12.(7分)已知$xy = 15$，且满足$(x^{2}y - xy^{2}) - (x - y) = 28$.
(1)求$x - y$的值.
(2)求$x^{2} + y^{2},x + y$的值.

(1)$2$；(2)$34$，$\pm8$。

(1)∵$(x^{2}y - xy^{2}) - (x - y)=xy(x - y)-(x - y)=(x - y)(xy - 1)$，
又$xy = 15$，原式$=28$，
∴$(x - y)(15 - 1)=28$，即$14(x - y)=28$，
解得$x - y=2$。
(2)$x^{2} + y^{2}=(x - y)^{2}+2xy=2^{2}+2×15=4 + 30=34$；
$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}=34 + 2×15=64$，
∴$x + y=\pm8$。

13.(7分)父亲今年$x$岁，儿子今年$y$岁，父亲比儿子大26岁，并且$x^{2} - xy = 1040$.请你求出父亲和儿子今年各多少岁.

由题意得：
1. $ x - y = 26 $
2. $ x^2 - xy = 1040 $
对第二个方程因式分解：$ x(x - y) = 1040 $
将$ x - y = 26 $代入上式：$ 26x = 1040 $
解得：$ x = 40 $
将$ x = 40 $代入$ x - y = 26 $：$ 40 - y = 26 $
解得：$ y = 14 $
父亲今年40岁，儿子今年14岁。

14.(8分)【问题提出】
计算:$1 + 3 + 3(1 + 3) + 3(1 + 3)^{2} + 3(1 + 3)^{3} + 3(1 + 3)^{4} + 3(1 + 3)^{5} + 3(1 + 3)^{6}$.
【问题探究】
为便于研究发现规律,我们可以将问题“一般化”,即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母$a$代替,原算式化为$1 + a + a(1 + a) + a(1 + a)^{2} + a(1 + a)^{3} + a(1 + a)^{4} + a(1 + a)^{5} + a(1 + a)^{6}$,然后我们从最简单的情形入手,从中发现规律,找到解决问题的方法.
①$1 + a + a(1 + a) = (1 + a) + a(1 + a) = (1 + a)(1 + a) = (1 + a)^{2}$.
②由①知$1 + a + a(1 + a) + a(1 + a)^{2} = (1 + a)^{2} + a(1 + a)^{2} = (1 + a)^{2}(1 + a) = (1 + a)^{3}$.
(1)仿照②,写出将$1 + a + a(1 + a) + a(1 + a)^{2} + a(1 + a)^{3}$进行因式分解的过程.
【发现规律】
(2)$1 + a + a(1 + a) + a(1 + a)^{2} + ··· + a(1 + a)^{n} =$.
【问题解决】
(3)计算:$1 + 3 + 3(1 + 3) + 3(1 + 3)^{2} + 3(1 + 3)^{3} + 3(1 + 3)^{4} + 3(1 + 3)^{5} + 3(1 + 3)^{6} =$
(结果用乘方表示).

(1)
$1 + a + a(1 + a)+a(1 + a)^{2}+a(1 + a)^{3}$
$=(1 + a + a(1 + a)+a(1 + a)^{2})+a(1 + a)^{3}$
$=(1 + a)^{3}+a(1 + a)^{3}$
$=(1 + a)^{3}(1 + a)$
$=(1 + a)^{4}$
(2)
$(1 + a)^{n + 1}$
(3)
因为$1+3 = 4$，由（2）的规律可知$1 + 3 + 3(1 + 3)+3(1 + 3)^{2}+3(1 + 3)^{3}+3(1 + 3)^{4}+3(1 + 3)^{5}+3(1 + 3)^{6}=(1 + 3)^{7}$
$ = 4^{7}$