1. (原创题)如图，$AD // EF // BC$，$AC$交$EF$于点$G$，若$\frac{AE}{EB} = \frac{2}{3}$，$EG = 2FG$，求$\frac{AD}{BC}$的值.

$\frac{1}{3}$

设$FG = m$，则$EG = 2m$，$EF = EG + FG = 3m$。
∵$AD// EF// BC$，∴由平行线分线段成比例定理得$\frac{AE}{EB}=\frac{AG}{GC}=\frac{2}{3}$，设$AG = 2k$，$GC = 3k$，则$AC = 5k$，$\frac{AG}{AC}=\frac{2}{5}$，$\frac{GC}{AC}=\frac{3}{5}$。
在$△ ABC$中，$EG// BC$，∴$△ AEG∽△ ABC$，相似比$\frac{AG}{AC}=\frac{2}{5}$，则$\frac{EG}{BC}=\frac{2}{5}$，即$BC=\frac{5}{2}EG=\frac{5}{2}×2m = 5m$。
在$△ ADC$中，$FG// AD$，∴$△ CFG∽△ CDA$，相似比$\frac{GC}{AC}=\frac{3}{5}$，则$\frac{FG}{AD}=\frac{3}{5}$，即$AD=\frac{5}{3}FG=\frac{5}{3}m$。
∴$\frac{AD}{BC}=\frac{\frac{5}{3}m}{5m}=\frac{1}{3}$。

2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$BC = 2$，$AC = 4$，若正方形$DEFG$的顶点$D$在$AB$上，顶点$F$，$G$都在$AC$上，射线$AE$交$BC$边于点$H$，求$CH$的长.

$\frac{4}{3}$

设正方形DEFG的边长为$x$。
∵$∠ACB=90°$，$DG⊥AC$，$EF⊥AC$，∴$DG//BC$，$EF//BC$。
∵$DG//BC$，$∠A=∠A$，∴$△ADG∽△ABC$，则$\frac{AG}{AC}=\frac{DG}{BC}$。
∵$AC=4$，$BC=2$，$DG=x$，∴$\frac{AG}{4}=\frac{x}{2}$，得$AG=2x$。
∵正方形$DEFG$，∴$GF=x$，则$AF=AG+GF=2x+x=3x$。
∵$EF//CH$，$∠A=∠A$，∴$△AEF∽△AHC$，则$\frac{EF}{CH}=\frac{AF}{AC}$。
∵$EF=x$，$AF=3x$，$AC=4$，∴$\frac{x}{CH}=\frac{3x}{4}$，解得$CH=\frac{4}{3}$。

3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，正方形$DEFG$的四个顶点都在$△ ABC$的边上，连接$AG$，$AF$分别交$DE$于$M$，$N$两点.

(1) 求证：$\frac{DM}{BG} = \frac{MN}{GF} = \frac{EN}{CF}$；
(2) 求证：$△ BGD ∽ △ EFC$；
(3) 求证：$MN^{2} = DM · EN$.

(1) 见解析；(2) 见解析；(3) 见解析。

(1) ∵四边形DEFG是正方形，∴DE=FG，DE//FG，DG=EF，∠DGF=∠EFG=90°。∵FG在BC上，∴DE//BC，∴△ADE∽△ABC（AA），∴AD/AB=AE/AC=DE/BC。
∵DE//BC，∴∠ADM=∠ABG，∠AMD=∠AGB，∴△ADM∽△ABG（AA），∴DM/BG=AD/AB。
同理，△AEN∽△ACF（AA），∴EN/CF=AE/AC。
∵DE//BC，∴∠AMN=∠AGF，∠ANM=∠AFG，∴△AMN∽△AGF（AA），∴MN/GF=AM/AG。
∵DE//BC，∴AD/AB=AM/AG=AE/AC，故DM/BG=MN/GF=EN/CF。
(2)的证明：
∵四边形DEFG是正方形，∴DG⊥FG，EF⊥FG，又FG⊂BC，∴DG⊥BC，EF⊥FG，∴∠BGD=∠EFG=90°。
在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°，在Rt△BGD中，∠B+∠BDG=90°，∴∠BDG=∠C。同理∠FEC=∠B。
∴△BGD∽△EFC（AA）。
(3)的证明：
由(1)设DM/BG=MN/GF=EN/CF=k，则DM=k·BG，MN=k·GF，EN=k·CF。
由(2)△BGD∽△EFC，∴BG/EF=DG/CF。∵四边形DEFG是正方形，∴EF=DG=GF，设GF=a，则EF=DG=a，∴BG/a=a/CF，即BG·CF=a²=GF²。
∴MN²=(k·GF)²=k²·GF²=k²·BG·CF=(k·BG)(k·CF)=DM·EN，即MN²=DM·EN。