登录
8.如图，在等腰$\bigtriangleup ABC$中，$AB = AC$，以$AC$为直径作$\odot O$，与$BC$交于点$E$，过点$E$作$\odot O$的切线，交$AB$于点$D$，$BE = 5$，$BD = 4$，则$\odot O$的半径是(
A.3
B.4
C.$\frac{25}{6}$
D.$\frac{25}{8}$
D
).A.3
B.4
C.$\frac{25}{6}$
D.$\frac{25}{8}$
答案
D
解析
连接AE、OE，设⊙O半径为r，则AC=AB=2r，AD=2r-4，BC=2BE=10（等腰△ABC三线合一）。
∵DE是切线，∴OE⊥DE（切线垂直半径）。
∵OE=OC=r，∴∠OEC=∠OCE=∠ABC（等腰△ABC底角相等），故OE//AB（同位角相等）。
∴∠ADE=∠OED=90°（两直线平行，内错角相等），即DE⊥AB。
在Rt△BDE中，DE²=BE²-BD²=5²-4²=9，DE=3。
在Rt△ADE中，AE²=AD²+DE²=(2r-4)²+3²；在Rt△AEC中，AE²=AC²-EC²=(2r)²-5²。
∴(2r-4)²+9=4r²-25，解得r=25/8。
∵DE是切线，∴OE⊥DE（切线垂直半径）。
∵OE=OC=r，∴∠OEC=∠OCE=∠ABC（等腰△ABC底角相等），故OE//AB（同位角相等）。
∴∠ADE=∠OED=90°（两直线平行，内错角相等），即DE⊥AB。
在Rt△BDE中，DE²=BE²-BD²=5²-4²=9，DE=3。
在Rt△ADE中，AE²=AD²+DE²=(2r-4)²+3²；在Rt△AEC中，AE²=AC²-EC²=(2r)²-5²。
∴(2r-4)²+9=4r²-25，解得r=25/8。
9.一次函数$y = ax + b$与反比例函数$y = \frac{c}{x}$的图象如图所示，则二次函数$y = ax^2 + bx + c$的大致图象是(
C
).答案
C
解析
由一次函数图象可知，y随x增大而减小，故a＜0；与y轴交于正半轴，故b＞0。由反比例函数图象在第二、四象限，可知c＜0。二次函数y=ax²+bx+c中，a＜0开口向下；对称轴x=-b/(2a)，a＜0，b＞0，故-b/(2a)＞0，对称轴在y轴右侧；与y轴交点为(0,c)，c＜0，交点在y轴负半轴。综上，图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，对应选项C。
10.如图，在平面直角坐标系中，直线$y = -x$与双曲线$y = \frac{k}{x}$交于$A$，$B$两点，$P$是以点$C(2,2)$为圆心、1为半径的圆上一动点，连接$AP$，$Q$为$AP$的中点.若线段$OQ$长度的最大值为2，则$k$的值为(
A.$- \frac{1}{2}$
B.$- \frac{3}{2}$
C.-2
D.$- \frac{1}{4}$
A
).A.$- \frac{1}{2}$
B.$- \frac{3}{2}$
C.-2
D.$- \frac{1}{4}$
答案
A
解析
联立直线$y=-x$与双曲线$y=\frac{k}{x}$，得$-x=\frac{k}{x}$，即$k=-x^2$，设交点$A(a,-a)$，则$k=-a^2$。
$Q$为$AP$中点，$P$在圆$C(2,2)$（半径1）上。设$P(x,y)$，则$Q\left(\frac{a+x}{2},\frac{-a+y}{2}\right)$。由$P$的轨迹方程$(x-2)^2+(y-2)^2=1$，得$Q$的轨迹为圆，圆心$D\left(\frac{a+2}{2},\frac{2-a}{2}\right)$，半径$\frac{1}{2}$。
$OQ$最大值为原点到$D$的距离加$Q$的轨迹圆半径，即$OD+\frac{1}{2}=2$，故$OD=\frac{3}{2}$。
计算$OD^2=\left(\frac{a+2}{2}\right)^2+\left(\frac{2-a}{2}\right)^2=\frac{(a^2+4a+4)+(a^2-4a+4)}{4}=\frac{a^2+4}{2}$。
由$OD=\frac{3}{2}$，得$\frac{a^2+4}{2}=\frac{9}{4}$，解得$a^2=\frac{1}{2}$，则$k=-a^2=-\frac{1}{2}$。
$Q$为$AP$中点，$P$在圆$C(2,2)$（半径1）上。设$P(x,y)$，则$Q\left(\frac{a+x}{2},\frac{-a+y}{2}\right)$。由$P$的轨迹方程$(x-2)^2+(y-2)^2=1$，得$Q$的轨迹为圆，圆心$D\left(\frac{a+2}{2},\frac{2-a}{2}\right)$，半径$\frac{1}{2}$。
$OQ$最大值为原点到$D$的距离加$Q$的轨迹圆半径，即$OD+\frac{1}{2}=2$，故$OD=\frac{3}{2}$。
计算$OD^2=\left(\frac{a+2}{2}\right)^2+\left(\frac{2-a}{2}\right)^2=\frac{(a^2+4a+4)+(a^2-4a+4)}{4}=\frac{a^2+4}{2}$。
由$OD=\frac{3}{2}$，得$\frac{a^2+4}{2}=\frac{9}{4}$，解得$a^2=\frac{1}{2}$，则$k=-a^2=-\frac{1}{2}$。
11.反比例函数$y = \frac{m - 1}{x}$的图象在第一、三象限，则$m$的取值范围是
$m＞1$
.答案
$m＞1$
解析
对于反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），当$k＞0$时，图象在第一、三象限。在函数$y = \frac{m - 1}{x}$中，$k = m - 1$，因为图象在第一、三象限，所以$m - 1＞0$，解得$m＞1$。
12.如图，在一块长12 m、宽8 m的矩形空地上修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为$77 m^2$.设道路的宽为$x$ m，则根据题意可列方程为
(12 - x)(8 - x) = 77
.答案
$ (12 - x)(8 - x) = 77 $
解析
设道路的宽为 $ x $ 米。矩形空地的总面积为 $ 12 × 8 = 96 $ 平方米。修建两条互相垂直的道路后，剩余部分栽种花草的面积为 $ 77 $ 平方米。
两条道路的总面积为：
$12x + 8x - x^2 = 20x - x^2 $。
栽种花草的面积为矩形总面积减去道路面积：
$96 - (20x - x^2) $。
根据题意，栽种花草的面积为 $ 77 $ 平方米，因此可以列出方程：
$96 - (20x - x^2) = 77 $。
整理得到：
$x^2 - 20x + 19 = 0 $。
两条道路的总面积为：
$12x + 8x - x^2 = 20x - x^2 $。
栽种花草的面积为矩形总面积减去道路面积：
$96 - (20x - x^2) $。
根据题意，栽种花草的面积为 $ 77 $ 平方米，因此可以列出方程：
$96 - (20x - x^2) = 77 $。
整理得到：
$x^2 - 20x + 19 = 0 $。
