过选择题形式综合考查分数相关核心概念，解题关键是准确理解各概念的定义，对于易混淆选项可通过举反例快速判断错误，能有效锻炼学生的概念辨析与逻辑思维能力。
【难度系数】
0.5
(2)"二十四节气"中的冬至是北半球全年白昼最短的一天。右图是某地冬至这天日出和日落的时间,白昼的时长占全天的(
A.$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
B.$\boldsymbol{\frac{11}{24}}$
C.$\boldsymbol{\frac{5}{12}}$
D.$\boldsymbol{\frac{7}{12}}$
C
)。A.$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
B.$\boldsymbol{\frac{11}{24}}$
C.$\boldsymbol{\frac{5}{12}}$
D.$\boldsymbol{\frac{7}{12}}$
答案
(2)C
解析：下午5时是17时，7时到17时经过了10小时，所以冬至这天该地白昼的时长占全天的$10÷24 = \frac{10}{24}$，$\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$。
解析：下午5时是17时，7时到17时经过了10小时，所以冬至这天该地白昼的时长占全天的$10÷24 = \frac{10}{24}$，$\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，需按以下思路思考：首先根据钟表确定日出、日落时间，将12小时制的日落时间转换为24小时制，便于计算时长；接着用日落时间减去日出时间，算出白昼时长；最后用白昼时长除以全天24小时，得到占比并约分，对比选项得出答案。
【解析】
1. 转换计时法：下午5时用24小时计时法表示为17时。
2. 计算白昼时长：$17时 - 7时 = 10小时$。
3. 计算占比：全天共24小时，白昼时长占全天的比例为$10÷24=\frac{10}{24}$，约分后得到$\frac{5}{12}$。
【答案】
C
【知识点】
24时计时法转换、时间间隔计算、分数约分
【点评】
本题结合冬至节气的生活场景，考查时间计算与分数的应用，要求学生掌握计时法转换、时间计算及分数约分的方法，培养联系实际解决数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需按以下思路思考：首先根据钟表确定日出、日落时间，将12小时制的日落时间转换为24小时制，便于计算时长；接着用日落时间减去日出时间，算出白昼时长；最后用白昼时长除以全天24小时，得到占比并约分，对比选项得出答案。
【解析】
1. 转换计时法：下午5时用24小时计时法表示为17时。
2. 计算白昼时长：$17时 - 7时 = 10小时$。
3. 计算占比：全天共24小时，白昼时长占全天的比例为$10÷24=\frac{10}{24}$，约分后得到$\frac{5}{12}$。
【答案】
C
【知识点】
24时计时法转换、时间间隔计算、分数约分
【点评】
本题结合冬至节气的生活场景，考查时间计算与分数的应用，要求学生掌握计时法转换、时间计算及分数约分的方法，培养联系实际解决数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
3如图,这是由18个棱长为1 cm的小正方体搭成的一个长方体。
(1)用分米作单位,用分数分别表示这个长方体的长、宽、高。
长是(
(2)这个长方体前面的面积是上面面积的(
(3)涂出这个长方体体积的$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$,需要涂(
(1)用分米作单位,用分数分别表示这个长方体的长、宽、高。
长是(
$\frac{3}{10}$
)dm,宽是($\frac{3}{10}$
)dm,高是($\frac{1}{5}$
)dm。(2)这个长方体前面的面积是上面面积的(
$\frac{2}{3}$
),上面的面积是前面面积的($\frac{3}{2}$
)。(3)涂出这个长方体体积的$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$,需要涂(
6
)个小正方体,在图中涂一涂。答案
3.(1)$\frac{3}{10}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{1}{5}$
(2)$\frac{2}{3}$ $\frac{3}{2}$
(3)6
(涂法不唯一)解析：(1)$1dm = 10cm$，长方体的长是$3cm = \frac{3}{10}dm$，宽是$3cm = \frac{3}{10}dm$，高是$2cm = \frac{2}{10}dm = \frac{1}{5}dm$。
(2)1个小正方形的面积是$1cm²$，可以通过数小正方形的个数，得到长方体的前面和上面的面积。求一个数是另一个数的几分之几，用除法。
(3)长方体体积的$\frac{1}{3}$表示把长方体平均分成3份，取其中的1份。因为把18个小正方体平均分成3份，每份是$18÷3 = 6$(个)，所以6个小正方体的体积就是长方体体积的$\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：先明确长度单位换算关系$1dm=10cm$，通过观察图形得出长方体长、宽、高分别为3cm、3cm、2cm，再将厘米数除以进率10，转化为分数并化简，即可得到用分米作单位的长、宽、高。
2. 第(2)问：先计算长方体前面（长×高）和上面（长×宽）的面积，也可通过数小正方形个数得到面积。求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数，注意区分被除数和除数。
3. 第(3)问：由于每个小正方体体积相同，长方体体积的$\frac{1}{3}$等价于小正方体总个数的$\frac{1}{3}$，用总个数18乘以$\frac{1}{3}$，即可得到需要涂的小正方体个数，涂法不唯一。
【解析】
(1) 因为$1dm=10cm$，
长方体的长为$3cm$，转换为分米：$3÷10=\frac{3}{10}dm$；
宽为$3cm$，转换为分米：$3÷10=\frac{3}{10}dm$；
高为$2cm$，转换为分米：$2÷10=\frac{2}{10}dm=\frac{1}{5}dm$。
(2) 每个小正方形面积为$1cm^2$，
前面的面积：$3×2=6cm^2$，上面的面积：$3×3=9cm^2$。
前面的面积是上面面积的：$6÷9=\frac{2}{3}$；
上面的面积是前面面积的：$9÷6=\frac{3}{2}$。
(3) 小正方体总个数为18个，
长方体体积的$\frac{1}{3}$对应的小正方体个数：$18×\frac{1}{3}=6$（个），即需要涂6个小正方体。
【答案】
(1)$\frac{3}{10}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{1}{5}$
(2)$\frac{2}{3}$ $\frac{3}{2}$
(3)6 (涂法不唯一)
【知识点】
长度单位换算、分数的意义、求一个数是另一个数的几分之几
【点评】
本题综合考查了长度单位换算、分数应用和长方体面积相关知识，需要学生准确获取图形信息，掌握基础换算和分数计算逻辑，侧重对基础知识的运用，题型较为基础。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：先明确长度单位换算关系$1dm=10cm$，通过观察图形得出长方体长、宽、高分别为3cm、3cm、2cm，再将厘米数除以进率10，转化为分数并化简，即可得到用分米作单位的长、宽、高。
2. 第(2)问：先计算长方体前面（长×高）和上面（长×宽）的面积，也可通过数小正方形个数得到面积。求一个数是另一个数的几分之几，用这个数除以另一个数，注意区分被除数和除数。
3. 第(3)问：由于每个小正方体体积相同，长方体体积的$\frac{1}{3}$等价于小正方体总个数的$\frac{1}{3}$，用总个数18乘以$\frac{1}{3}$，即可得到需要涂的小正方体个数，涂法不唯一。
【解析】
(1) 因为$1dm=10cm$，
长方体的长为$3cm$，转换为分米：$3÷10=\frac{3}{10}dm$；
宽为$3cm$，转换为分米：$3÷10=\frac{3}{10}dm$；
高为$2cm$，转换为分米：$2÷10=\frac{2}{10}dm=\frac{1}{5}dm$。
(2) 每个小正方形面积为$1cm^2$，
前面的面积：$3×2=6cm^2$，上面的面积：$3×3=9cm^2$。
前面的面积是上面面积的：$6÷9=\frac{2}{3}$；
上面的面积是前面面积的：$9÷6=\frac{3}{2}$。
(3) 小正方体总个数为18个，
长方体体积的$\frac{1}{3}$对应的小正方体个数：$18×\frac{1}{3}=6$（个），即需要涂6个小正方体。
【答案】
(1)$\frac{3}{10}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{1}{5}$
(2)$\frac{2}{3}$ $\frac{3}{2}$
(3)6
(涂法不唯一)【知识点】
长度单位换算、分数的意义、求一个数是另一个数的几分之几
【点评】
本题综合考查了长度单位换算、分数应用和长方体面积相关知识，需要学生准确获取图形信息，掌握基础换算和分数计算逻辑，侧重对基础知识的运用，题型较为基础。
【难度系数】
0.7
4 明明在化简一个分数时,依次用2、3、7约了一次,得到$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$。填一填,求出原来的分数。
答案
4.(从左往右)$\frac{42}{168}$ $\frac{21}{84}$ $\frac{7}{28}$
解析：采用倒推方法即可，如下所示。
$\frac{1}{4}\xrightarrow[×7]{×7}\frac{7}{28}\xrightarrow[×3]{×3}\frac{21}{84}\xrightarrow[×2]{×2}\frac{42}{168}$
解析：采用倒推方法即可，如下所示。
$\frac{1}{4}\xrightarrow[×7]{×7}\frac{7}{28}\xrightarrow[×3]{×3}\frac{21}{84}\xrightarrow[×2]{×2}\frac{42}{168}$
解析
【分析】
要找出原来的分数，需理解约分的逆过程：约分是分子、分母同时除以公因数简化分数，已知最简分数$\frac{1}{4}$是依次用2、3、7各约一次得到的，因此我们可以从最简分数出发，让分子和分母依次乘以7、3、2，逐步还原出每次约分前的分数，完成逆推。
【解析】
采用倒推法逐步还原：
1. 还原用7约分的步骤：将$\frac{1}{4}$的分子、分母同时乘7，得到$\frac{1×7}{4×7}=\frac{7}{28}$；
2. 还原用3约分的步骤：将$\frac{7}{28}$的分子、分母同时乘3，得到$\frac{7×3}{28×3}=\frac{21}{84}$；
3. 还原用2约分的步骤：将$\frac{21}{84}$的分子、分母同时乘2，得到$\frac{21×2}{84×2}=\frac{42}{168}$。
【答案】
从左往右依次为$\boldsymbol{\frac{42}{168}}$、$\boldsymbol{\frac{21}{84}}$、$\boldsymbol{\frac{7}{28}}$
【知识点】
1. 分数的基本性质
2. 约分的逆运算
【点评】
本题考查对分数基本性质的灵活运用，需要学生理解约分的本质，通过逆向思维还原分数，有助于提升学生的逆向思考能力和对分数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要找出原来的分数，需理解约分的逆过程：约分是分子、分母同时除以公因数简化分数，已知最简分数$\frac{1}{4}$是依次用2、3、7各约一次得到的，因此我们可以从最简分数出发，让分子和分母依次乘以7、3、2，逐步还原出每次约分前的分数，完成逆推。
【解析】
采用倒推法逐步还原：
1. 还原用7约分的步骤：将$\frac{1}{4}$的分子、分母同时乘7，得到$\frac{1×7}{4×7}=\frac{7}{28}$；
2. 还原用3约分的步骤：将$\frac{7}{28}$的分子、分母同时乘3，得到$\frac{7×3}{28×3}=\frac{21}{84}$；
3. 还原用2约分的步骤：将$\frac{21}{84}$的分子、分母同时乘2，得到$\frac{21×2}{84×2}=\frac{42}{168}$。
【答案】
从左往右依次为$\boldsymbol{\frac{42}{168}}$、$\boldsymbol{\frac{21}{84}}$、$\boldsymbol{\frac{7}{28}}$
【知识点】
1. 分数的基本性质
2. 约分的逆运算
【点评】
本题考查对分数基本性质的灵活运用，需要学生理解约分的本质，通过逆向思维还原分数，有助于提升学生的逆向思考能力和对分数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
5我国古代数学名著《九章算术》介绍了"约分术"(如下图),试着用这个方法化简$\boldsymbol{\frac{204}{306}}$。
原文:可半者半之;不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。
翻译:若分子、分母全是偶数,就先除以2;否则用较大的数减去较小的数,把所得的差与
上一步中的减数比较,再用大数减去小数,如此重复进行下去,当差与减数相等即
出现"等数"时,用这个等数约分。
举例: $\boldsymbol{\frac{12}{18}=\frac{12÷2}{18÷2}=\frac{6}{9}}$,$9-6=3$,$6-3=3$,3就是9和6的最大公因数,$\boldsymbol{\frac{6}{9}=\frac{6÷3}{9÷3}=\frac{2}{3}}$。
原文:可半者半之;不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。
翻译:若分子、分母全是偶数,就先除以2;否则用较大的数减去较小的数,把所得的差与
上一步中的减数比较,再用大数减去小数,如此重复进行下去,当差与减数相等即
出现"等数"时,用这个等数约分。
举例: $\boldsymbol{\frac{12}{18}=\frac{12÷2}{18÷2}=\frac{6}{9}}$,$9-6=3$,$6-3=3$,3就是9和6的最大公因数,$\boldsymbol{\frac{6}{9}=\frac{6÷3}{9÷3}=\frac{2}{3}}$。
答案
5.$\frac{204}{306}=\frac{204÷2}{306÷2}=\frac{102}{153}$，$153 - 102 = 51$，$102 - 51 = 51$，51就是153和102的最大公因数，$\frac{102}{153}=\frac{102÷51}{153÷51}=\frac{2}{3}$。
解析：仿照举例内容的格式书写即可。
第一步：分子204、分母306都是偶数，同时除以2，得$\frac{102}{153}$。
第二步：153不是偶数，153(大数)$ - 102$(小数)$ = 51$。
第三步：51也不是偶数，102(大数)$ - 51$(小数)$ = 51$。这时差51与减数51相等，51就是153和102的最大公因数。
第四步：用51约分$\frac{102}{153}$，最后结果为$\frac{2}{3}$。
解析：仿照举例内容的格式书写即可。
第一步：分子204、分母306都是偶数，同时除以2，得$\frac{102}{153}$。
第二步：153不是偶数，153(大数)$ - 102$(小数)$ = 51$。
第三步：51也不是偶数，102(大数)$ - 51$(小数)$ = 51$。这时差51与减数51相等，51就是153和102的最大公因数。
第四步：用51约分$\frac{102}{153}$，最后结果为$\frac{2}{3}$。
解析
【分析】
我们要按照《九章算术》中的“约分术”步骤来化简分数：首先观察分子和分母是否均为偶数，若是则先同时除以2；得到新分数后，若分子分母不全是偶数，就用“更相减损”法，反复用大数减去小数，直到差与减数相等，这个相等的数就是分子分母的最大公因数（等数），最后用这个等数约分即可得到最简分数。
【解析】
1. 第一步：分子204、分母306都是偶数，根据“可半者半之”，将分子分母同时除以2，得$\frac{204÷2}{306÷2}=\frac{102}{153}$；
2. 第二步：153和102不全是偶数，按照“不可半者，以少减多，更相减损”，用大数减小数，即$153 - 102 = 51$；
3. 第三步：将所得的差51与上一步的减数102比较，再用大数减小数，$102 - 51 = 51$，此时差与减数相等，51就是153和102的最大公因数（等数）；
4. 第四步：用等数51约分$\frac{102}{153}$，得$\frac{102÷51}{153÷51}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
约分、更相减损术
【点评】
本题结合古代数学文化考查分数约分，既让我们掌握了约分的方法，又了解了古代数学智慧，解题关键是准确理解“约分术”的操作步骤，按要求逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
我们要按照《九章算术》中的“约分术”步骤来化简分数：首先观察分子和分母是否均为偶数，若是则先同时除以2；得到新分数后，若分子分母不全是偶数，就用“更相减损”法，反复用大数减去小数，直到差与减数相等，这个相等的数就是分子分母的最大公因数（等数），最后用这个等数约分即可得到最简分数。
【解析】
1. 第一步：分子204、分母306都是偶数，根据“可半者半之”，将分子分母同时除以2，得$\frac{204÷2}{306÷2}=\frac{102}{153}$；
2. 第二步：153和102不全是偶数，按照“不可半者，以少减多，更相减损”，用大数减小数，即$153 - 102 = 51$；
3. 第三步：将所得的差51与上一步的减数102比较，再用大数减小数，$102 - 51 = 51$，此时差与减数相等，51就是153和102的最大公因数（等数）；
4. 第四步：用等数51约分$\frac{102}{153}$，得$\frac{102÷51}{153÷51}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
约分、更相减损术
【点评】
本题结合古代数学文化考查分数约分，既让我们掌握了约分的方法，又了解了古代数学智慧，解题关键是准确理解“约分术”的操作步骤，按要求逐步计算即可。
【难度系数】
0.7
