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22. (本题满分 8 分)
供电局的电力维修工甲、乙两人要到 30 千米远的 A 地进行电力抢修。甲骑摩托车先行,$\frac{1}{4}$小时后乙开抢修车载着所需材料出发,结果甲、乙两人同时到达。已知抢修车的速度是摩托车的 1.5 倍,求摩托车的速度。
(1) 设摩托车的速度为 x 千米/时,利用速度、时间、路程之间的关系填写下表。(要求:填上适当的代数式,完成表格)
(2) 列出方程,并求摩托车的速度。
供电局的电力维修工甲、乙两人要到 30 千米远的 A 地进行电力抢修。甲骑摩托车先行,$\frac{1}{4}$小时后乙开抢修车载着所需材料出发,结果甲、乙两人同时到达。已知抢修车的速度是摩托车的 1.5 倍,求摩托车的速度。
(1) 设摩托车的速度为 x 千米/时,利用速度、时间、路程之间的关系填写下表。(要求:填上适当的代数式,完成表格)
(2) 列出方程,并求摩托车的速度。
答案
(1)
| | 速度/(千米/时) | 所走路程/千米 | 所用时间/时 |
| --- | --- | --- | --- |
| 摩托车 | x | 30 | $\frac{30}{x}$ |
| 抢修车 | $1.5x$ | 30 | $\frac{30}{1.5x}$ |
(2) 由题意，甲比乙多用$\frac{1}{4}$小时，可得方程：
$\frac{30}{x} - \frac{30}{1.5x} = \frac{1}{4}$
化简$\frac{30}{1.5x} = \frac{20}{x}$，则方程为：
$\frac{30}{x} - \frac{20}{x} = \frac{1}{4}$
$\frac{10}{x} = \frac{1}{4}$
解得$x = 40$
经检验，$x = 40$是原方程的解，且符合题意。
答：摩托车的速度为40千米/时。
| | 速度/(千米/时) | 所走路程/千米 | 所用时间/时 |
| --- | --- | --- | --- |
| 摩托车 | x | 30 | $\frac{30}{x}$ |
| 抢修车 | $1.5x$ | 30 | $\frac{30}{1.5x}$ |
(2) 由题意，甲比乙多用$\frac{1}{4}$小时，可得方程：
$\frac{30}{x} - \frac{30}{1.5x} = \frac{1}{4}$
化简$\frac{30}{1.5x} = \frac{20}{x}$，则方程为：
$\frac{30}{x} - \frac{20}{x} = \frac{1}{4}$
$\frac{10}{x} = \frac{1}{4}$
解得$x = 40$
经检验，$x = 40$是原方程的解，且符合题意。
答：摩托车的速度为40千米/时。
23. (本题满分 13 分)
在初中数学学习中,我们常常会利用一些变形技巧来简化式子。
材料一 在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一。所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分化简,以达到计算目的。
例: 已知$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{4}$,求代数式 $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值。
解: 因为$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{4}$,所以$\frac{x^{2}+1}{x}=4$,
即$\frac{x^{2}}{x}+\frac{1}{x}=4$,所以 $x+\frac{1}{x}=4$,
所以 $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2=16-2=14$。
材料二 在解决某些连等式问题时,通常可以引入参数 k,将连等式变成几个值为 k 的等式,这样就可以通过适当变形解决问题。
例: 若 2x=3y=4z,且 xyz≠0,求$\frac{x}{y+z}$的值。
解: 令 2x=3y=4z=k(k≠0),
则 $x=\frac{k}{2}, y=\frac{k}{3}, z=\frac{k}{4}$,
所以 $\frac{x}{y+z}=\frac{\frac{1}{2}k}{\frac{1}{3}k+\frac{1}{4}k}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{12}}=\frac{6}{7}$。
根据材料回答问题:
(1) 已知$\frac{x}{x^{2}-x+1}=\frac{1}{4}$,求 $x+\frac{1}{x}$的值;
(2) 已知$\frac{a}{5}=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}(abc≠0)$,求$\frac{3b+4c}{2a}$的值;
(3) 若$\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}=\frac{xy}{ay+bx}=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}, x≠0,y≠0,z≠0$,且 abc=7,求 xyz 的值。
在初中数学学习中,我们常常会利用一些变形技巧来简化式子。
材料一 在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一。所谓倒数法,即把式子变成其倒数形式,从而运用约分化简,以达到计算目的。
例: 已知$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{4}$,求代数式 $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值。
解: 因为$\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{4}$,所以$\frac{x^{2}+1}{x}=4$,
即$\frac{x^{2}}{x}+\frac{1}{x}=4$,所以 $x+\frac{1}{x}=4$,
所以 $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2=16-2=14$。
材料二 在解决某些连等式问题时,通常可以引入参数 k,将连等式变成几个值为 k 的等式,这样就可以通过适当变形解决问题。
例: 若 2x=3y=4z,且 xyz≠0,求$\frac{x}{y+z}$的值。
解: 令 2x=3y=4z=k(k≠0),
则 $x=\frac{k}{2}, y=\frac{k}{3}, z=\frac{k}{4}$,
所以 $\frac{x}{y+z}=\frac{\frac{1}{2}k}{\frac{1}{3}k+\frac{1}{4}k}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{12}}=\frac{6}{7}$。
根据材料回答问题:
(1) 已知$\frac{x}{x^{2}-x+1}=\frac{1}{4}$,求 $x+\frac{1}{x}$的值;
(2) 已知$\frac{a}{5}=\frac{b}{2}=\frac{c}{3}(abc≠0)$,求$\frac{3b+4c}{2a}$的值;
(3) 若$\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}=\frac{xy}{ay+bx}=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}, x≠0,y≠0,z≠0$,且 abc=7,求 xyz 的值。
答案
(1) 因为$\frac{x}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{4}$，所以$\frac{x^2 - x + 1}{x} = 4$，即$x - 1 + \frac{1}{x} = 4$，故$x + \frac{1}{x} = 5$。
(2) 设$\frac{a}{5} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = k(k \neq 0)$，则$a = 5k$，$b = 2k$，$c = 3k$。$\frac{3b + 4c}{2a} = \frac{3×2k + 4×3k}{2×5k} = \frac{6k + 12k}{10k} = \frac{18k}{10k} = \frac{9}{5}$。
(3) 设$\frac{yz}{bz + cy} = \frac{zx}{cx + az} = \frac{xy}{ay + bx} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2} = k$。
对前三个分式取倒数得：$\frac{b}{y} + \frac{c}{z} = \frac{c}{z} + \frac{a}{x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{y} = \frac{1}{k}$，设$\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = s$，则$a = sx$，$b = sy$，$c = sz$。
由$abc = 7$得$s^3xyz = 7$。
又$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{s^2(x^2 + y^2 + z^2)} = \frac{1}{s^2} = k$，且$\frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 2s = \frac{1}{k}$，故$2s = s^2$，解得$s = 2$。
则$8xyz = 7$，所以$xyz = \frac{7}{8}$。
(1) 5
(2) $\frac{9}{5}$
(3) $\frac{7}{8}$
(2) 设$\frac{a}{5} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = k(k \neq 0)$，则$a = 5k$，$b = 2k$，$c = 3k$。$\frac{3b + 4c}{2a} = \frac{3×2k + 4×3k}{2×5k} = \frac{6k + 12k}{10k} = \frac{18k}{10k} = \frac{9}{5}$。
(3) 设$\frac{yz}{bz + cy} = \frac{zx}{cx + az} = \frac{xy}{ay + bx} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2} = k$。
对前三个分式取倒数得：$\frac{b}{y} + \frac{c}{z} = \frac{c}{z} + \frac{a}{x} = \frac{a}{x} + \frac{b}{y} = \frac{1}{k}$，设$\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = s$，则$a = sx$，$b = sy$，$c = sz$。
由$abc = 7$得$s^3xyz = 7$。
又$\frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{s^2(x^2 + y^2 + z^2)} = \frac{1}{s^2} = k$，且$\frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 2s = \frac{1}{k}$，故$2s = s^2$，解得$s = 2$。
则$8xyz = 7$，所以$xyz = \frac{7}{8}$。
(1) 5
(2) $\frac{9}{5}$
(3) $\frac{7}{8}$
