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1.下列说法错误的是(
A.半圆是弧
B.半径相等的圆是等圆
C.过圆心的线段是直径
D.直径是弦
C
).A.半圆是弧
B.半径相等的圆是等圆
C.过圆心的线段是直径
D.直径是弦
答案
C
解析
A. 半圆是弧的一种特殊情况，半圆确实属于弧，该说法正确；
B. 根据等圆的定义，半径相等的两个圆能够完全重合，所以半径相等的圆是等圆，该说法正确；
C. 直径的定义是经过圆心并且两个端点都在圆上的线段，仅仅过圆心的线段不一定是直径，因为其两个端点不一定都在圆上，该说法错误；
D. 弦是连接圆上任意两点的线段，直径经过圆心且两端点在圆上，满足弦的定义，所以直径是弦，该说法正确。
B. 根据等圆的定义，半径相等的两个圆能够完全重合，所以半径相等的圆是等圆，该说法正确；
C. 直径的定义是经过圆心并且两个端点都在圆上的线段，仅仅过圆心的线段不一定是直径，因为其两个端点不一定都在圆上，该说法错误；
D. 弦是连接圆上任意两点的线段，直径经过圆心且两端点在圆上，满足弦的定义，所以直径是弦，该说法正确。
2.如图,点$A,B,C,D,E$都是$\odot O$上的点,$\overset{\frown} {AB}=\overset{\frown} {CD},\overset{\frown} {BC}=\overset{\frown} {DE},\angle D=128°$,则$\angle$B的度数为(
A.$128°$
B.$126°$
C.$118°$
D.$116°$
A
).A.$128°$
B.$126°$
C.$118°$
D.$116°$
答案
A
解析
设弧AB=弧CD=x，弧BC=弧DE=y，则弧CE=弧CD+弧DE=x+y．
∵∠CDE=128°，∠CDE为圆周角，其所对优弧CE度数=2×128°=256°，
∴劣弧CE度数=360°-256°=104°，即x+y=104°．
整个圆周长360°，弧EA=360°-弧AB-弧BC-弧CD-弧DE=360°-2x-2y=360°-2(x+y)=360°-2×104°=152°．
∠ABC为圆周角，其所对优弧AC度数=弧AE+弧ED+弧DC=弧EA+弧CE=152°+104°=256°，
∴∠ABC=1/2×256°=128°．
∵∠CDE=128°，∠CDE为圆周角，其所对优弧CE度数=2×128°=256°，
∴劣弧CE度数=360°-256°=104°，即x+y=104°．
整个圆周长360°，弧EA=360°-弧AB-弧BC-弧CD-弧DE=360°-2x-2y=360°-2(x+y)=360°-2×104°=152°．
∠ABC为圆周角，其所对优弧AC度数=弧AE+弧ED+弧DC=弧EA+弧CE=152°+104°=256°，
∴∠ABC=1/2×256°=128°．
3.如图,$AB$是$\odot O$的直径,弦$CD\bot AB,\angle CDB=30°,CD=6$,则图中阴影部分的面积为(
A.$4\pi$
B.$3\pi$
C.$2\pi$
D.$\pi$
C
).A.$4\pi$
B.$3\pi$
C.$2\pi$
D.$\pi$
答案
C
解析
连接OC、OD，设半径为r。
∵AB是直径，CD⊥AB，CD=6，由垂径定理得CE=ED=3，且AB平分弧CD，故弧CB=弧BD。
∵∠CDB=30°（圆周角），∴弧CB=2∠CDB=60°，则圆心角∠COB=∠DOB=60°。
在Rt△OED中，∠DOE=60°，ED=3，sin60°=ED/OD，即√3/2=3/r，解得r=2√3。
阴影部分为扇形OBC（或OBD），面积S=60°/360°×πr²=1/6×π×(2√3)²=1/6×π×12=2π。
∵AB是直径，CD⊥AB，CD=6，由垂径定理得CE=ED=3，且AB平分弧CD，故弧CB=弧BD。
∵∠CDB=30°（圆周角），∴弧CB=2∠CDB=60°，则圆心角∠COB=∠DOB=60°。
在Rt△OED中，∠DOE=60°，ED=3，sin60°=ED/OD，即√3/2=3/r，解得r=2√3。
阴影部分为扇形OBC（或OBD），面积S=60°/360°×πr²=1/6×π×(2√3)²=1/6×π×12=2π。
4.如图,从一张腰长为$60 cm$、顶角为$120°$的等腰三角形铁皮$OAB$中剪出一个最大的扇形$OCD$,用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗),则该圆锥的高为(
A.$10 cm$
B.$15 cm$
C.$10\sqrt{3} cm$
D.$20\sqrt{2} cm$
D
).A.$10 cm$
B.$15 cm$
C.$10\sqrt{3} cm$
D.$20\sqrt{2} cm$
答案
D
解析
在等腰△OAB中，OA=OB=60cm，∠AOB=120°。过O作AB垂线，垂足为M，OM为O到AB的距离。在Rt△OAM中，∠OAM=30°，则OM=OA·sin30°=60×1/2=30cm，即扇形OCD的半径r=30cm（弧CD与AB相切，半径最大）。
扇形圆心角∠COD=∠AOB=120°，弧长CD=（120π×30）/180=20π。设圆锥底面半径为R，2πR=20π，得R=10cm。圆锥母线长为r=30cm，高h=√(30²-10²)=20√2 cm。
扇形圆心角∠COD=∠AOB=120°，弧长CD=（120π×30）/180=20π。设圆锥底面半径为R，2πR=20π，得R=10cm。圆锥母线长为r=30cm，高h=√(30²-10²)=20√2 cm。
5.有一题目为“已知点$O$为$\triangle ABC$的外心,$\angle BOC=130°$,求$\angle A$”.嘉嘉的解答为:画$\triangle ABC$以及它的外接圆$\odot O$,连接$OB,OC$,如图,由$\angle BOC=2\angle A=130°$得$\angle A=65°$.而淇淇说:“嘉嘉考虑得不周全,$\angle A$还应有另一个不同的值.”下列判断正确的是(
A.淇淇说的对,且$\angle A$的另一个值是$115°$
B.淇淇说的不对,$\angle A$就是$65°$
C.嘉嘉求的结果不对,$\angle A$应为$50°$
D.两人都不对,$\angle A$应有3个不同值
A
).A.淇淇说的对,且$\angle A$的另一个值是$115°$
B.淇淇说的不对,$\angle A$就是$65°$
C.嘉嘉求的结果不对,$\angle A$应为$50°$
D.两人都不对,$\angle A$应有3个不同值
答案
A
解析
已知点 $ O $ 为 $\triangle ABC$ 的外心，且 $\angle BOC = 130°$。
根据外心的性质，外心与三角形的三个顶点连接的角（即圆心角）是相应内角的两角。
即：$\angle BOC = 2\angle A$，
当 $\triangle ABC$ 所对的弧为劣弧时，
$\angle A$ 为 $\frac{1}{2}\angle BOC=65°$，
当 $\triangle ABC$ 所对的弧为优弧时，
即 $\angle A$ 对应圆周角为优弧时，
$\angle A$ 应为 $\frac{1}{2}(360° - \angle BOC)=115°$，
因此，淇淇的说法是正确的，且 $\angle A$ 的另一个值是 $115°$。
根据外心的性质，外心与三角形的三个顶点连接的角（即圆心角）是相应内角的两角。
即：$\angle BOC = 2\angle A$，
当 $\triangle ABC$ 所对的弧为劣弧时，
$\angle A$ 为 $\frac{1}{2}\angle BOC=65°$，
当 $\triangle ABC$ 所对的弧为优弧时，
即 $\angle A$ 对应圆周角为优弧时，
$\angle A$ 应为 $\frac{1}{2}(360° - \angle BOC)=115°$，
因此，淇淇的说法是正确的，且 $\angle A$ 的另一个值是 $115°$。
