登录
1 用代数式表示a的2倍与b的平方的和，正确的是 （
A.$(2a+b)^2$
B.$2(a+b)^2$
C.$2a+b^2$
D.$(a+2b)^2$
C
）A.$(2a+b)^2$
B.$2(a+b)^2$
C.$2a+b^2$
D.$(a+2b)^2$
答案
1. C
解析
【分析】
解这道题需要逐句拆解文字描述的运算要求，明确每一步的运算对象和顺序：首先找到题目描述的两个运算项，第一个是“a的2倍”，第二个是“b的平方”，最后要求是这两个项的和，按照先算倍数、乘方，再算和的顺序组合即可，同时要注意不要混淆运算顺序，避免出现先加再乘、先加再平方的错误。
【解析】
第一步：表示“a的2倍”，即a乘2，写作$2a$；
第二步：表示“b的平方”，即b乘b，写作$b^2$；
第三步：求两者的和，即将上述两个代数式相加，得到$2a+b^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；乘方的意义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查将文字语言转化为代数式的能力，解题的关键是准确理解文字描述中的运算顺序，拆分清楚各个运算部分，避免因颠倒运算顺序出现错误。
【难度系数】
0.9
解这道题需要逐句拆解文字描述的运算要求，明确每一步的运算对象和顺序：首先找到题目描述的两个运算项，第一个是“a的2倍”，第二个是“b的平方”，最后要求是这两个项的和，按照先算倍数、乘方，再算和的顺序组合即可，同时要注意不要混淆运算顺序，避免出现先加再乘、先加再平方的错误。
【解析】
第一步：表示“a的2倍”，即a乘2，写作$2a$；
第二步：表示“b的平方”，即b乘b，写作$b^2$；
第三步：求两者的和，即将上述两个代数式相加，得到$2a+b^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
列代数式；乘方的意义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查将文字语言转化为代数式的能力，解题的关键是准确理解文字描述中的运算顺序，拆分清楚各个运算部分，避免因颠倒运算顺序出现错误。
【难度系数】
0.9
2 如图，表示涂色部分面积的代数式不正确的是 （
A.$ ab - (a - c)(b - d) $
B.$ ad + (b - d)c $
C.$ bc + (a - c)d $
D.$ ab - cd $
D
）A.$ ab - (a - c)(b - d) $
B.$ ad + (b - d)c $
C.$ bc + (a - c)d $
D.$ ab - cd $
答案
2. D
解析
【分析】
计算不规则涂色部分的面积，可采用两类常用思路：一是“补形法”，先算外围大长方形的面积，再减去空白小长方形的面积；二是“分割法”，将涂色部分拆成两个规则的长方形，分别计算面积后求和。我们可以分别用这两类思路推导面积表达式，再逐一验证选项是否正确，最终选出错误的选项。
【解析】
我们分别验证各选项：
1. 验证选项A：外围大长方形的长为a、宽为b，面积为$ab$；空白部分是长为$(a-c)$、宽为$(b-d)$的小长方形，面积为$(a-c)(b-d)$，因此涂色面积为$ab-(a-c)(b-d)$，A选项正确，不符合题意。
2. 验证选项B：将涂色部分拆为下方长为a、宽为d的长方形，和上方长为c、宽为$(b-d)$的长方形，总面积为$ad + c(b-d)$，B选项正确，不符合题意。
3. 验证选项C：将涂色部分拆为右侧长为c、宽为b的长方形，和左侧长为$(a-c)$、宽为d的长方形，总面积为$bc + d(a-c)$，C选项正确，不符合题意。
4. 验证选项D：展开A选项的表达式可得：$ab-(a-c)(b-d)=ab-(ab-ad-bc+cd)=ad+bc-cd$，显然和$ab-cd$不相等，D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
列代数式；割补法求面积；整式的加减
【点评】
本题核心是通过割补法把不规则图形的面积转化为规则图形的面积和差，解题时要注意分割或补形后各边长度的对应关系，避免因边长判断错误选错结果。
【难度系数】
0.7
计算不规则涂色部分的面积，可采用两类常用思路：一是“补形法”，先算外围大长方形的面积，再减去空白小长方形的面积；二是“分割法”，将涂色部分拆成两个规则的长方形，分别计算面积后求和。我们可以分别用这两类思路推导面积表达式，再逐一验证选项是否正确，最终选出错误的选项。
【解析】
我们分别验证各选项：
1. 验证选项A：外围大长方形的长为a、宽为b，面积为$ab$；空白部分是长为$(a-c)$、宽为$(b-d)$的小长方形，面积为$(a-c)(b-d)$，因此涂色面积为$ab-(a-c)(b-d)$，A选项正确，不符合题意。
2. 验证选项B：将涂色部分拆为下方长为a、宽为d的长方形，和上方长为c、宽为$(b-d)$的长方形，总面积为$ad + c(b-d)$，B选项正确，不符合题意。
3. 验证选项C：将涂色部分拆为右侧长为c、宽为b的长方形，和左侧长为$(a-c)$、宽为d的长方形，总面积为$bc + d(a-c)$，C选项正确，不符合题意。
4. 验证选项D：展开A选项的表达式可得：$ab-(a-c)(b-d)=ab-(ab-ad-bc+cd)=ad+bc-cd$，显然和$ab-cd$不相等，D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
列代数式；割补法求面积；整式的加减
【点评】
本题核心是通过割补法把不规则图形的面积转化为规则图形的面积和差，解题时要注意分割或补形后各边长度的对应关系，避免因边长判断错误选错结果。
【难度系数】
0.7
3 小红家到学校的路程是1000 m，她步行的速度是v m/min，她步行了t min还未到达学校，此时她与学校之间的路程为
$(1000-vt)$
m.答案
3. $(1000-vt)$
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题目中的数量逻辑：剩余到学校的路程=总路程-已经步行的路程。我们可以先借助行程问题的基本公式算出已经步行的路程，再用总路程减去已走路程，就能得到最终的剩余路程。
【解析】
1. 根据行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，已知小红的步行速度是v m/min，步行时间是t min，因此她t分钟已经走过的路程为：$ v × t = vt \, \mathrm{m} $。
2. 已知小红家到学校的总路程是1000m，且此时她还未到达学校，因此她和学校之间的路程=总路程-已走路程，即$ 1000 - vt $，按照代数式书写规范，多项式表示带单位时需添加括号，最终结果为$ (1000 - vt) \, \mathrm{m} $。
【答案】
$ (1000-vt) $
【知识点】
列代数式；行程问题数量关系
【点评】
本题属于列代数式的基础应用题型，结合日常出行的场景设置，核心是理清总路程、已走路程、剩余路程三者的逻辑关系，熟练掌握行程的基本公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确题目中的数量逻辑：剩余到学校的路程=总路程-已经步行的路程。我们可以先借助行程问题的基本公式算出已经步行的路程，再用总路程减去已走路程，就能得到最终的剩余路程。
【解析】
1. 根据行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，已知小红的步行速度是v m/min，步行时间是t min，因此她t分钟已经走过的路程为：$ v × t = vt \, \mathrm{m} $。
2. 已知小红家到学校的总路程是1000m，且此时她还未到达学校，因此她和学校之间的路程=总路程-已走路程，即$ 1000 - vt $，按照代数式书写规范，多项式表示带单位时需添加括号，最终结果为$ (1000 - vt) \, \mathrm{m} $。
【答案】
$ (1000-vt) $
【知识点】
列代数式；行程问题数量关系
【点评】
本题属于列代数式的基础应用题型，结合日常出行的场景设置，核心是理清总路程、已走路程、剩余路程三者的逻辑关系，熟练掌握行程的基本公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4 用代数式表示：
(1) m 个学生的数学考试的总分是n 分，求这些学生数学考试的平均分；
(2) 长方形的长为a cm，宽为b cm，求该长方形的周长和面积。
(1) m 个学生的数学考试的总分是n 分，求这些学生数学考试的平均分；
(2) 长方形的长为a cm，宽为b cm，求该长方形的周长和面积。
答案
4. (1) $\frac{n}{m}$分 (2) 周长:$(2a+2b)\mathrm{cm}$ 面积:$ab\ \mathrm{cm}^2$
解析
【分析】
本题是基础的列代数式题目，解题时先找准对应数量关系或公式，再代入已知字母整理即可。(1)首先回忆平均分的计算逻辑：平均分=总分数÷总人数，题目已给出总分n、总人数m，直接代入关系即可；(2)先回忆长方形的周长、面积公式，再把已知的长a、宽b代入公式，最后按代数式书写规范整理，注意标注对应单位。
【解析】
(1) 根据平均分的计算公式：$\mathrm{平均分}=\mathrm{总分}÷ \mathrm{总人数}$，已知总分为$n$分，学生总人数为$m$个，代入可得平均分为$\frac{n}{m}$分。
(2) 长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，将长$a\ \mathrm{cm}$、宽$b\ \mathrm{cm}$代入，得周长为$2(a+b)=(2a+2b)\ \mathrm{cm}$；
长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}× \mathrm{宽}$，代入得面积为$a× b=ab\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\frac{n}{m}$分 (2) 周长:$(2a+2b)\mathrm{cm}$ 面积:$ab\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式；平均数计算；长方形周长与面积公式
【点评】
本题考查列代数式的基础应用，核心是熟练掌握常见数量关系和几何图形的计算公式，解题时要注意代数式的书写规范，和差形式的代数式带单位时需添加括号，面积单位要标注正确。
【难度系数】
0.9
本题是基础的列代数式题目，解题时先找准对应数量关系或公式，再代入已知字母整理即可。(1)首先回忆平均分的计算逻辑：平均分=总分数÷总人数，题目已给出总分n、总人数m，直接代入关系即可；(2)先回忆长方形的周长、面积公式，再把已知的长a、宽b代入公式，最后按代数式书写规范整理，注意标注对应单位。
【解析】
(1) 根据平均分的计算公式：$\mathrm{平均分}=\mathrm{总分}÷ \mathrm{总人数}$，已知总分为$n$分，学生总人数为$m$个，代入可得平均分为$\frac{n}{m}$分。
(2) 长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，将长$a\ \mathrm{cm}$、宽$b\ \mathrm{cm}$代入，得周长为$2(a+b)=(2a+2b)\ \mathrm{cm}$；
长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}× \mathrm{宽}$，代入得面积为$a× b=ab\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) $\frac{n}{m}$分 (2) 周长:$(2a+2b)\mathrm{cm}$ 面积:$ab\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
列代数式；平均数计算；长方形周长与面积公式
【点评】
本题考查列代数式的基础应用，核心是熟练掌握常见数量关系和几何图形的计算公式，解题时要注意代数式的书写规范，和差形式的代数式带单位时需添加括号，面积单位要标注正确。
【难度系数】
0.9
5 某公司今年2月的利润为$x$万元，3月的利润比2月减少7%，4月的利润比3月增加了8%，则该公司4月的利润为
（
A.$(x - 7\%)(x + 8\%)$万元
B.$(x - 7\% + 8\%)$万元
C.$(1 - 7\% + 8\%)x$万元
D.$(1 - 7\%)(1 + 8\%)x$万元
（
D
）A.$(x - 7\%)(x + 8\%)$万元
B.$(x - 7\% + 8\%)$万元
C.$(1 - 7\% + 8\%)x$万元
D.$(1 - 7\%)(1 + 8\%)x$万元
答案
5. D
解析
【分析】
解决这类利润增减变化的问题，核心是要明确每一次变化对应的单位“1”：首先3月利润的变化是相对于2月的，单位“1”是2月的利润x万元；4月利润的变化是相对于3月的，单位“1”是3月的利润。我们先根据2月利润算出3月利润，再根据3月利润算出4月利润即可，同时要注意减少7%就是变为原来的(1-7%)，增加8%就是变为原来的(1+8%)，不能直接对百分率进行无意义的加减。
【解析】
第一步：计算3月的利润
已知2月利润为x万元，3月比2月减少7%，因此3月利润是2月利润的(1-7%)，即3月利润为$(1-7\%)x$万元。
第二步：计算4月的利润
已知4月比3月增加8%，因此4月利润是3月利润的(1+8%)，将3月利润代入可得：
4月利润 = $(1-7\%)x × (1+8\%) = (1-7\%)(1+8\%)x$万元。
对比选项可知D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
列代数式；增长率问题；单位“1”的应用
【点评】
本题是典型的百分率变化类应用题，解题的关键是找准每次变化对应的单位“1”，掌握“增加/减少后的量=原有量×(1±百分率)”的计算逻辑，避免出现直接将百分率相加减的错误。
【难度系数】
0.8
解决这类利润增减变化的问题，核心是要明确每一次变化对应的单位“1”：首先3月利润的变化是相对于2月的，单位“1”是2月的利润x万元；4月利润的变化是相对于3月的，单位“1”是3月的利润。我们先根据2月利润算出3月利润，再根据3月利润算出4月利润即可，同时要注意减少7%就是变为原来的(1-7%)，增加8%就是变为原来的(1+8%)，不能直接对百分率进行无意义的加减。
【解析】
第一步：计算3月的利润
已知2月利润为x万元，3月比2月减少7%，因此3月利润是2月利润的(1-7%)，即3月利润为$(1-7\%)x$万元。
第二步：计算4月的利润
已知4月比3月增加8%，因此4月利润是3月利润的(1+8%)，将3月利润代入可得：
4月利润 = $(1-7\%)x × (1+8\%) = (1-7\%)(1+8\%)x$万元。
对比选项可知D选项正确。
【答案】
D
【知识点】
列代数式；增长率问题；单位“1”的应用
【点评】
本题是典型的百分率变化类应用题，解题的关键是找准每次变化对应的单位“1”，掌握“增加/减少后的量=原有量×(1±百分率)”的计算逻辑，避免出现直接将百分率相加减的错误。
【难度系数】
0.8
6 有一列数:1,2,3,4,5,6,…,按顺序从第2个数数到第6个数,共数了
5
个数;按顺序从第m个数数到第n个数(n＞m),共数了$(n-m+1)$
个数。答案
6. 5 $(n-m+1)$
解析
【分析】
解决这道题可以先通过具体计数得到第一个空的答案，再推导通用规律。对于有序排列的数列，从第a个数数到第b个数（b＞a）时，首尾两个数都需要计入总数，因此数的总个数不是直接用末序号减首序号，而是要在二者的差的基础上加1，我们可以先通过具体数值验证这个规律，再推广到用字母表示的一般情况。
【解析】
1. 计算从第2个数数到第6个数的总个数：
列出数到的数依次为2、3、4、5、6，逐一计数可得共5个数，也可列式计算：$6-2+1=5$。
2. 推导从第m个数数到第n个数（$n＞m$）的总个数：
类比上述计算逻辑，末位序号为n，起始序号为m，首尾都要计数，因此总个数为$n-m+1$。
【答案】
5；$(n-m+1)$
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 列代数式
【点评】
本题考查有序数列的计数规律，解题核心是理解首尾都计数时，总个数比序号差多1，易错点是容易漏加1，直接写成$n-m$，解决这类问题可以先用具体数值验证规律后再推广到字母形式。
【难度系数】
0.8
解决这道题可以先通过具体计数得到第一个空的答案，再推导通用规律。对于有序排列的数列，从第a个数数到第b个数（b＞a）时，首尾两个数都需要计入总数，因此数的总个数不是直接用末序号减首序号，而是要在二者的差的基础上加1，我们可以先通过具体数值验证这个规律，再推广到用字母表示的一般情况。
【解析】
1. 计算从第2个数数到第6个数的总个数：
列出数到的数依次为2、3、4、5、6，逐一计数可得共5个数，也可列式计算：$6-2+1=5$。
2. 推导从第m个数数到第n个数（$n＞m$）的总个数：
类比上述计算逻辑，末位序号为n，起始序号为m，首尾都要计数，因此总个数为$n-m+1$。
【答案】
5；$(n-m+1)$
【知识点】
1. 数字规律探究
2. 列代数式
【点评】
本题考查有序数列的计数规律，解题核心是理解首尾都计数时，总个数比序号差多1，易错点是容易漏加1，直接写成$n-m$，解决这类问题可以先用具体数值验证规律后再推广到字母形式。
【难度系数】
0.8
7 教材 P72 例4变式 在植树活动中“雷锋活动小组”需植树 120 棵，已知“雷锋活动小组”每小时可植树 $ x $ 棵。
（1）“雷锋活动小组”需要多少时间植完 120 棵树？
（2）如果“雷锋活动小组”每小时植树多 5 棵，此时“雷锋活动小组”需要多少时间植完 120 棵树？实际植树时间比原来提前了多少？
（1）“雷锋活动小组”需要多少时间植完 120 棵树？
（2）如果“雷锋活动小组”每小时植树多 5 棵，此时“雷锋活动小组”需要多少时间植完 120 棵树？实际植树时间比原来提前了多少？
答案
7. (1) $\frac{120}{x}\ \mathrm{h}$ (2) $\frac{120}{x+5}\ \mathrm{h}$ $(\frac{120}{x}-\frac{120}{x+5})\ \mathrm{h}$
解析
【分析】
解题时首先回忆工程类问题的核心数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。
（1）直接对应题中已知量：工作总量是120棵，工作效率为每小时x棵，用总量除以效率即可得到所需时间；
（2）先求出提速后的工作效率为每小时$(x+5)$棵，再用相同的数量关系求出提速后的植树时间，提前的时间等于原来的植树时间减去提速后的植树时间，注意和差形式的代数式带单位时要整体加括号。
【解析】
解：（1）根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，已知工作总量为120棵，工作效率为每小时$x$棵，
因此植完120棵树需要的时间为$\frac{120}{x}\ \mathrm{h}$。
（2）每小时多植5棵时，新的工作效率为每小时$(x+5)$棵，
此时植完120棵树需要的时间为$\frac{120}{x+5}\ \mathrm{h}$；
实际比原来提前的时间=原时间-提速后时间，即$(\frac{120}{x}-\frac{120}{x+5})\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $\frac{120}{x}\ \mathrm{h}$ (2) $\frac{120}{x+5}\ \mathrm{h}$ $(\frac{120}{x}-\frac{120}{x+5})\ \mathrm{h}$
【知识点】
列代数式，工程问题数量关系，代数式书写规范
【点评】
本题属于列代数式的基础应用题，核心是找准实际问题中各数量的对应关系，书写代数式时要注意：除法运算要写成分数形式，若代数式是和或差的结构，带单位时要将代数式整体用括号括起，避免出现书写错误。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆工程类问题的核心数量关系：工作时间=工作总量÷工作效率。
（1）直接对应题中已知量：工作总量是120棵，工作效率为每小时x棵，用总量除以效率即可得到所需时间；
（2）先求出提速后的工作效率为每小时$(x+5)$棵，再用相同的数量关系求出提速后的植树时间，提前的时间等于原来的植树时间减去提速后的植树时间，注意和差形式的代数式带单位时要整体加括号。
【解析】
解：（1）根据“工作时间=工作总量÷工作效率”，已知工作总量为120棵，工作效率为每小时$x$棵，
因此植完120棵树需要的时间为$\frac{120}{x}\ \mathrm{h}$。
（2）每小时多植5棵时，新的工作效率为每小时$(x+5)$棵，
此时植完120棵树需要的时间为$\frac{120}{x+5}\ \mathrm{h}$；
实际比原来提前的时间=原时间-提速后时间，即$(\frac{120}{x}-\frac{120}{x+5})\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $\frac{120}{x}\ \mathrm{h}$ (2) $\frac{120}{x+5}\ \mathrm{h}$ $(\frac{120}{x}-\frac{120}{x+5})\ \mathrm{h}$
【知识点】
列代数式，工程问题数量关系，代数式书写规范
【点评】
本题属于列代数式的基础应用题，核心是找准实际问题中各数量的对应关系，书写代数式时要注意：除法运算要写成分数形式，若代数式是和或差的结构，带单位时要将代数式整体用括号括起，避免出现书写错误。
【难度系数】
0.85
