9. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,DC⊥BC,将四边形沿对角线BD折叠,点A恰好落在DC边上的点A'处.若∠A'BC=20°,则∠A'BD=（）


A.$15°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$36°$

9.B

【分析】
解题可按照以下思路推导：1. 先根据DC⊥BC得到∠C=90°，结合已知∠A'BC=20°，在Rt△A'BC中求出∠BA'C，进而得到折叠后对应角∠BA'D的度数；2. 利用折叠性质得到∠A=∠BA'D，且∠ABD=∠A'BD；3. 结合AD//BC的同旁内角互补性质，求出∠ABC的度数；4. 设∠A'BD为未知数，根据∠ABC的组成建立方程求解即可。
【解析】
解：
∵DC⊥BC，
∴∠C=90°
在Rt△A'BC中，∠A'BC=20°，由三角形内角和得：
∠BA'C = 180° - 90° - 20° = 70°
∴∠BA'D = 180° - ∠BA'C = 110°
由折叠的性质可得：∠A = ∠BA'D = 110°，∠ABD = ∠A'BD
∵AD//BC，
∴∠A + ∠ABC = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠ABC = 180° - 110° = 70°
设∠A'BD = x，则∠ABD = x，又∠A'BC=20°
∴∠ABC = ∠ABD + ∠A'BD + ∠A'BC = 2x + 20° = 70°
解得x = 25°，即∠A'BD = 25°
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合平行线的角关系建立等量关系求解，熟练掌握基础几何性质是解题关键。
【难度系数】
0.7

10. [易错题]直角三角形的三个内角之比为2：m：5，则m的值是。

10.3或7

【分析】
解题时首先明确核心已知条件：直角三角形有一个内角为90°，且90°是三个内角中的最大值，同时三角形内角和为180°。题目给出三个内角比为2:m:5，由于m的大小未知，无法确定哪个比例项对应直角，因此需分两种情况讨论：①比例系数为5的角是直角；②比例系数为m的角是直角。因为2＜5，所以比例系数为2的角不可能是最大的直角，无需讨论该情况，最后结合内角和定理分别计算m的值即可。
【解析】
解：
∵ 该三角形为直角三角形，
∴ 存在一个内角为90°，且是三个内角中的最大值，又
∵ 三角形内角和为180°，
∴ 直角的度数为内角和的$\frac{1}{2}$，分两种情况讨论：
① 当比例系数为5的角是直角时：
直角对应份数占总份数的比例为$\frac{5}{2+m+5}$，可得方程：
$\frac{5}{2+m+5}=\frac{1}{2}$
交叉相乘得：$10=7+m$，解得$m=3$；
② 当比例系数为m的角是直角时，此时m是三个比例项的最大值：
直角对应份数占总份数的比例为$\frac{m}{2+m+5}$，可得方程：
$\frac{m}{2+m+5}=\frac{1}{2}$
交叉相乘得：$2m=7+m$，解得$m=7$；
综上，m的值为3或7。
【答案】
3或7
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是典型的易错题，解题的关键点在于明确直角三角形中直角为最大内角，需要对未知比例项是否为最大项进行分类讨论，若忽略分类则容易漏解。
【难度系数】
0.6

11.[分类讨论思想]如图,已知∠AOD=30°,C是射线OD上的一个动点.在点C运动的过程中,当△AOC恰好是直角三角形时,∠A所有可能的度数为。

11.$60°或90°$

【分析】
要解决这个问题，首先明确△AOC为直角三角形时，必有一个内角为90°，结合已知∠AOC=30°，可知直角不可能是∠AOC，因此分两种情况讨论：一是直角为∠A，二是直角为∠ACO，再结合三角形内角和定理分别计算∠A的度数即可。
【解析】
已知∠AOC=30°，△AOC是直角三角形，分两种情况讨论：
1. 若直角为∠A：此时∠A=90°，符合直角三角形的要求；
2. 若直角为∠ACO：根据三角形内角和为180°，可得∠A=180°-∠AOC-∠ACO=180°-30°-90°=60°。
由于∠AOC=30°≠90°，不存在第三种情况，因此∠A的可能度数为60°或90°。
【答案】
$60°$或$90°$
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的定义，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查对直角三角形性质的理解和分类讨论思想的应用，解题时易因遗漏其中一种直角的情况出现漏解，做题时要全面考虑所有可能的情况，排除不可能的情形后即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7

12. [教材P87 A组复习题第9题改编]如图,在$△ ABC$中,$∠ A = 30°$,$∠ B = 62°$,$CE$平分$∠ ACB$.
(1)求$∠ ACE$的度数;
(2)若$CD ⊥ AB$于点$D$,$∠ CDF = 74°$,求证:$△ CFD$是直角三角形.

12.(1)$∠ACE=44°$.
(2)证明略.

【分析】
(1) 求解∠ACE的度数时，先利用三角形内角和为180°算出△ABC中∠ACB的度数，再根据CE是∠ACB的角平分线，可得∠ACE为∠ACB的一半，代入数值计算即可。
(2) 要证明△CFD是直角三角形，只需证明其有一个内角为90°。首先由CD⊥AB得到∠CDB=90°，在Rt△CDB中求出∠BCD的度数，结合(1)中得到的∠ECB的度数算出∠FCD的度数，最后利用三角形内角和定理求出∠CFD的度数，判断是否为直角即可。
【解析】
(1) 解：在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ ACB=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-62°=88°$
∵CE平分$∠ ACB$
∴$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×88°=44°$
(2) 证明：
∵$CD⊥ AB$
∴$∠ CDB=90°$
在Rt△CDB中，$∠ BCD=90°-∠ B=90°-62°=28°$
由(1)可知$∠ ECB=∠ ACE=44°$
∴$∠ FCD=∠ ECB-∠ BCD=44°-28°=16°$
在△CFD中，由三角形内角和定理得：
$∠ CFD=180°-∠ FCD-∠ CDF=180°-16°-74°=90°$
∴△CFD是直角三角形。
【答案】
(1) $∠ ACE=44°$
(2) △CFD是直角三角形，证明成立。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的判定
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，结合角平分线、垂直的性质考查三角形内角和定理的应用，解题时需理清各个角之间的和差关系，逐步推导即可得到结论。
【难度系数】
0.8

13. [分类讨论思想] 如图, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$,点 A 在直线 MN 上,点 D,E 在直线 MN 上运动(点 D 不与点 A 重合),且始终满足 CE 平分$∠ BCD$.
(1)当点 D 在点 A 左侧时,请直接写出$∠ CAD$与$∠ CAE$之间的数量关系;
(2)若$∠ CAE=60°$,在点 D,E 运动的过程中,当$△ CDE$是直角三角形时,求$∠ DCE$的度数.

13.(1)$∠CAD+∠CAE=180°$.
(2)当$△ CDE$是直角三角形时,$∠ DCE$的度数为$30°或60°$.

【分析】
(1) 观察两角的位置可知，点D、A、E共线在直线MN上，∠CAD与∠CAE有公共顶点A、公共边AC，另外两边AD、AE在同一直线上且方向相反，属于邻补角，据此可直接推出数量关系。
(2) 解题需用到分类讨论思想：△CDE是直角三角形，需对直角的位置进行分类，排除∠DCE为直角的不合理情况后，分∠CED=90°、∠CDE=90°两种情况，结合已知的∠CAE=60°、∠ACB=90°和角平分线的性质，利用三角形内角和定理分别计算∠DCE的度数即可。
【解析】
(1)
∵点D、A、E在同一直线MN上，点D在点A左侧，
∴∠CAD和∠CAE互为邻补角，
∴$∠ CAD + ∠ CAE = 180°$。
(2) 已知$△ CDE$为直角三角形，分两种情况讨论：
① 当$∠ CED=90°$时：
在$△ ACE$中，$∠ CAE=60°$，$∠ AEC=∠ CED=90°$，
根据三角形内角和为$180°$，得$∠ ACE=180°-60°-90°=30°$，
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ BCE=∠ ACB-∠ ACE=90°-30°=60°$，
又
∵CE平分$∠ BCD$，
∴$∠ DCE=∠ BCE=60°$。
② 当$∠ CDE=90°$时：
此时点D在点A右侧，$∠ CAD=∠ CAE=60°$，
在$△ ACD$中，$∠ CDE=90°$，$∠ CAD=60°$，
得$∠ ACD=180°-90°-60°=30°$，
∵$∠ ACB=90°$，
∴$∠ BCD=∠ ACB-∠ ACD=90°-30°=60°$，
又
∵CE平分$∠ BCD$，
∴$∠ DCE=\frac{1}{2}∠ BCD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ CAD + ∠ CAE = 180°}$
(2) $\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
邻补角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需注意点D的位置不固定，要对直角三角形的直角顶点分情况讨论，避免漏解，解题过程中要熟练结合角度的位置关系和相关性质进行计算。
【难度系数】
0.6