【知识点1】角平分线的性质
◎角的平分线上的点到角的两边的相等.
◎三角形三条的交点到三边的距离相等.

角的平分线上的点到角的两边的距离相等；三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等。

【分析】
本题考查角平分线相关的基础性质，解题思路如下：首先回忆角平分线的核心性质内容，角平分线上的点到角两边的垂线段长度（即距离）相等，据此可填出第一个空；再推导三角形中到三边距离相等的点的特征：该点需要同时在三个内角的角平分线上，因此是三角形三条角平分线的交点，据此填出第二个空。
【解析】
1. 依据角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，因此第一个空填“距离”；
2. 三角形的三条角平分线交于同一点，该点在每一条角平分线上，因此到三角形三边的距离均相等，因此第二个空填“角平分线”。
【答案】
角的平分线上的点到角的两边的距离相等；三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等。
【知识点】
角平分线的性质，三角形角平分线的性质
【点评】
本题为基础概念考查题，侧重对教材核心知识点的识记，难度较低，掌握角平分线的基本性质即可快速得分。
【难度系数】
0.9

1. 如图14.3-1，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AD$平分$∠ BAC$，$BD=2$，则点$D$到$AC$的距离是。

1. 2

【分析】
要求点D到AC的距离，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确∠BAC的两边为AB和AC，已知∠B=90°，因此BD垂直于AB，即BD就是点D到AB边的距离，结合AD是角平分线的条件，可推出点D到AC的距离与BD长度相等，代入已知BD=2即可得到结果。
【解析】
过点D作$DE⊥ AC$，垂足为E，则DE的长度就是点D到AC的距离。
$\because ∠ B=90°$，$\therefore DB⊥ AB$，
又$\because AD$平分$∠ BAC$，$DB⊥ AB$，$DE⊥ AC$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
$\therefore DE=BD$，
$\because BD=2$，
$\therefore DE=2$，即点D到AC的距离为2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于角平分线性质的基础应用类题目，解题关键是准确理解点到直线的距离的定义，熟练掌握角平分线的性质，找准对应相等的两条垂线段即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. 如图14.3-2，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，CD=3，AB=14，则$△ ABD$的面积是。

2. 21

【分析】
首先识别题目中的作图步骤属于角平分线的标准尺规作图，可得出AD是∠BAC的角平分线；再回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知∠C=90°即DC垂直AC，因此点D到AB的距离等于CD的长度3；最后利用三角形面积公式，以AB为底，D到AB的距离为高，代入数值即可求出△ABD的面积。
【解析】
解：由尺规作图的操作步骤可知，AD是∠BAC的角平分线。
过点D作DE⊥AB于点E，
∵∠C=90°，
∴DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，根据角平分线的性质可得：DE=CD=3。
∴$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE=\frac{1}{2}×14×3=21$。
【答案】
21
【知识点】
角平分线的尺规作图；角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题核心考查对角平分线尺规作图的识别和角平分线性质的应用，解题的关键是通过作图步骤判断出AD为角平分线，进而求出三角形对应边上的高，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8

3. 如图14.3-3，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=BC$，$AD$平分$∠ CAB$，交$BC$于点$D$，$DE ⊥ AB$于点$E$，$AB=10$，则$△ DEB$的周长为（）

A.9
B.5
C.10
D.不能确定

3. C

【分析】
拿到这道题我们可以按以下思路推导：首先看到角平分线和两条垂直于角两边的线段，首先想到角平分线的性质，可得CD=DE；接着可以证明Rt△ACD与Rt△AED全等，得到AC=AE，结合题目给出的AC=BC，可推出AE=BC；最后把△DEB的周长展开，通过等量代换将其转化为AB的长度，就能直接求出结果。
【解析】
解：
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴CD=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等），
在Rt△ACD和Rt△AED中：
$\{\begin{array}{l}AD=AD\quad(公共边)\\ CD=DE\quad(已证)\end{array} $
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE（全等三角形对应边相等），
又
∵AC=BC，
∴AE=BC，
△DEB的周长为：
$C_{△ DEB}=DE+DB+BE$
将DE替换为CD，可得：
$C_{△ DEB}=CD+DB+BE=BC+BE$
再将BC替换为AE，可得：
$C_{△ DEB}=AE+BE=AB$
已知AB=10，
∴$C_{△ DEB}=10$，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；等量代换
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题型，解题的突破口是通过角平分线性质和全等三角形的性质实现线段的等量转换，将未知的三角形周长转化为已知的线段长度，解题过程不需要单独计算每一条边的长度，掌握转化思想即可快速解题。
【难度系数】
0.7

4. 如图14.3-4，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB，垂足为D.
（1）若∠A=38°，求∠BEC的大小.
（2）若BC=12，DE=4，求△BCE的面积.

解：（1）
∵∠ACB=90°，∠A=38°，
∴∠ABC=90°−∠A=52°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=26°．
∵CD⊥AB，
∴∠EDB=90°．
∴∠BEC=∠DBE+∠EDB=26°+90°=116°．
（2）过点E作EF⊥BC于点F，
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，DE=4，
∴EF=DE=4．
∵BC=12，
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}BC· EF=\frac{1}{2}×12×4=24$。

【分析】
（1）求解∠BEC的度数：首先在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠A的度数求出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义求出∠DBE的度数；最后观察∠BEC是△BDE的外角，结合CD⊥AB得到∠EDB=90°，利用三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，即可求出∠BEC的度数。
（2）求解△BCE的面积：已知底BC的长度，只需先求出BC边上的高。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，过点E作EF⊥BC于F，可得EF=DE，再代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
（1）
∵∠ACB=90°，∠A=38°，
∴∠ABC=90°−∠A=52°．
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=26°．
∵CD⊥AB，
∴∠EDB=90°．
∴∠BEC=∠DBE+∠EDB=26°+90°=116°．
（2）过点E作EF⊥BC于点F，
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，DE=4，
∴EF=DE=4．
∵BC=12，
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}BC· EF=\frac{1}{2}×12×4=24$。
【答案】
（1）$\boxed{116°}$；（2）$\boxed{24}$
【知识点】
1. 直角三角形的性质
2. 角平分线的性质
3. 三角形外角性质
【点评】
本题侧重基础知识点的综合应用考查，将角平分线的性质与直角三角形、三角形外角的性质结合，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，能正确构造辅助线得到三角形的高，整体计算难度较低。
【难度系数】
0.75

【知识点2】证明几何命题的步骤
◎明确命题中的和；
根据题意画出并用表示已知和求证；
经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。

明确命题中的已知和求证；根据题意画出图形并用数学符号表示已知和求证。

【分析】
这是一道考查几何证明基础步骤的识记类题目，解题时只需回忆教材中证明几何命题的标准流程即可：首先要梳理清楚命题里给出的条件和需要推导的结论，之后将文字命题转化为直观的几何图形，再用规范的符号表达已知条件和待证结论，最后完成证明推导，对应空缺依次填入相关内容即可。
【解析】
根据证明几何命题的规范步骤：
第一步要明确命题中的已知（即给出的条件）和求证（即需要证明的结论）；
第二步根据题意画出对应的图形，将抽象的文字描述转化为直观的几何示意，并用数学符号表示已知和求证，方便后续书写推导过程；
最后分析推导路径，写出证明过程。
因此四个空缺依次填入已知、求证、图形、数学符号。
【答案】
已知；求证；图形；数学符号
【知识点】
证明几何命题的步骤
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对几何证明基础流程的记忆，熟练掌握该步骤是完成各类几何证明题的前提，需牢固掌握相关基础概念。
【难度系数】
0.9