【例】计算$-\dfrac{1}{3}a^2 · (-6ab)$的结果正确的是()

A.$-2a^3b$
B.$2a^3b$
C.$-2a^2b$
D.$2a^2b$

B

【分析】
本题考查单项式乘单项式的运算，解题思路如下：首先根据乘法符号法则判断积的符号，两个负数相乘结果为正；再按照单项式乘单项式的运算法则，分别计算系数的乘积、同底数幂的乘积，最后将各部分结果组合得到最终乘积，对应选项选出答案即可。
【解析】
根据单项式乘单项式运算法则计算：
第一步：确定积的符号，两个因式系数分别为$-\dfrac{1}{3}$和$-6$，负负得正，因此积的符号为正；
第二步：计算系数的乘积：$\dfrac{1}{3}×6=2$；
第三步：计算同底数幂的乘积：$a^2·a=a^{2+1}=a^3$；
第四步：将仅在第二个单项式中出现的字母$b$连同指数作为积的一个因式；
将以上部分组合得：原式$=2a^3b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式乘单项式
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题是单项式乘法的基础题型，核心考查对单项式乘法运算规则的掌握，解题时要注意先判断符号，再分别计算系数和幂次，避免出现符号错误或同底数幂指数运算错误。
【难度系数】
0.8

练习1. $3a · (-2a)^2 = ($$)$

A.$-12a^3$
B.$-6a^2$
C.$12a^3$
D.$6a^3$

C

【分析】
本题考查整式的乘法运算，解题需遵循先乘方后乘法的运算顺序：第一步先计算乘方部分$(-2a)^2$，运用积的乘方法则计算；第二步再计算单项式乘单项式，分别将系数相乘、同底数幂相乘，最后整理结果对应选项即可。计算时要注意乘方运算的符号，避免符号出错。
【解析】
第一步，先计算积的乘方：
根据积的乘方法则，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得$(-2a)^2=(-2)^2· a^2=4a^2$；
第二步，计算单项式乘单项式：
将原式替换为$3a· 4a^2$，系数相乘得$3×4=12$，同底数幂相乘得$a· a^2=a^{1+2}=a^3$；
合并结果为$12a^3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
积的乘方运算；单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，核心考查运算法则的掌握程度，解题时需注意运算顺序，优先计算乘方再计算乘法，计算乘方时要注意负号的平方结果为正，避免因符号或指数运算错误失分。
【难度系数】
0.8

练习2.计算：
(1)$2xy· (-3x)=$；
(2)$3(-x)^3· (-2x)^2=$；
(3)$(-5a^2b)· (-3a^3b)=$；
(4)$(-2xy^2)^3· (-3x)=$。

(1)$-6x^2y$ (2)$-12x^5$ (3)$15a^5b^2$ (4)$24x^4y^6$

【分析】
解决单项式乘单项式类题目，核心遵循单项式乘法法则：先将各单项式的系数相乘，再把同底数幂分别相乘，仅在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的因式；若算式包含乘方运算，要先算乘方、再算乘法。计算时需重点注意符号判断（负负得正、正负得负），同底数幂相乘底数不变、指数相加，幂的乘方底数不变、指数相乘。
【解析】
(1) 计算$2xy· (-3x)$：
系数相乘：$2×(-3)=-6$，
同底数幂运算：$x·x=x^{1+1}=x^2$，单独字母$y$直接保留，
可得结果为$-6x^2y$。
(2) 计算$3(-x)^3· (-2x)^2$：
先算乘方：$(-x)^3=-x^3$，$(-2x)^2=(-2)^2·x^2=4x^2$，
原式转化为$3×(-x^3)×4x^2$，
系数相乘：$3×(-1)×4=-12$，
同底数幂运算：$x^3·x^2=x^{3+2}=x^5$，
可得结果为$-12x^5$。
(3) 计算$(-5a^2b)· (-3a^3b)$：
符号判断：两个负因数相乘结果为正，
系数相乘：$5×3=15$，
同底数幂运算：$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5$，$b·b=b^{1+1}=b^2$，
可得结果为$15a^5b^2$。
(4) 计算$(-2xy^2)^3· (-3x)$：
先算乘方：$(-2xy^2)^3=(-2)^3·x^3·(y^2)^3=-8x^3y^6$，
原式转化为$(-8x^3y^6)·(-3x)$，
符号判断：两个负因数相乘结果为正，
系数相乘：$8×3=24$，
同底数幂运算：$x^3·x=x^{3+1}=x^4$，单独字母$y^6$直接保留，
可得结果为$24x^4y^6$。
【答案】
(1)$-6x^2y$；(2)$-12x^5$；(3)$15a^5b^2$；(4)$24x^4y^6$
【知识点】
单项式乘单项式；积的乘方；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础运算题，重点考察单项式乘法的运算顺序和运算法则，计算时需注意先算乘方再算乘法，仔细核对符号和指数的运算结果，是后续学习多项式乘法的重要基础。
【难度系数】
0.8

练习3.(教材P103例1改编)计算：
(1)$5a^2 · (3a^3)^2$；
(2)$(2x^2 y) · (-x^2 y^2)$；
(3)$2a^2 × (-2ab) × (-ab)^3$；
(4)$(-mn)(-\frac{1}{3}m^3 n)$；
(5)$(-3a^2)^2 · a^3 + (a^2)^3 · (-2a)$；
(6)$2x^2 · (-2x^3)^2 + 2x^4 · 5(x^2)^2$。

解:(1)原式$=5a^2 · 9a^6 =45a^8$；
(2)原式$=-2x^4 y^3$；
(3)原式$=2a^2 × (-2ab) × (-a^3 b^3)$
$=4a^6 b^4$；
(4)原式$=\dfrac{1}{3}m^4 n^2$；
(5)原式$=9a^4 · a^3 -2a^7 =7a^7$；
(6)原式$=8x^8 +10x^8 =18x^8$。

【分析】
这组题目是幂的运算与单项式乘法的综合基础题，解题遵循固定运算顺序：①先算乘方运算：遇积的乘方时，把积的每个因式分别乘方；遇幂的乘方时，底数不变、指数相乘，同时注意符号判断；②再算单项式乘法：将系数相乘作为积的系数，相同字母的幂相乘时底数不变、指数相加，单独出现的字母连同指数直接作为积的因式；③最后若有加减运算，合并同类项即可。
【解析】
(1) 先计算积的乘方，再计算单项式乘法：
原式$=5a^2 · 9a^6 =(5×9)a^{2+6}=45a^8$
(2) 直接根据单项式乘法法则计算：
原式$=[2×(-1)]x^{2+2}y^{1+2}=-2x^4 y^3$
(3) 先计算乘方，再依次计算乘法：
原式$=2a^2 × (-2ab) × (-a^3 b^3)=[2×(-2)×(-1)]a^{2+1+3}b^{1+3}=4a^6 b^4$
(4) 直接根据单项式乘法法则计算：
原式$=[(-1)×(-\frac{1}{3})]m^{1+3}n^{1+2}=\dfrac{1}{3}m^4 n^2$
(5) 先分别计算两部分的乘方、乘法，再合并同类项：
原式$=9a^4 · a^3 + a^6 · (-2a)=9a^7 -2a^7 =7a^7$
(6) 先分别计算两部分的乘方、乘法，再合并同类项：
原式$=2x^2 · 4x^6 + 2x^4 · 5x^4=8x^8 +10x^8 =18x^8$
【答案】
(1)$45a^8$；(2)$-2x^4 y^3$；(3)$4a^6 b^4$；(4)$\dfrac{1}{3}m^4 n^2$；(5)$7a^7$；(6)$18x^8$
【知识点】
单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【点评】
本题为整式运算的基础训练，旨在帮助学生熟练掌握幂的运算法则和单项式乘法规则，计算时需注意运算顺序、符号判断以及指数运算的准确性，避免混淆不同幂运算的指数计算规则。
【难度系数】
0.8

练习4.若$-2x^{3m+1}y^{2n}$与$4x^{n-6}y^{-3-m}$的积与$-4x^4y$是同类项，求$m,n$的值.

解:$-2x^{3m+1}y^{2n} · 4x^{n-6}y^{-3-m}$
$=-8x^{3m+n-5}y^{2n-m-3}$
$\therefore \begin{cases} 3m+n-5=4,\\ 2n-m-3=1, \end{cases}$
$\therefore m=2,n=3.$

【分析】
要解决本题可按三步展开思路：第一步，先运用单项式乘单项式的运算法则，计算出两个单项式的乘积，整理为标准形式；第二步，根据同类项“相同字母的对应指数相等”的性质，将乘积中x、y的指数分别与$-4x^4y$中x、y的指数对应相等，列出关于m、n的二元一次方程组；第三步，解方程组即可求出m、n的值。
【解析】
首先计算两个单项式的乘积：
$\begin{aligned}-2x^{3m+1}y^{2n} · 4x^{n-6}y^{-3-m}&=(-2×4)·x^{(3m+1)+(n-6)}·y^{2n+(-3-m)}\\&=-8x^{3m+n-5}y^{2n-m-3}\end{aligned}$
∵所得乘积与$-4x^4y$是同类项
∴相同字母的指数对应相等，可列方程组：
$\begin{cases} 3m+n-5=4\\ 2n-m-3=1 \end{cases}$
整理得：
$\begin{cases} 3m+n=9 ①\\ -m+2n=4 ② \end{cases}$
由①得$n=9-3m$，代入②得：
$-m+2(9-3m)=4$，解得$m=2$
将$m=2$代入①得：$3×2+n=9$，解得$n=3$
【答案】
$m=2,n=3$
【知识点】
单项式乘单项式；同类项的定义；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是整式乘法与方程结合的基础题型，解题核心是准确掌握单项式乘法规则和同类项的判定性质，通过列方程组求解未知参数，是考查整式运算基础掌握程度的典型题。
【难度系数】
0.7

1.已知$2^x · 3^y =18,2^y · 3^x =12$，求$x+y$的值；
2.已知$2^{x+3} × 3^{x+3}=36^{x+1}$，求$x$的值。

1.解: $\begin{cases} 2^x · 3^y =9×2 \quad ①\\ 2^y · 3^x =2^2 ×3 \quad ② \end{cases}$
①$×$②得 $2^{x+y} · 3^{x+y}=6^3$，
$\therefore 6^{x+y}=6^3 ,\therefore x+y=3.$
2.解:$2^{x+3} × 3^{x+3}=6^{x+3}$，
$36^{x+1}=6^{2x+2}$，
$\therefore x+3=2x+2,\therefore x=1.$

【分析】
1. 第一小问：已知两个含2的幂和3的幂的乘积等式，要求$x+y$的值，可将两个等式左右两边分别相乘，利用同底数幂的乘法法则把左边的2的幂、3的幂分别合并，得到$2^{x+y}·3^{x+y}$，再逆用积的乘方公式变形为$6^{x+y}$；计算右边乘积为$18×12=216=6^3$，根据同底数幂相等则指数相等，即可求出$x+y$的值。
2. 第二小问：等式左边是底数为2和3、指数均为$x+3$的幂相乘，可逆用积的乘方公式合并为$6^{x+3}$；右边底数36可转化为$6^2$，利用幂的乘方法则将$36^{x+1}$变形为$6^{2x+2}$，再根据同底数幂相等则指数相等列方程，即可求解$x$。
【解析】
1. 由题意得：
$\begin{cases} 2^x · 3^y =18 \quad ①\\ 2^y · 3^x =12 \quad ② \end{cases}$
将①×②，左右两边分别相乘得：
$2^x · 3^y · 2^y · 3^x = 18×12$
根据同底数幂的乘法法则整理左边：
$2^{x+y} · 3^{x+y} = 216$
逆用积的乘方法则，左边变形为：
$(2×3)^{x+y}=6^{x+y}$
右边$216=6^3$，因此$6^{x+y}=6^3$，根据同底数幂相等则指数相等，得$x+y=3$。
2. 对等式左边逆用积的乘方法则：
$2^{x+3} × 3^{x+3}=(2×3)^{x+3}=6^{x+3}$
右边底数$36=6^2$，根据幂的乘方法则变形：
$36^{x+1}=(6^2)^{x+1}=6^{2(x+1)}=6^{2x+2}$
原等式转化为$6^{x+3}=6^{2x+2}$，根据同底数幂相等则指数相等列方程：
$x+3=2x+2$
解得$x=1$。
【答案】
1. $x+y=3$
2. $x=1$
【知识点】
同底数幂的乘法、积的乘方逆运算、幂的乘方
【点评】
这两道题核心考查幂的运算性质的灵活应用，解题关键是观察式子结构特点，逆用积的乘方公式合并同指数不同底数的幂，再转化为指数间的关系求解，熟练掌握幂的各类运算法则是解题基础。
【难度系数】
0.8