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【例1】已知轮船顺水航行40千米所需的时间和逆水航行30千米所需的时间相同，水流的速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x千米/时，可列出方程为
$\frac{40}{x+3}=\frac{30}{x-3}$
。答案
$\frac{40}{x+3}=\frac{30}{x-3}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，回忆行程问题的核心公式：时间=路程÷速度；第二步，明确顺水、逆水速度的计算方法：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度；第三步，找到题目中的等量关系：顺水航行40千米的时间=逆水航行30千米的时间，分别表示出两个时间后即可列出方程。
【解析】
已知轮船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为3千米/时：
1. 计算航行速度：
顺水航行速度 = 静水速度 + 水流速度 = (x+3)千米/时
逆水航行速度 = 静水速度 - 水流速度 = (x-3)千米/时
2. 分别表示两个航行时间：
顺水航行40千米所需时间为$\frac{40}{x+3}$小时
逆水航行30千米所需时间为$\frac{30}{x-3}$小时
3. 根据“两个时间相同”的等量关系列方程，可得：
$\frac{40}{x+3}=\frac{30}{x-3}$
【答案】
$\frac{40}{x+3}=\frac{30}{x-3}$
【知识点】
1. 行程问题数量关系
2. 顺水逆水速度计算
3. 分式方程列写
【点评】
本题是列分式方程解应用题的基础题型，核心是找准题目中的等量关系，易错点是混淆顺水和逆水速度的计算方法，掌握好行程问题的基本公式和水流速度与静水速度的关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，回忆行程问题的核心公式：时间=路程÷速度；第二步，明确顺水、逆水速度的计算方法：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度；第三步，找到题目中的等量关系：顺水航行40千米的时间=逆水航行30千米的时间，分别表示出两个时间后即可列出方程。
【解析】
已知轮船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为3千米/时：
1. 计算航行速度：
顺水航行速度 = 静水速度 + 水流速度 = (x+3)千米/时
逆水航行速度 = 静水速度 - 水流速度 = (x-3)千米/时
2. 分别表示两个航行时间：
顺水航行40千米所需时间为$\frac{40}{x+3}$小时
逆水航行30千米所需时间为$\frac{30}{x-3}$小时
3. 根据“两个时间相同”的等量关系列方程，可得：
$\frac{40}{x+3}=\frac{30}{x-3}$
【答案】
$\frac{40}{x+3}=\frac{30}{x-3}$
【知识点】
1. 行程问题数量关系
2. 顺水逆水速度计算
3. 分式方程列写
【点评】
本题是列分式方程解应用题的基础题型，核心是找准题目中的等量关系，易错点是混淆顺水和逆水速度的计算方法，掌握好行程问题的基本公式和水流速度与静水速度的关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
练习1.A，B两地相距180 km，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1 h.若设原来的平均车速为x km/h，则根据题意可列方程为
$\frac{180}{x}-\frac{180}{(1+50\%)x}=1$
.答案
$\frac{180}{x}-\frac{180}{(1+50\%)x}=1$
解析
【分析】
本题是行程类分式方程应用题，解题思路可分为三步：第一步，回忆行程问题的核心公式“时间=路程÷速度”；第二步，根据原车速表示出提速后的车速，再分别计算提速前、后从A地到B地的行驶时间；第三步，抓住“时间缩短了1h”的等量关系，即原行驶时间减去提速后的行驶时间等于1，代入表达式即可列出方程。
【解析】
1. 求提速后的平均车速：已知原来的平均车速为x km/h，车速提高50%后，新的平均车速为$(1+50\%)x$ km/h。
2. 表示两次行驶的时间：根据公式“时间=路程÷速度”，A、B两地路程为180km，因此原来的行驶时间为$\frac{180}{x}$ h，提速后的行驶时间为$\frac{180}{(1+50\%)x}$ h。
3. 结合时间差列方程：题目明确从A到B的时间缩短了1h，即原时间 - 提速后时间 = 1，代入时间表达式可得方程。
【答案】
$\frac{180}{x}-\frac{180}{(1+50\%)x}=1$
【知识点】
分式方程的实际应用；行程问题等量关系
【点评】
本题属于列方程解应用题的基础题型，解题核心是找准等量关系，准确用含未知数的式子表示出提速前后的行驶时间即可解题，是行程类应用题的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
本题是行程类分式方程应用题，解题思路可分为三步：第一步，回忆行程问题的核心公式“时间=路程÷速度”；第二步，根据原车速表示出提速后的车速，再分别计算提速前、后从A地到B地的行驶时间；第三步，抓住“时间缩短了1h”的等量关系，即原行驶时间减去提速后的行驶时间等于1，代入表达式即可列出方程。
【解析】
1. 求提速后的平均车速：已知原来的平均车速为x km/h，车速提高50%后，新的平均车速为$(1+50\%)x$ km/h。
2. 表示两次行驶的时间：根据公式“时间=路程÷速度”，A、B两地路程为180km，因此原来的行驶时间为$\frac{180}{x}$ h，提速后的行驶时间为$\frac{180}{(1+50\%)x}$ h。
3. 结合时间差列方程：题目明确从A到B的时间缩短了1h，即原时间 - 提速后时间 = 1，代入时间表达式可得方程。
【答案】
$\frac{180}{x}-\frac{180}{(1+50\%)x}=1$
【知识点】
分式方程的实际应用；行程问题等量关系
【点评】
本题属于列方程解应用题的基础题型，解题核心是找准等量关系，准确用含未知数的式子表示出提速前后的行驶时间即可解题，是行程类应用题的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
练习2.小明用滴滴打车去火车站,他可以选择两条不同路线:路线A的全程是15千米,但交通拥堵;路线B的全程比路线A的全程多6千米,但平均车速是走路线A时速度的1.5倍,走路线B的全程比走路线A少用15分钟.设走路线A时的平均速度为$x$千米/小时,根据题意,可列分式方程(
A.$\frac{15}{x} - \frac{15+6}{1.5x} =15$
B.$\frac{15+6}{1.5x} - \frac{15}{x}=15$
C.$\frac{15+6}{1.5x} - \frac{15}{x}=\frac{1}{4}$
D.$\frac{15}{x} - \frac{15+6}{1.5x}=\frac{1}{4}$
D
)A.$\frac{15}{x} - \frac{15+6}{1.5x} =15$
B.$\frac{15+6}{1.5x} - \frac{15}{x}=15$
C.$\frac{15+6}{1.5x} - \frac{15}{x}=\frac{1}{4}$
D.$\frac{15}{x} - \frac{15+6}{1.5x}=\frac{1}{4}$
答案
D
解析
【分析】
这是行程类分式方程应用题，解题按以下思路进行：①回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度；②分别梳理两条路线的路程、速度：路线A路程15千米，速度为x千米/小时；路线B路程为15+6=21千米，速度为1.5x千米/小时；③统一单位：题目给出的时间差是15分钟，速度单位为千米/小时，需将15分钟换算为$\frac{1}{4}$小时；④找等量关系：路线B速度更快，走B的时间比走A少15分钟，即走A的时间减去走B的时间等于$\frac{1}{4}$小时，据此即可列方程。
【解析】
首先计算路线B的相关量：
路线B的路程 = 15 + 6 = 21千米，路线B的平均速度 = 1.5x千米/小时。
根据时间=路程÷速度：
走路线A的时间为$\frac{15}{x}$小时，走路线B的时间为$\frac{15+6}{1.5x}$小时。
换算时间单位：15分钟 = $\frac{15}{60}$小时 = $\frac{1}{4}$小时。
由“走路线B比走路线A少用15分钟”可得等量关系：走A的时间 - 走B的时间 = $\frac{1}{4}$小时，
代入得方程：$\frac{15}{x} - \frac{15+6}{1.5x}=\frac{1}{4}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
行程问题公式，分式方程应用，时间单位换算
【点评】
本题是列分式方程解行程问题的基础题型，易错点有两个：一是忽略单位统一，直接用15代入列式；二是混淆两条路线的时间长短，把被减数和减数写反。解题时先梳理清楚各已知量，再紧扣等量关系列式，就能有效避免错误。
【难度系数】
0.7
这是行程类分式方程应用题，解题按以下思路进行：①回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度；②分别梳理两条路线的路程、速度：路线A路程15千米，速度为x千米/小时；路线B路程为15+6=21千米，速度为1.5x千米/小时；③统一单位：题目给出的时间差是15分钟，速度单位为千米/小时，需将15分钟换算为$\frac{1}{4}$小时；④找等量关系：路线B速度更快，走B的时间比走A少15分钟，即走A的时间减去走B的时间等于$\frac{1}{4}$小时，据此即可列方程。
【解析】
首先计算路线B的相关量：
路线B的路程 = 15 + 6 = 21千米，路线B的平均速度 = 1.5x千米/小时。
根据时间=路程÷速度：
走路线A的时间为$\frac{15}{x}$小时，走路线B的时间为$\frac{15+6}{1.5x}$小时。
换算时间单位：15分钟 = $\frac{15}{60}$小时 = $\frac{1}{4}$小时。
由“走路线B比走路线A少用15分钟”可得等量关系：走A的时间 - 走B的时间 = $\frac{1}{4}$小时，
代入得方程：$\frac{15}{x} - \frac{15+6}{1.5x}=\frac{1}{4}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
行程问题公式，分式方程应用，时间单位换算
【点评】
本题是列分式方程解行程问题的基础题型，易错点有两个：一是忽略单位统一，直接用15代入列式；二是混淆两条路线的时间长短，把被减数和减数写反。解题时先梳理清楚各已知量，再紧扣等量关系列式，就能有效避免错误。
【难度系数】
0.7
【例2】甲、乙两人分别从距目的地12千米和20千米的两地同时出发，甲、乙的速度比为3：4，结果甲比乙提前20分钟到达，求甲、乙的速度。
答案
解:设甲、乙的速度分别为3x千米/时、4x千米/时，
则$\frac{20}{4x}-\frac{12}{3x}=\frac{1}{3}$,解得$x=3$,
经检验:$x=3$是原方程的解.
答:甲的速度为9千米/时,乙的速度为12千米/时.
则$\frac{20}{4x}-\frac{12}{3x}=\frac{1}{3}$,解得$x=3$,
经检验:$x=3$是原方程的解.
答:甲的速度为9千米/时,乙的速度为12千米/时.
解析
【分析】
这是一道行程类分式方程应用题，解题思路如下：① 回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度；② 已知甲、乙速度比为3:4，为简化计算，设速度的每份为x，即可将甲、乙速度分别表示为3x千米/时、4x千米/时；③ 找等量关系：甲比乙提前20分钟到达，即乙走完全程的时间-甲走完全程的时间=20分钟，注意要将20分钟换算为$\frac{1}{3}$小时，保证单位和速度单位匹配；④ 将甲、乙的用时用含x的式子表示后代入等量关系列分式方程，求解后需要检验，既要验证解是否为原分式方程的根，也要验证是否符合实际意义；⑤ 最后代入x的值计算甲、乙的实际速度即可。
【解析】
解：设甲的速度为3x千米/时，乙的速度为4x千米/时。
根据题意列方程：
$\frac{20}{4x}-\frac{12}{3x}=\frac{1}{3}$
化简得：$\frac{5}{x}-\frac{4}{x}=\frac{1}{3}$
即$\frac{1}{x}=\frac{1}{3}$，解得$x=3$
经检验：$x=3$是原方程的解，且符合实际意义。
所以甲的速度为$3×3=9$千米/时，乙的速度为$4×3=12$千米/时。
【答案】
甲的速度为9千米/时，乙的速度为12千米/时。
【知识点】
列分式方程解应用题；行程问题等量关系；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程应用题的常考基础题型，解题核心是找准时间差的等量关系，需要注意运算过程中单位的统一，解完分式方程不要忘记验根。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类分式方程应用题，解题思路如下：① 回忆行程问题核心公式：时间=路程÷速度；② 已知甲、乙速度比为3:4，为简化计算，设速度的每份为x，即可将甲、乙速度分别表示为3x千米/时、4x千米/时；③ 找等量关系：甲比乙提前20分钟到达，即乙走完全程的时间-甲走完全程的时间=20分钟，注意要将20分钟换算为$\frac{1}{3}$小时，保证单位和速度单位匹配；④ 将甲、乙的用时用含x的式子表示后代入等量关系列分式方程，求解后需要检验，既要验证解是否为原分式方程的根，也要验证是否符合实际意义；⑤ 最后代入x的值计算甲、乙的实际速度即可。
【解析】
解：设甲的速度为3x千米/时，乙的速度为4x千米/时。
根据题意列方程：
$\frac{20}{4x}-\frac{12}{3x}=\frac{1}{3}$
化简得：$\frac{5}{x}-\frac{4}{x}=\frac{1}{3}$
即$\frac{1}{x}=\frac{1}{3}$，解得$x=3$
经检验：$x=3$是原方程的解，且符合实际意义。
所以甲的速度为$3×3=9$千米/时，乙的速度为$4×3=12$千米/时。
【答案】
甲的速度为9千米/时，乙的速度为12千米/时。
【知识点】
列分式方程解应用题；行程问题等量关系；分式方程验根
【点评】
本题是分式方程应用题的常考基础题型，解题核心是找准时间差的等量关系，需要注意运算过程中单位的统一，解完分式方程不要忘记验根。
【难度系数】
0.7
练习.A,B两地的距离是80千米,一辆公共汽车从A地驶出3小时后,一辆小汽车也从A地出发,它的速度是公共汽车的3倍,已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地,求两车的速度.
答案
解:设公共汽车的速度是x km/h，
$\frac{80}{x}-3+\frac{1}{3}=\frac{80}{3x}$,
解得$x=20$,
经检验:$x=20$是原方程的解.
$3x=60$.
答:公共汽车的速度是20 km/h,小汽车的速度是60 km/h.
$\frac{80}{x}-3+\frac{1}{3}=\frac{80}{3x}$,
解得$x=20$,
经检验:$x=20$是原方程的解.
$3x=60$.
答:公共汽车的速度是20 km/h,小汽车的速度是60 km/h.
解析
【分析】
这是一道行程类分式方程应用题，解题先回忆行程问题核心公式：路程=速度×时间。首先统一时间单位，将20分钟换算为$\frac{1}{3}$小时。两车行驶路程均为80km，已知小汽车速度是公共汽车的3倍，因此可设公共汽车速度为$x$ km/h，则小汽车速度为$3x$ km/h。接下来梳理时间等量关系：公共汽车比小汽车早出发3小时，反而比小汽车早到20分钟，说明公共汽车行驶全程的总时间减去提前出发的3小时，再加上小汽车晚到的$\frac{1}{3}$小时，就等于小汽车行驶全程的时间，据此列分式方程求解即可，注意分式方程解完要检验是否符合方程及实际意义。
【解析】
解：设公共汽车的速度是$x$ km/h，则小汽车的速度为$3x$ km/h，
20分钟=$\frac{1}{3}$小时，
根据题意列方程得：
$\frac{80}{x}-3+\frac{1}{3}=\frac{80}{3x}$
两边同乘$3x$去分母得：
$240-9x+x=80$
合并同类项、移项得：
$8x=160$
解得$x=20$，
经检验：$x=20$是原方程的解，且符合实际意义。
则小汽车速度为$3x=3×20=60$（km/h）。
【答案】
公共汽车的速度是20 km/h，小汽车的速度是60 km/h。
【知识点】
列分式方程解应用题；行程问题等量关系；分式方程的检验
【点评】
本题是典型的行程类应用题，解题关键是准确梳理两车行驶的时间差，找准等量关系列方程，同时要注意分式方程必须检验解的合理性，计算前统一单位可避免出错。
【难度系数】
0.6
这是一道行程类分式方程应用题，解题先回忆行程问题核心公式：路程=速度×时间。首先统一时间单位，将20分钟换算为$\frac{1}{3}$小时。两车行驶路程均为80km，已知小汽车速度是公共汽车的3倍，因此可设公共汽车速度为$x$ km/h，则小汽车速度为$3x$ km/h。接下来梳理时间等量关系：公共汽车比小汽车早出发3小时，反而比小汽车早到20分钟，说明公共汽车行驶全程的总时间减去提前出发的3小时，再加上小汽车晚到的$\frac{1}{3}$小时，就等于小汽车行驶全程的时间，据此列分式方程求解即可，注意分式方程解完要检验是否符合方程及实际意义。
【解析】
解：设公共汽车的速度是$x$ km/h，则小汽车的速度为$3x$ km/h，
20分钟=$\frac{1}{3}$小时，
根据题意列方程得：
$\frac{80}{x}-3+\frac{1}{3}=\frac{80}{3x}$
两边同乘$3x$去分母得：
$240-9x+x=80$
合并同类项、移项得：
$8x=160$
解得$x=20$，
经检验：$x=20$是原方程的解，且符合实际意义。
则小汽车速度为$3x=3×20=60$（km/h）。
【答案】
公共汽车的速度是20 km/h，小汽车的速度是60 km/h。
【知识点】
列分式方程解应用题；行程问题等量关系；分式方程的检验
【点评】
本题是典型的行程类应用题，解题关键是准确梳理两车行驶的时间差，找准等量关系列方程，同时要注意分式方程必须检验解的合理性，计算前统一单位可避免出错。
【难度系数】
0.6
