1. (2024·鼓楼区期末)对于二次函数 $ y = 3(x - 1)^2 + 2 $ 的图像,下列描述正确的是 ()

A.开口向下
B.对称轴是直线 $ x = -1 $
C.顶点坐标是$(2,1)$
D.可由抛物线 $ y = 3x^2 + 2 $ 向右平移1个单位长度得到

1. D

对于二次函数$y = 3(x - 1)^2 + 2$：
因为$3＞0$，所以开口向上，A错误；
对称轴是直线$x = 1$，B错误；
顶点坐标是$(1,2)$，C错误；
抛物线$y = 3x^2 + 2$向右平移1个单位长度得到$y = 3(x - 1)^2 + 2$，D正确。
D

2. (2024·滨州)将抛物线 $ y = -x^2 $ 先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为.

2. $(1,2)$

抛物线$y = -x^2$的顶点坐标为$(0,0)$。向右平移1个单位长度，顶点的横坐标变为$0 + 1=1$；再向上平移2个单位长度，顶点的纵坐标变为$0+2 = 2$，则平移后抛物线的顶点坐标为$(1,2)$。

3. 已知二次函数 $ y = a(x - h)^2 + 3 $,当 $ x ＞ 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小;当 $ x ＜ 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则 $ a $0,$ h $ =.

3. $＜2$

4. 将抛物线 $ y = 2(x - 3)^2 - 4 $ 绕坐标原点旋转 $ 180° $ 所得的新抛物线的函数表达式为.

4. $y=-2(x+3)^{2}+4$

解：抛物线$y = 2(x - 3)^2 - 4$的顶点坐标为$(3, -4)$。
绕原点旋转$180°$后，顶点$(3, -4)$的对应点坐标为$(-3, 4)$。
旋转后抛物线开口方向相反，二次项系数变为原来的相反数，即$-2$。
所以新抛物线的函数表达式为$y=-2(x + 3)^2 + 4$。
$y=-2(x+3)^{2}+4$

5. 将抛物线 $ y = ax^2 + 2 $ 向右平移后所得新抛物线的顶点的横坐标为3,且新抛物线经过点$(1,-2)$.
(1)求 $ a $ 的值;
(2)若点 $ A(m,y_1) $,$ B(n,y_2)(m ＜ n ＜ 3) $ 都在新抛物线上,试比较 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小.

5. 解: (1)
∵将抛物线$y=ax^{2}+2$向右平移后所得新抛物线的顶点的横坐标为3,
∴新抛物线的函数表达式为$y=a(x-3)^{2}+2$.
∵新抛物线经过点$(1,-2)$,
∴$-2=a(1-3)^{2}+2$, 解得$a=-1$.
(2)
∵新抛物线的顶点的横坐标为3,
∴新抛物线的对称轴为直线$x=3$.
∵$a=-1＜0$,
∴在对称轴的左侧$y$随$x$的增大而增大,
∵$m＜n＜3$,
∴$y_{1}＜y_{2}$.

6. 如图,二次函数 $ y = a(x + 2)^2 + k $ 的图像与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B(-1,0) $ 两点,则下列说法正确的是 ()


A.$ a ＜ 0 $
B.点 $ A $ 的坐标为$(-4,0)$
C.当 $ x ＜ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.图像的对称轴为直线 $ x = -2 $

6. D

解：
A. 抛物线开口向上，$a＞0$，A错误；
B. 对称轴为$x=-2$，点$B(-1,0)$关于$x=-2$对称的点$A$坐标为$(-3,0)$，B错误；
C. 当$x＜-2$时，$y$随$x$增大而减小；当$-2＜x＜0$时，$y$随$x$增大而增大，C错误；
D. 二次函数$y=a(x+2)^2+k$的对称轴为直线$x=-2$，D正确。
答案：D

7. (2024·鼓楼区模拟)点 $ A(m - 1,y_1) $,$ B(m,y_2) $ 都在抛物线 $ y = (x - 1)^2 + n $ 上.若 $ y_1 ＜ y_2 $,则 $ m $ 的取值范围为 ()

A.$ m ＞ 2 $
B.$ m ＞ \frac{3}{2} $
C.$ m ＜ 1 $
D.$ \frac{3}{2} ＜ m ≤ 2 $

7. B

∵点$A(m - 1,y_1)$，$B(m,y_2)$在抛物线$y=(x - 1)^2 + n$上，
$\therefore y_1=(m - 1 - 1)^2 + n=(m - 2)^2 + n$，
$y_2=(m - 1)^2 + n$。
$\because y_1 ＜ y_2$，
$\therefore (m - 2)^2 + n ＜ (m - 1)^2 + n$，
$(m^2 - 4m + 4) ＜ (m^2 - 2m + 1)$，
$-4m + 4 ＜ -2m + 1$，
$-2m ＜ -3$，
$m ＞ \frac{3}{2}$。
B

8. (2024·淮阴区一模)点 $ P(m,5) $ 在抛物线 $ C:y = -(x - 3)^2 + 6 $ 上,将抛物线 $ C $ 进行平移得抛物线 $ C':y = -x^2 + 2 $,点 $ P $ 的对应点为 $ P' $,则点 $ P $ 移动的最短路程为 ()

A.3
B.4
C.5
D.6

8. C

∵点$P(m,5)$在抛物线$C:y=-(x - 3)^2 + 6$上，
$\therefore 5=-(m - 3)^2 + 6$，
$(m - 3)^2=1$，
$m - 3=\pm1$，
$m=4$或$m=2$，
$\therefore P(4,5)$或$P(2,5)$。
抛物线$C:y=-(x - 3)^2 + 6$顶点为$(3,6)$，抛物线$C':y=-x^2 + 2$顶点为$(0,2)$，
$\therefore$抛物线$C$平移到$C'$的平移向量为$(0 - 3,2 - 6)=(-3,-4)$。
设$P'(x,y)$，则$x=m - 3$，$y=5 - 4=1$，
当$P(4,5)$时，$P'(1,1)$，$PP'=\sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 1)^2}=\sqrt{9 + 16}=5$；
当$P(2,5)$时，$P'(-1,1)$，$PP'=\sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - 1)^2}=\sqrt{9 + 16}=5$。
$\therefore$点$P$移动的最短路程为$5$。
C