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9. 某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上(如图)。已知小明的眼睛离地面的距离 $ AB $ 为 $ 1.6 $ 米，凉亭顶端离地面的距离 $ CD $ 为 $ 1.9 $ 米，小明到凉亭的距离 $ BD $ 为 $ 2 $ 米，凉亭离城楼底部的距离 $ DF $ 为 $ 38 $ 米，小亮的身高为 $ 1.7 $ 米。那么城楼的高度为(
A.$ 7.6 $ 米
B.$ 5.9 $ 米
C.$ 6 $ 米
D.$ 4.3 $ 米
D
)A.$ 7.6 $ 米
B.$ 5.9 $ 米
C.$ 6 $ 米
D.$ 4.3 $ 米
答案
9. D
10. 如图，$ △ ACD $ 内接于 $ \odot O $，$ CB $ 垂直于过点 $ D $ 的切线，垂足为 $ B $，已知 $ \odot O $ 的半径为 $ \frac{8}{3} $，$ BC = 3 $，那么 $ \sin A = $(
A.$ \frac{1}{9} $
B.$ \frac{3}{4} $
C.$ \frac{8}{9} $
D.$ \frac{3}{5} $
B
)A.$ \frac{1}{9} $
B.$ \frac{3}{4} $
C.$ \frac{8}{9} $
D.$ \frac{3}{5} $
答案
10. B
解析
证明：连接 $OD$，$OC$。
因为 $BD$ 是 $\odot O$ 的切线，所以 $OD ⊥ BD$。
又因为 $CB ⊥ BD$，所以 $OD // BC$，故 $∠ ODC = ∠ BCD$。
因为 $OD = OC$，所以 $∠ ODC = ∠ OCD$，因此 $∠ OCD = ∠ BCD$。
过点 $O$ 作 $OE ⊥ CD$ 于点 $E$，则 $CE = DE$。
设 $CD = 2x$，则 $CE = x$。
在 $△ OEC$ 中，$OC = \frac{8}{3}$，$\cos ∠ OCD = \frac{CE}{OC} = \frac{x}{\frac{8}{3}} = \frac{3x}{8}$。
在 $△ BCD$ 中，$BC = 3$，$\cos ∠ BCD = \frac{BC}{CD} = \frac{3}{2x}$。
因为 $∠ OCD = ∠ BCD$，所以 $\frac{3x}{8} = \frac{3}{2x}$，解得 $x = 2$（负值舍去），则 $CD = 4$。
由圆周角定理得 $∠ A = ∠ ODC$，在 $△ OED$ 中，$DE = 2$，$OD = \frac{8}{3}$，所以 $\sin ∠ ODC = \frac{OE}{OD}$。
$OE = \sqrt{OD^2 - DE^2} = \sqrt{(\frac{8}{3})^2 - 2^2} = \sqrt{\frac{64}{9} - 4} = \sqrt{\frac{28}{9}} = \frac{2\sqrt{7}}{3}$，则 $\sin ∠ ODC = \frac{\frac{2\sqrt{7}}{3}}{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$（此步骤有误，正确方法如下）。
正确方法：连接 $OC$，$OD$，因为 $OD ⊥ BD$，$BC ⊥ BD$，所以 $OD // BC$，$∠ DBC = 90°$。
设 $CD$ 中点为 $E$，连接 $OE$，则 $OE ⊥ CD$，$OE // BC$，所以 $△ OED ∼ △ CBD$。
$\frac{OE}{BC} = \frac{OD}{CD}$，设 $CD = d$，$OE = \sqrt{OC^2 - CE^2} = \sqrt{(\frac{8}{3})^2 - (\frac{d}{2})^2}$。
$\frac{\sqrt{(\frac{8}{3})^2 - (\frac{d}{2})^2}}{3} = \frac{\frac{8}{3}}{d}$，解得 $d = 4$。
$∠ A = ∠ COD / 2$，$\sin A = \sin \frac{∠ COD}{2} = \frac{CD/2}{OC} = \frac{2}{\frac{8}{3}} = \frac{3}{4}$。
$\sin A = \frac{3}{4}$
答案：B
因为 $BD$ 是 $\odot O$ 的切线，所以 $OD ⊥ BD$。
又因为 $CB ⊥ BD$，所以 $OD // BC$，故 $∠ ODC = ∠ BCD$。
因为 $OD = OC$，所以 $∠ ODC = ∠ OCD$，因此 $∠ OCD = ∠ BCD$。
过点 $O$ 作 $OE ⊥ CD$ 于点 $E$，则 $CE = DE$。
设 $CD = 2x$，则 $CE = x$。
在 $△ OEC$ 中，$OC = \frac{8}{3}$，$\cos ∠ OCD = \frac{CE}{OC} = \frac{x}{\frac{8}{3}} = \frac{3x}{8}$。
在 $△ BCD$ 中，$BC = 3$，$\cos ∠ BCD = \frac{BC}{CD} = \frac{3}{2x}$。
因为 $∠ OCD = ∠ BCD$，所以 $\frac{3x}{8} = \frac{3}{2x}$，解得 $x = 2$（负值舍去），则 $CD = 4$。
由圆周角定理得 $∠ A = ∠ ODC$，在 $△ OED$ 中，$DE = 2$，$OD = \frac{8}{3}$，所以 $\sin ∠ ODC = \frac{OE}{OD}$。
$OE = \sqrt{OD^2 - DE^2} = \sqrt{(\frac{8}{3})^2 - 2^2} = \sqrt{\frac{64}{9} - 4} = \sqrt{\frac{28}{9}} = \frac{2\sqrt{7}}{3}$，则 $\sin ∠ ODC = \frac{\frac{2\sqrt{7}}{3}}{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$（此步骤有误，正确方法如下）。
正确方法：连接 $OC$，$OD$，因为 $OD ⊥ BD$，$BC ⊥ BD$，所以 $OD // BC$，$∠ DBC = 90°$。
设 $CD$ 中点为 $E$，连接 $OE$，则 $OE ⊥ CD$，$OE // BC$，所以 $△ OED ∼ △ CBD$。
$\frac{OE}{BC} = \frac{OD}{CD}$，设 $CD = d$，$OE = \sqrt{OC^2 - CE^2} = \sqrt{(\frac{8}{3})^2 - (\frac{d}{2})^2}$。
$\frac{\sqrt{(\frac{8}{3})^2 - (\frac{d}{2})^2}}{3} = \frac{\frac{8}{3}}{d}$，解得 $d = 4$。
$∠ A = ∠ COD / 2$，$\sin A = \sin \frac{∠ COD}{2} = \frac{CD/2}{OC} = \frac{2}{\frac{8}{3}} = \frac{3}{4}$。
$\sin A = \frac{3}{4}$
答案：B
二、填空题(每小题 3 分，共 15 分)
11. 若函数 $ y = (m + 1) · x^{m^2 + m - 1} $ 是反比例函数，则 $ m $ 的值为
11. 若函数 $ y = (m + 1) · x^{m^2 + m - 1} $ 是反比例函数，则 $ m $ 的值为
0
。答案
11. 0
解析
因为函数$y=(m + 1)·x^{m^2 + m - 1}$是反比例函数，所以$\begin{cases}m^2 + m - 1=-1\\m + 1≠0\end{cases}$。
由$m^2 + m - 1=-1$，得$m^2 + m=0$，即$m(m + 1)=0$，解得$m=0$或$m=-1$。
又因为$m + 1≠0$，所以$m≠ -1$，故$m=0$。
0
由$m^2 + m - 1=-1$，得$m^2 + m=0$，即$m(m + 1)=0$，解得$m=0$或$m=-1$。
又因为$m + 1≠0$，所以$m≠ -1$，故$m=0$。
0
12. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ CD ⊥ AB $，垂足为点 $ D $，如果 $ \frac{C_{△ ADC}}{C_{△ CDB}} = \frac{3}{2} $，$ AD = 8 $，那么 $ CD $ 的长是
$\dfrac{16}{3}$
。答案
12. $\dfrac{16}{3}$
解析
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，$CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ ADC=∠ CDB=90^{\circ}$，$∠ A+∠ ACD=90^{\circ}$，$∠ ACD+∠ BCD=90^{\circ}$，
$\therefore ∠ A=∠ BCD$，
$\therefore △ ADC∼△ CDB$。
$\because \frac{C_{△ ADC}}{C_{△ CDB}}=\frac{3}{2}$，
$\therefore △ ADC$与$△ CDB$的相似比为$\frac{3}{2}$。
$\because AD=8$，设$CD=x$，$BD=y$，
$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{2}$，
即$\frac{8}{x}=\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$。
由$\frac{8}{x}=\frac{3}{2}$，得$3x=16$，$x=\frac{16}{3}$。
$\therefore CD$的长是$\frac{16}{3}$。
$\therefore ∠ ADC=∠ CDB=90^{\circ}$，$∠ A+∠ ACD=90^{\circ}$，$∠ ACD+∠ BCD=90^{\circ}$，
$\therefore ∠ A=∠ BCD$，
$\therefore △ ADC∼△ CDB$。
$\because \frac{C_{△ ADC}}{C_{△ CDB}}=\frac{3}{2}$，
$\therefore △ ADC$与$△ CDB$的相似比为$\frac{3}{2}$。
$\because AD=8$，设$CD=x$，$BD=y$，
$\therefore \frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{2}$，
即$\frac{8}{x}=\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$。
由$\frac{8}{x}=\frac{3}{2}$，得$3x=16$，$x=\frac{16}{3}$。
$\therefore CD$的长是$\frac{16}{3}$。
13. 某运输公司承包一项水利工程运送土石方的任务。该运输公司平均每天的工作量 $ V(m^3) $ 与完成运送任务所需的时间 $ t $(天)之间的函数图象如图所示。若该工程需要在 $ 20 $ 天内完成运送任务，则该公司每天运送的土石方至少为
2000
$ m^3 $。答案
13. 2000
解析
解：设$V$与$t$的函数关系为$V = \frac{k}{t}(k ≠ 0)$。
将$(10, 4000)$代入，得$4000 = \frac{k}{10}$，解得$k = 40000$，故$V = \frac{40000}{t}$。
当$t = 20$时，$V = \frac{40000}{20} = 2000$。
因为$k = 40000 ＞ 0$，所以$V$随$t$的增大而减小，要在20天内完成任务，每天至少运送$2000m^3$。
2000
将$(10, 4000)$代入，得$4000 = \frac{k}{10}$，解得$k = 40000$，故$V = \frac{40000}{t}$。
当$t = 20$时，$V = \frac{40000}{20} = 2000$。
因为$k = 40000 ＞ 0$，所以$V$随$t$的增大而减小，要在20天内完成任务，每天至少运送$2000m^3$。
2000
14. 如图，在网格中，小正方形的边长均为 $ 1 $，点 $ A $，$ B $，$ O $ 都在格点上，则 $ ∠ AOB $ 的正切值是
1
。答案
14. 1
15. 如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点 $ O $，且正方形的一组对边与 $ x $ 轴平行，点 $ P(3a,a) $ 是反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的图象与正方形的一个交点。若图中阴影部分的面积等于 $ 9 $，则 $ k = $
3
。答案
15. 3
