9.(2024·射阳县月考)在整数$-3,-1,0,6,2$中,若选取两个整数分别填入“$□ × △ =-6$”的$□$和$△$中,并使等式成立,则选取后填入“$□$”的数字有（）

A.1种
B.2种
C.3种
D.4种

D

【分析】要解决本题，需先从给定整数中找出所有乘积为-6的两个整数组合，再确定每个组合中作为“□”的数字，统计其种类数。首先列出题目给出的整数：-3、-1、0、6、2，再根据有理数乘法法则，排除无法得到-6的0，列举所有乘积为-6的整数对，最后统计这些对中作为“□”的不同数字的数量即可。
【解析】首先，题目给出的整数为：-3，-1，0，6，2。根据题意，需找出所有乘积为-6的两个整数组合，且均来自上述集合：
1. $2 × (-3) = -6$，此时“□”可填2；
2. $(-3) × 2 = -6$，此时“□”可填-3；
3. $6 × (-1) = -6$，此时“□”可填6；
4. $(-1) × 6 = -6$，此时“□”可填-1；
上述组合中，作为“□”的数字共2、-3、6、-1这4种，因此答案选D。
【答案】D
【知识点】有理数的乘法，整数的认识
【点评】本题考查有理数乘法的实际应用，核心是准确找出乘积为-6的整数对，需注意区分两个因数的位置，避免遗漏情况，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6

10. 观察下面的变化规律：
$\frac{2}{1 × 3}=1-\frac{1}{3},\frac{2}{3 × 5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5},\frac{2}{5 × 7}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7},\frac{2}{7 × 9}=\frac{1}{7}-\frac{1}{9} ··· ···$
根据上面的规律计算：
$\frac{2}{1 × 3}+\frac{2}{3 × 5}+\frac{2}{5 × 7}+···+\frac{2}{2023 × 2025}=\_\_\_\_\_\_.$

$\frac{2024}{2025}$

【分析】首先观察题目给出的等式规律，发现形如$\frac{2}{n×(n+2)}$（n为奇数）的分式可拆分为$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$，这种拆分方法称为裂项法。计算求和时，将每个项按此规律拆分后，中间的项会相互抵消，仅剩下首尾两项，从而简化计算过程。
【解析】解：根据已知规律，将原式各项拆分：
$\frac{2}{1×3}+\frac{2}{3×5}+\frac{2}{5×7}+···+\frac{2}{2023×2025}$
$=(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+···+(\frac{1}{2023}-\frac{1}{2025})$
中间项相互抵消后，剩余：
$1 - \frac{1}{2025} = \frac{2025 - 1}{2025} = \frac{2024}{2025}$
【答案】$\frac{2024}{2025}$
【知识点】分式裂项、有理数加减运算
【点评】本题通过给定的规律考查裂项相消法的应用，解题核心是发现分式的拆分规律，利用抵消简化求和过程，属于规律应用类基础题，难度适中。
【难度系数】0.7

11.计算：
(1)$(-8)×\dfrac{5}{6}×(-\dfrac{3}{5})×(-\dfrac{9}{4})$；
(2)$(-\dfrac{3}{7})×(-0.125)×\dfrac{1}{18}×(-80)$；
(3)$(+1\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{4}{9})×(+2.5)×(-\dfrac{3}{25})$；
(4)$(-10)×|-3|×(-\dfrac{1}{2})×(-5\dfrac{1}{3})×\dfrac{4}{5}$；
(5)$(-6)×(-3)+2×(-4)$；
(6)$(-4)×\dfrac{3}{5}-(-3.2)×1.5$。

(1)-9 (2)$-\frac{5}{21}$ (3)$\frac{2}{9}$ (4)-64 (5)10 (6)$\frac{12}{5}$

【分析】本题是有理数的混合运算，解题思路为：1. 先确定乘法运算的符号（负因数个数为奇数时结果为负，偶数时为正）；2. 利用乘法交换律、结合律简化计算，将可约分的数结合，分数与小数统一形式；3. 加减运算遵循“先乘除后加减”的顺序，有绝对值的先计算绝对值。
【解析】
(1) 负因数共3个，结果为负，用乘法交换律、结合律约分计算：
原式 = - (8×$\frac{5}{6}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{9}{4}$) = - (18×$\frac{1}{2}$) = -9；
(2) 负因数共3个，结果为负，将小数转化为分数后结合约分：
原式 = - ($\frac{3}{7}$×$\frac{1}{8}$×$\frac{1}{18}$×80) = - ($\frac{3}{7}$×10×$\frac{1}{18}$) = -$\frac{5}{21}$；
(3) 负因数共2个，结果为正，将带分数、小数转化为分数后分组约分：
原式 = ($\frac{5}{3}$×$\frac{4}{9}$×$\frac{5}{2}$×$\frac{3}{25}$) = ($\frac{5}{3}$×$\frac{3}{25}$)×($\frac{4}{9}$×$\frac{5}{2}$) = $\frac{1}{5}$×$\frac{10}{9}$ = $\frac{2}{9}$；
(4) 先算绝对值：|-3|=3，负因数共3个，结果为负，将带分数转化为假分数后约分：
原式 = - (10×3×$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{3}$×$\frac{4}{5}$) = -64；
(5) 先算乘法，再算加减：
原式 = 18 + (-8) = 10；
(6) 将小数转化为分数后计算：
原式 = -$\frac{12}{5}$ + $\frac{24}{5}$ = $\frac{12}{5}$；
【答案】
(1)-9；(2)-$\frac{5}{21}$；(3)$\frac{2}{9}$；(4)-64；(5)10；(6)$\frac{12}{5}$
【知识点】
有理数的乘法法则，有理数的混合运算，乘法运算律
【点评】
本题为有理数基础运算题，考察符号判断、运算律简化应用及分数小数转换，运算时需注意符号确定和约分准确性，是有理数章节核心基础题型。
【难度系数】
0.6

12. 按一定顺序排列的一列数叫作数列，例如，数列$\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{12},\dfrac{1}{20}······$
(1)这个数列中的第5个数为；
(2)求这个数列的前2025个数的和.

(1)$\frac{1}{30}$
(2)解:这个数列的前 2025 个数的和为$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+…+\frac{1}{2025×2026}=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+…+(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$.

【分析】首先观察数列各项的分母特征：第1项分母为1×2，第2项分母为2×3，第3项分母为3×4，第4项分母为4×5，由此可推出该数列第n项的通项公式为$\frac{1}{n(n+1)}$；第(1)问求第5个数，直接代入通项公式计算；第(2)问求前2025项和，利用裂项相消法拆分每一项，通过中间项抵消简化求和过程。
【解析】(1) 观察数列：第1项$\frac{1}{2}=\frac{1}{1×2}$，第2项$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}$，第3项$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}$，第4项$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}$，因此第n项为$\frac{1}{n(n+1)}$，则第5个数为$\frac{1}{5×6}=\frac{1}{30}$。
(2) 前2025个数的和为：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026}$
利用裂项公式$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，拆分每一项得：
$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+…+(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})$
中间项相互抵消，剩余：
$1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}$
【答案】(1)$\frac{1}{30}$；(2)$\frac{2025}{2026}$
【知识点】数列规律探究、裂项相消法求和
【点评】本题是数列的基础应用题型，核心是通过观察数列特征推导通项公式，再运用裂项相消法简化求和，是初中数学数列部分的常考内容，需掌握常见的裂项技巧。
【难度系数】0.6