23. (11分)如图，在$\triangle ABC$中，$BD$是高，点$D$是边$AC$的中点，点$E$在边$BC$的延长线上，$ED$的延长线交$AB$于点$F$，且$EF \perp AB$，$\angle E = 30^{\circ}$.
(1)求证：$\triangle ABC$是等边三角形；
(2)请判断线段$AD$与$CE$的数量关系，并说明理由.

(1)证明：
∵BD是高，D是AC中点，
∴BD垂直平分AC，
∴AB=BC，△ABC是等腰三角形。
∵EF⊥AB，∠E=30°，
∴在Rt△BFE中，∠EBF=60°，即∠ABC=60°。
∵△ABC是等腰三角形且∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形。
(2)AD=CE。理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，D是AC中点，
∴AD=DC=AC/2=BC/2。
∵E在BC延长线上，
∴∠DCE=180°-∠ACB=120°。
∵EF⊥AB，∠A=60°，
∴在Rt△AFD中，∠ADF=30°，又∠ADF=∠CDE（对顶角），
∴∠CDE=30°。
在△CDE中，∠E=30°，∠CDE=30°，
∴∠E=∠CDE，
∴DC=CE。
∵DC=AD，
∴AD=CE。
答案：(1)见证明；(2)AD=CE。

(1)证明：
∵BD是高，D是AC中点，∴BD垂直平分AC，∴AB=BC，△ABC是等腰三角形。
∵EF⊥AB，∠E=30°，∴在Rt△BFE中，∠EBF=60°，即∠ABC=60°。
∵△ABC是等腰三角形且∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形。
(2)AD=CE。理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，D是AC中点，∴AD=DC=AC/2=BC/2。
∵E在BC延长线上，∴∠DCE=180°-∠ACB=120°。
∵EF⊥AB，∠A=60°，∴在Rt△AFD中，∠ADF=30°，又∠ADF=∠CDE（对顶角），∴∠CDE=30°。
在△CDE中，∠E=30°，∠CDE=30°，∴∠E=∠CDE，∴DC=CE。
∵DC=AD，∴AD=CE。

24. (12分)如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，$AD \perp BC$，垂足为$G$，且$AD = AB$，$\angle EDF = 60^{\circ}$，其两边分别交边$AB$，$AC$于点$E$，$F$. 求证：
(1)$\triangle ABD$是等边三角形；
(2)$BE = AF$.

(1)证明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）．
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°．
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
(2)证明：由(1)知△ABD是等边三角形，
∴BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°．
∵AD平分∠BAC，∠BAC=120°，
∴∠CAD=60°，∴∠ABD=∠CAD=60°．
∵∠EDF=60°，∠ADB=60°，
∴∠ADB=∠EDF，即∠BDE+∠EDA=∠ADF+∠EDA，
∴∠BDE=∠ADF．
在△BDE和△ADF中，
$\begin{cases} ∠EBD=∠FAD \\BD=AD \\∠BDE=∠ADF \end{cases}$
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF．