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1. 某校共有三个年级，一年级、二年级与三年级的学生数之比是$8:6:9$. 如果三年级比一、二年级学生数之和少300人，那么该校一年级共有(
A.360
B.480
C.540
D.1 380
B
)名学生.A.360
B.480
C.540
D.1 380
答案
1. B
解析
【分析】
这是比例结合一元一次方程的应用题，解题思路如下：首先根据三个年级的人数比，用含同一个未知数的式子分别表示三个年级的人数，简化计算；再提取题目中的等量关系：一、二年级人数之和减去三年级人数等于300人，依据等量关系列方程求解每份对应的人数，最后乘一年级对应的份数即可得到一年级的学生数。
【解析】
解：已知三个年级学生数之比为$8:6:9$，设每份人数为$x$名，则一年级有$8x$名学生，二年级有$6x$名学生，三年级有$9x$名学生。
根据题意可列方程：
$(8x + 6x) - 9x = 300$
化简得：$5x = 300$
解得：$x = 60$
因此一年级人数为$8x = 8×60 = 480$（名）
【答案】
B
【知识点】
比的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础的比例类应用题，解题核心是根据比例关系设未知数，准确提取等量关系列方程求解，掌握按比例设元的技巧可大幅降低这类题的解题难度。
【难度系数】
0.75
这是比例结合一元一次方程的应用题，解题思路如下：首先根据三个年级的人数比，用含同一个未知数的式子分别表示三个年级的人数，简化计算；再提取题目中的等量关系：一、二年级人数之和减去三年级人数等于300人，依据等量关系列方程求解每份对应的人数，最后乘一年级对应的份数即可得到一年级的学生数。
【解析】
解：已知三个年级学生数之比为$8:6:9$，设每份人数为$x$名，则一年级有$8x$名学生，二年级有$6x$名学生，三年级有$9x$名学生。
根据题意可列方程：
$(8x + 6x) - 9x = 300$
化简得：$5x = 300$
解得：$x = 60$
因此一年级人数为$8x = 8×60 = 480$（名）
【答案】
B
【知识点】
比的应用；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础的比例类应用题，解题核心是根据比例关系设未知数，准确提取等量关系列方程求解，掌握按比例设元的技巧可大幅降低这类题的解题难度。
【难度系数】
0.75
2. 甲、乙两人去商店买东西，他们所带钱数的比是7：6. 甲用掉50元，乙用掉60元. 两人余下的钱数之比是3：2，则甲、乙两人余下的钱数分别是(
A.140元、120元
B.60元、40元
C.80元、80元
D.90元、60元
D
).A.140元、120元
B.60元、40元
C.80元、80元
D.90元、60元
答案
2. D
解析
【分析】
遇到已知两个量的比例关系的应用题，我们可以先设每份的量为未知数x，用含x的式子分别表示两个量原来的数值，再根据题目给出的变化后的比例关系列出方程，解方程求出x的值后，再计算要求的量即可。也可以通过代入选项，验证余下钱数的比和原来钱数的比是否符合题意来快速解题。
【解析】
设甲、乙两人原来所带钱数分别为7x元、6x元。
根据题意，两人余下的钱数比为3:2，可列方程：
$\frac{7x - 50}{6x - 60} = \frac{3}{2}$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积）得：
$2(7x - 50) = 3(6x - 60)$
去括号：
$14x - 100 = 18x - 180$
移项、合并同类项：
$4x = 80$
解得：$x = 20$
则甲余下的钱数为：$7×20 - 50 = 90$（元）
乙余下的钱数为：$6×20 - 60 = 60$（元）
【答案】
D
【知识点】
比例的应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例类应用题的基础题型，通过设份数的方法将比例关系转化为整式运算，降低了解题难度，也可通过代入选项验证的方法快速得到答案，主要考查对比例关系的理解和基础方程的运用能力。
【难度系数】
0.8
遇到已知两个量的比例关系的应用题，我们可以先设每份的量为未知数x，用含x的式子分别表示两个量原来的数值，再根据题目给出的变化后的比例关系列出方程，解方程求出x的值后，再计算要求的量即可。也可以通过代入选项，验证余下钱数的比和原来钱数的比是否符合题意来快速解题。
【解析】
设甲、乙两人原来所带钱数分别为7x元、6x元。
根据题意，两人余下的钱数比为3:2，可列方程：
$\frac{7x - 50}{6x - 60} = \frac{3}{2}$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积）得：
$2(7x - 50) = 3(6x - 60)$
去括号：
$14x - 100 = 18x - 180$
移项、合并同类项：
$4x = 80$
解得：$x = 20$
则甲余下的钱数为：$7×20 - 50 = 90$（元）
乙余下的钱数为：$6×20 - 60 = 60$（元）
【答案】
D
【知识点】
比例的应用；一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例类应用题的基础题型，通过设份数的方法将比例关系转化为整式运算，降低了解题难度，也可通过代入选项验证的方法快速得到答案，主要考查对比例关系的理解和基础方程的运用能力。
【难度系数】
0.8
二、填空题
3. 一项工作，12人需要3 h才能完成. 若这项工作由9人来做，要
3. 一项工作，12人需要3 h才能完成. 若这项工作由9人来做，要
4
h才能完成.答案
3. 4
解析
【分析】
这是典型的工程类问题，解题核心是抓住工作总量不变的特点。我们可以先假设每人每小时的工作效率为1份，先计算出这项工作的总工作量，再用总工作量除以9人每小时的总工作效率，就能得到9人完成工作需要的时间；也可以利用工作总量相等的关系列一元一次方程求解。
【解析】
方法一（算术法）：
假设每人每小时的工作量为1份。
1. 计算总工作量：12人工作3小时的总工作量为 $12×3=36$ 份。
2. 计算9人所需时间：总工作量不变，9人每小时可完成9份，因此所需时间为 $36÷9=4$ 小时。
方法二（方程法）：
设9人完成工作需要$x$小时，由于工作总量不变，可列方程：
$9x=12×3$
解得：$x=4$
【答案】
4
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础的工程应用类题目，解题关键是抓住工作总量不变的隐含条件，理清人数、工作时间、总工作量三者的数量关系即可快速求解，是工程类问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
这是典型的工程类问题，解题核心是抓住工作总量不变的特点。我们可以先假设每人每小时的工作效率为1份，先计算出这项工作的总工作量，再用总工作量除以9人每小时的总工作效率，就能得到9人完成工作需要的时间；也可以利用工作总量相等的关系列一元一次方程求解。
【解析】
方法一（算术法）：
假设每人每小时的工作量为1份。
1. 计算总工作量：12人工作3小时的总工作量为 $12×3=36$ 份。
2. 计算9人所需时间：总工作量不变，9人每小时可完成9份，因此所需时间为 $36÷9=4$ 小时。
方法二（方程法）：
设9人完成工作需要$x$小时，由于工作总量不变，可列方程：
$9x=12×3$
解得：$x=4$
【答案】
4
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用
【点评】
本题属于基础的工程应用类题目，解题关键是抓住工作总量不变的隐含条件，理清人数、工作时间、总工作量三者的数量关系即可快速求解，是工程类问题的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 某地对一段长为 360 m 的河道进行整治，由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时 20 天。
已知甲工程队每天整治 24 m，乙工程队每天整治 16 m。则甲工程队整治了
已知甲工程队每天整治 24 m，乙工程队每天整治 16 m。则甲工程队整治了
120
m.答案
4. 120
解析
【分析】
本题属于工程类接力问题，解题的核心是找准两个等量关系：①甲队工作天数+乙队工作天数=总天数20天；②甲队整治长度+乙队整治长度=河道总长度360m。我们可以先设甲队的工作时间为未知数，用总天数表示出乙队的工作时间，再根据总长度的等量关系列方程求解，最后计算甲队的整治长度即可。
【解析】
解：设甲工程队整治了$ x $天，则乙工程队整治了$ (20-x) $天。
根据总河道长度为360m，可列方程：
$ 24x + 16(20-x) = 360 $
去括号得：$ 24x + 320 - 16x = 360 $
合并同类项得：$ 8x + 320 = 360 $
移项计算得：$ 8x = 40 $
解得：$ x = 5 $
则甲工程队整治的长度为：$ 24 × 5 = 120\ \mathrm{m} $
【答案】
120
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题关键是梳理清楚两个工程队的工作时间、工作效率和总工作量之间的关系，设出合适的未知数列方程求解即可，是对基础等量关系运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
本题属于工程类接力问题，解题的核心是找准两个等量关系：①甲队工作天数+乙队工作天数=总天数20天；②甲队整治长度+乙队整治长度=河道总长度360m。我们可以先设甲队的工作时间为未知数，用总天数表示出乙队的工作时间，再根据总长度的等量关系列方程求解，最后计算甲队的整治长度即可。
【解析】
解：设甲工程队整治了$ x $天，则乙工程队整治了$ (20-x) $天。
根据总河道长度为360m，可列方程：
$ 24x + 16(20-x) = 360 $
去括号得：$ 24x + 320 - 16x = 360 $
合并同类项得：$ 8x + 320 = 360 $
移项计算得：$ 8x = 40 $
解得：$ x = 5 $
则甲工程队整治的长度为：$ 24 × 5 = 120\ \mathrm{m} $
【答案】
120
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 工程问题
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题关键是梳理清楚两个工程队的工作时间、工作效率和总工作量之间的关系，设出合适的未知数列方程求解即可，是对基础等量关系运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
5. 甲、乙两仓库存货质量之比为$4:3$，如果从甲仓库中取出$8\ \mathrm{t}$放到乙仓库中，那么甲、乙两仓库存货质量之比为$4:5$. 两仓库原存货总质量是$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{t}.$
答案
5. 63
解析
【分析】
解题的关键是明确甲、乙两仓库的总存货质量始终不变。我们可以根据原存货质量比设未知数，再结合移动货物后的质量比列出比例式求解：首先根据原比4:3，设甲原存货4x t、乙原存货3x t，总质量为7x t；再表示出移动8t后甲乙的质量，根据新的比例关系列方程，解出x后即可算出总质量。也可以将总质量看作单位“1”，通过计算8t对应的分率，用除法直接求出总质量。
【解析】
方法一（方程法，符合七年级学段要求）：
设甲仓库原存货质量为$4x\ \mathrm{t}$，乙仓库原存货质量为$3x\ \mathrm{t}$，两仓库总质量为$7x\ \mathrm{t}$。
根据题意，移动8t后甲、乙质量比为$4:5$，可列比例式：
$(4x - 8):(3x + 8) = 4:5$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积）得：
$5(4x - 8) = 4(3x + 8)$
展开计算：
$20x - 40 = 12x + 32$
移项合并同类项：
$20x - 12x = 32 + 40$
$8x = 72$
解得$x = 9$
总质量为$7x = 7×9 = 63\ \mathrm{t}$
方法二（分数法）：
两仓库总质量不变，将总质量看作单位“1”。
原来甲仓存货占总质量的$\frac{4}{4+3}=\frac{4}{7}$
移动8t后甲仓存货占总质量的$\frac{4}{4+5}=\frac{4}{9}$
8t对应的分率为$\frac{4}{7}-\frac{4}{9}=\frac{8}{63}$
总质量为$8÷\frac{8}{63}=63\ \mathrm{t}$
【答案】
63
【知识点】
比的应用、比例的基本性质、一元一次方程的应用
【点评】
本题是比例调配问题的典型题型，解题核心是抓住“总质量不变”这一隐含条件，通过设未知数列方程或者利用分率对应关系都可以求解，掌握此类题型的解题思路可迁移解决很多同类的变量调配问题。
【难度系数】
0.7
解题的关键是明确甲、乙两仓库的总存货质量始终不变。我们可以根据原存货质量比设未知数，再结合移动货物后的质量比列出比例式求解：首先根据原比4:3，设甲原存货4x t、乙原存货3x t，总质量为7x t；再表示出移动8t后甲乙的质量，根据新的比例关系列方程，解出x后即可算出总质量。也可以将总质量看作单位“1”，通过计算8t对应的分率，用除法直接求出总质量。
【解析】
方法一（方程法，符合七年级学段要求）：
设甲仓库原存货质量为$4x\ \mathrm{t}$，乙仓库原存货质量为$3x\ \mathrm{t}$，两仓库总质量为$7x\ \mathrm{t}$。
根据题意，移动8t后甲、乙质量比为$4:5$，可列比例式：
$(4x - 8):(3x + 8) = 4:5$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积）得：
$5(4x - 8) = 4(3x + 8)$
展开计算：
$20x - 40 = 12x + 32$
移项合并同类项：
$20x - 12x = 32 + 40$
$8x = 72$
解得$x = 9$
总质量为$7x = 7×9 = 63\ \mathrm{t}$
方法二（分数法）：
两仓库总质量不变，将总质量看作单位“1”。
原来甲仓存货占总质量的$\frac{4}{4+3}=\frac{4}{7}$
移动8t后甲仓存货占总质量的$\frac{4}{4+5}=\frac{4}{9}$
8t对应的分率为$\frac{4}{7}-\frac{4}{9}=\frac{8}{63}$
总质量为$8÷\frac{8}{63}=63\ \mathrm{t}$
【答案】
63
【知识点】
比的应用、比例的基本性质、一元一次方程的应用
【点评】
本题是比例调配问题的典型题型，解题核心是抓住“总质量不变”这一隐含条件，通过设未知数列方程或者利用分率对应关系都可以求解，掌握此类题型的解题思路可迁移解决很多同类的变量调配问题。
【难度系数】
0.7
三、解答题
6. 某厂生产一批某种型号学生装，已知每3 m长的某种布可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套. 计划用600 m长的这种布生产学生装，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能正好配套？可生产多少套？
6. 某厂生产一批某种型号学生装，已知每3 m长的某种布可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套. 计划用600 m长的这种布生产学生装，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能正好配套？可生产多少套？
答案
6. 做上衣用布料 360 m，做裤子用布料 240 m，可生产 240 套
解析
【分析】
这是典型的配套类应用题，解题核心是抓住配套的等量关系：生产的上衣总数量=生产的裤子总数量。首先我们可以设生产上衣的布料长度为未知数，用总布料长度减去上衣布料长度得到裤子的布料长度，再根据布料长度分别计算出上衣和裤子的总数量，根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设用$ x \, \mathrm{m} $的布料生产上衣，则用$ (600 - x) \, \mathrm{m} $的布料生产裤子。
由题意得，上衣总数量等于裤子总数量，可列方程：
$\frac{x}{3} × 2 = \frac{600 - x}{3} × 3$
化简方程：
$\frac{2x}{3} = 600 - x$
移项合并同类项：
$\frac{2x}{3} + x = 600 \implies \frac{5x}{3} = 600$
解得：
$x = 600 × \frac{3}{5} = 360$
则生产裤子的布料长度为：$ 600 - 360 = 240 \, (\mathrm{m}) $
可生产的套数等于上衣总数量：$ \frac{360}{3} × 2 = 240 \, (\mathrm{套}) $
【答案】
做上衣用布料 360 m，做裤子用布料 240 m，可生产 240 套
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题求解
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题的关键是找准配套对应的等量关系，明确上衣和裤子的数量相等，再结合总布料的长度设未知数列方程计算即可，计算过程难度较低。
【难度系数】
0.7
这是典型的配套类应用题，解题核心是抓住配套的等量关系：生产的上衣总数量=生产的裤子总数量。首先我们可以设生产上衣的布料长度为未知数，用总布料长度减去上衣布料长度得到裤子的布料长度，再根据布料长度分别计算出上衣和裤子的总数量，根据等量关系列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设用$ x \, \mathrm{m} $的布料生产上衣，则用$ (600 - x) \, \mathrm{m} $的布料生产裤子。
由题意得，上衣总数量等于裤子总数量，可列方程：
$\frac{x}{3} × 2 = \frac{600 - x}{3} × 3$
化简方程：
$\frac{2x}{3} = 600 - x$
移项合并同类项：
$\frac{2x}{3} + x = 600 \implies \frac{5x}{3} = 600$
解得：
$x = 600 × \frac{3}{5} = 360$
则生产裤子的布料长度为：$ 600 - 360 = 240 \, (\mathrm{m}) $
可生产的套数等于上衣总数量：$ \frac{360}{3} × 2 = 240 \, (\mathrm{套}) $
【答案】
做上衣用布料 360 m，做裤子用布料 240 m，可生产 240 套
【知识点】
一元一次方程应用；配套问题求解
【点评】
本题属于基础的实际应用类题型，解题的关键是找准配套对应的等量关系，明确上衣和裤子的数量相等，再结合总布料的长度设未知数列方程计算即可，计算过程难度较低。
【难度系数】
0.7
7. 将一批会计报表输入电脑，甲单独做需要20 h完成，乙单独做需要12 h完成. 现在先由乙单独做4 h，剩下部分由甲、乙两人合作完成. 他们共得900元的报酬，根据甲、乙两人工作量分配报酬，两人各得多少元报酬？
答案
甲 225 元，乙 675 元
解析
【分析】
这是工程类报酬分配问题，解题核心是按工作量占比分配报酬，具体思考步骤如下：第一步，工程问题通常把总工作量看作单位“1”，先求出甲、乙各自的工作效率；第二步，设两人合作时长为未知数，根据“乙单独做的工作量+甲乙合作的工作量=总工作量”列方程，求出合作时长；第三步，分别计算甲、乙的总工作量，再用总报酬乘各自工作量的占比，即可得到两人应得的报酬。
【解析】
将总工作量看作单位“1”，则甲每小时的工作效率为$\frac{1}{20}$，乙每小时的工作效率为$\frac{1}{12}$。
设甲、乙两人合作的时间为$x$小时，根据总工作量为1列方程：
$\frac{1}{12}×4 + (\frac{1}{20}+\frac{1}{12})x = 1$
化简计算：
1. 先算乙单独做的工作量：$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，再算甲乙合作的效率和：$\frac{3}{60}+\frac{5}{60}=\frac{2}{15}$，方程变为：
$\frac{1}{3}+\frac{2}{15}x=1$
2. 移项计算：$\frac{2}{15}x=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，解得$x=5$，即两人合作了5小时。
计算两人总工作量：
甲仅参与了合作阶段，总工作量为：$5×\frac{1}{20}=\frac{1}{4}$
乙的总工作时长为$4+5=9$小时，总工作量为：$9×\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$
按工作量分配900元报酬：
甲应得：$900×\frac{1}{4}=225$（元）
乙应得：$900×\frac{3}{4}=675$（元）
【答案】
甲得225元，乙得675元
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用，按比分配
【点评】
本题结合实际应用场景，考查工程问题的基本数量关系，解题关键是明确单位“1”的设定，通过方程求出合作时长后准确计算两人的工作量占比，属于基础应用题，能有效考查学生对基础数量关系的掌握情况。
【难度系数】
0.7
这是工程类报酬分配问题，解题核心是按工作量占比分配报酬，具体思考步骤如下：第一步，工程问题通常把总工作量看作单位“1”，先求出甲、乙各自的工作效率；第二步，设两人合作时长为未知数，根据“乙单独做的工作量+甲乙合作的工作量=总工作量”列方程，求出合作时长；第三步，分别计算甲、乙的总工作量，再用总报酬乘各自工作量的占比，即可得到两人应得的报酬。
【解析】
将总工作量看作单位“1”，则甲每小时的工作效率为$\frac{1}{20}$，乙每小时的工作效率为$\frac{1}{12}$。
设甲、乙两人合作的时间为$x$小时，根据总工作量为1列方程：
$\frac{1}{12}×4 + (\frac{1}{20}+\frac{1}{12})x = 1$
化简计算：
1. 先算乙单独做的工作量：$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，再算甲乙合作的效率和：$\frac{3}{60}+\frac{5}{60}=\frac{2}{15}$，方程变为：
$\frac{1}{3}+\frac{2}{15}x=1$
2. 移项计算：$\frac{2}{15}x=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，解得$x=5$，即两人合作了5小时。
计算两人总工作量：
甲仅参与了合作阶段，总工作量为：$5×\frac{1}{20}=\frac{1}{4}$
乙的总工作时长为$4+5=9$小时，总工作量为：$9×\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$
按工作量分配900元报酬：
甲应得：$900×\frac{1}{4}=225$（元）
乙应得：$900×\frac{3}{4}=675$（元）
【答案】
甲得225元，乙得675元
【知识点】
工程问题，一元一次方程应用，按比分配
【点评】
本题结合实际应用场景，考查工程问题的基本数量关系，解题关键是明确单位“1”的设定，通过方程求出合作时长后准确计算两人的工作量占比，属于基础应用题，能有效考查学生对基础数量关系的掌握情况。
【难度系数】
0.7
