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在 $Rt△ ABC$ 中，$AC = 5$，$BC = 12$，则 $\sin B$ 的值为
【点睛】 当直角边与斜边不明时，应分类讨论。
$\frac{5}{13}$或$\frac{5}{12}$
。【点睛】 当直角边与斜边不明时，应分类讨论。
答案
$\frac{5}{13}$或$\frac{5}{12}$
解析
在$Rt△ABC$中，已知两边长$AC=5$，$BC=12$，未明确直角边和斜边，需分类讨论：
1. 若$∠C=90°$，则$AB$为斜边，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{5^2 + 12^2}=13$，此时$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$；
2. 若$∠A=90°$，则$BC$为斜边，此时$AC=5$，$BC=12$，$AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{12^2 - 5^2}=\sqrt{119}$，$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{12}$；
3. 若$∠B=90°$，则$AC$为斜边，但$AC=5＜ BC=12$，不符合斜边最长，舍去。
综上，$\sin B$的值为$\frac{5}{13}$或$\frac{5}{12}$。
1. 若$∠C=90°$，则$AB$为斜边，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2 + BC^2}=\sqrt{5^2 + 12^2}=13$，此时$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{5}{13}$；
2. 若$∠A=90°$，则$BC$为斜边，此时$AC=5$，$BC=12$，$AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{12^2 - 5^2}=\sqrt{119}$，$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{12}$；
3. 若$∠B=90°$，则$AC$为斜边，但$AC=5＜ BC=12$，不符合斜边最长，舍去。
综上，$\sin B$的值为$\frac{5}{13}$或$\frac{5}{12}$。
1. 把 $Rt△ ABC$ 的各边长都扩大为原来的 3 倍，则锐角 $A$ 的正弦值(
A.不变
B.扩大为原来的 3 倍
C.缩小为原来的 $\frac{1}{3}$
D.不能确定
A
)A.不变
B.扩大为原来的 3 倍
C.缩小为原来的 $\frac{1}{3}$
D.不能确定
答案
A
解析
设$Rt △ ABC$中，角$A$对应的对边为$a$，斜边为$c$，那么原三角形的$\sin A = \frac{a}{c}$。当各边长都扩大为原来的3倍时，新的对边长度为$3a$，新的斜边长度为$3c$，此时$\sin A = \frac{3a}{3c} = \frac{a}{c}$。因此，扩大边长后角$A$的正弦值不变。
2. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD⊥ AB$ 于点 $D$，则下列结论错误的是(
A.$\sin A=\frac{BC}{AB}$
B.$\sin A=\frac{CD}{AC}$
C.$\sin A=\frac{BD}{BC}$
D.$\sin A=\frac{CD}{BC}$
D
)A.$\sin A=\frac{BC}{AB}$
B.$\sin A=\frac{CD}{AC}$
C.$\sin A=\frac{BD}{BC}$
D.$\sin A=\frac{CD}{BC}$
答案
D
解析
在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$CD⊥AB$。
选项A：在$Rt△ABC$中，$∠A$的对边为$BC$，斜边为$AB$，则$\sin A=\frac{BC}{AB}$，正确。
选项B：在$Rt△ACD$中，$∠A$的对边为$CD$，斜边为$AC$，则$\sin A=\frac{CD}{AC}$，正确。
选项C：$∠A+∠B=90^{\circ}$，$∠BCD+∠B=90^{\circ}$，故$∠A=∠BCD$。在$Rt△BCD$中，$\sin∠BCD=\frac{BD}{BC}$，即$\sin A=\frac{BD}{BC}$，正确。
选项D：在$Rt△BCD$中，$\sin B=\frac{CD}{BC}$，而$∠A≠∠B$，故$\sin A≠\frac{CD}{BC}$，错误。
选项A：在$Rt△ABC$中，$∠A$的对边为$BC$，斜边为$AB$，则$\sin A=\frac{BC}{AB}$，正确。
选项B：在$Rt△ACD$中，$∠A$的对边为$CD$，斜边为$AC$，则$\sin A=\frac{CD}{AC}$，正确。
选项C：$∠A+∠B=90^{\circ}$，$∠BCD+∠B=90^{\circ}$，故$∠A=∠BCD$。在$Rt△BCD$中，$\sin∠BCD=\frac{BD}{BC}$，即$\sin A=\frac{BD}{BC}$，正确。
选项D：在$Rt△BCD$中，$\sin B=\frac{CD}{BC}$，而$∠A≠∠B$，故$\sin A≠\frac{CD}{BC}$，错误。
3. (2025 深圳中考)如图是人行天桥的示意图，若高 $BC$ 长为 10 米，斜道 $AC$ 长为 30 米，则 $\sin A$ 的值为
$\frac{1}{3}$
。答案
$\frac{1}{3}$。
解析
在直角三角形$ABC$中，$∠ ABC=90°$，$BC$为对边，$AC$为斜边。
根据正弦函数的定义：
$\sin A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AC}$，
已知$BC=10$米，$AC=30$米，代入可得：
$\sin A=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$。
根据正弦函数的定义：
$\sin A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AC}$，
已知$BC=10$米，$AC=30$米，代入可得：
$\sin A=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$。
4. (2025 浙江中考)如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$AC = 8$，则 $\sin∠ BAC$ 的值为
$\frac{3}{5}$
。答案
$\frac{3}{5}$
解析
在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 互相垂直平分，设交点为 $O$。
因为 $AC = 8$，所以 $AO = \frac{1}{2}AC = 4$。
在 $Rt△ AOB$ 中，$AB = 5$，$AO = 4$，
由勾股定理得 $BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
$\sin∠BAC = \frac{BO}{AB} = \frac{3}{5}$。
因为 $AC = 8$，所以 $AO = \frac{1}{2}AC = 4$。
在 $Rt△ AOB$ 中，$AB = 5$，$AO = 4$，
由勾股定理得 $BO = \sqrt{AB^2 - AO^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
$\sin∠BAC = \frac{BO}{AB} = \frac{3}{5}$。
5. 如图，$∠ 1$ 的顶点为 $A(1,0)$，另一边 $AP$ 经过点 $P(-2,4)$，则 $\sin∠ 1$ 的值为
$\frac{4}{5}$
。答案
$\frac{4}{5}$
解析
过点 $P$ 作 $PQ ⊥ x$ 轴于点 $Q$，则 $Q(-2,0)$。
由此可得 $AQ = 1 - (-2) = 3$，$PQ= 4$。
在$Rt \bigtriangleup APQ$中，根据勾股定理，我们有$AP = \sqrt{AQ^{2} + PQ^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$。
根据正弦函数的定义，在直角三角形中，$\sin$ 等于对边长度除以斜边长度，
所以$\sin∠ 1 = \frac{PQ}{AP} = \frac{4}{5}$。
由此可得 $AQ = 1 - (-2) = 3$，$PQ= 4$。
在$Rt \bigtriangleup APQ$中，根据勾股定理，我们有$AP = \sqrt{AQ^{2} + PQ^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$。
根据正弦函数的定义，在直角三角形中，$\sin$ 等于对边长度除以斜边长度，
所以$\sin∠ 1 = \frac{PQ}{AP} = \frac{4}{5}$。
6. 在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ C = 90^{\circ}$，$\sin A=\frac{3}{5}$，$BC = 9$，则 $AB$ 的长为
15
。答案
（此处虽非选择题，但按要求格式给出答案数字）15。
解析
在直角三角形$ABC$中，已知$∠ C = 90^{\circ}$，$\sin A = \frac{3}{5}$，$BC = 9$。
由正弦函数的定义，在直角三角形中，$\sin A = \frac{对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$，
代入已知条件，得：
$\frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}$，
即：
$\frac{9}{AB} = \frac{3}{5}$，
交叉相乘得：
$3AB = 45$，
从中解出：
$AB = 15$。
由正弦函数的定义，在直角三角形中，$\sin A = \frac{对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$，
代入已知条件，得：
$\frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}$，
即：
$\frac{9}{AB} = \frac{3}{5}$，
交叉相乘得：
$3AB = 45$，
从中解出：
$AB = 15$。
7. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$。若 $\sin A=\frac{2}{3}$，$BC = 6$，求 $AC$ 的长。
答案
$3\sqrt{5}$
解析
在 $Rt △ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，已知 $\sin A = \frac{2}{3}$，$BC = 6$。
根据正弦定义：
$\sin A = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$，
代入已知条件：
$\frac{2}{3} = \frac{6}{AB}$，
解出斜边 $AB$：
$AB = \frac{6 × 3}{2} = 9$，
根据勾股定理：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
代入已知数值：
$9^2 = AC^2 + 6^2$，
$81 = AC^2 + 36$，
$AC^2 = 45$，
$AC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$。
根据正弦定义：
$\sin A = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$，
代入已知条件：
$\frac{2}{3} = \frac{6}{AB}$，
解出斜边 $AB$：
$AB = \frac{6 × 3}{2} = 9$，
根据勾股定理：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$，
代入已知数值：
$9^2 = AC^2 + 6^2$，
$81 = AC^2 + 36$，
$AC^2 = 45$，
$AC = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$。
