1. 如图，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上的两点.若$∠ ABC=70°$，则$∠ BDC=$.

$\boldsymbol{20°}$

解：
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB = 90°$（直径所对的圆周角为直角）。
∵ $∠ ABC = 70°$，
∴ $∠ BAC = 90° - ∠ ABC = 20°$。
∵ $∠ BDC$与$∠ BAC$都是弧$BC$所对的圆周角，
∴ $∠ BDC = ∠ BAC = 20°$。
最终

2.如图,在$\odot O$中,BC是直径,$OD⊥ AB$于点E,$∠ B=44°$,则$∠ C=$.

$\boldsymbol{46°}$

解：
连接AC，
∵ BC是⊙O的直径，
∴ ∠BAC=90°，
∵ OD⊥AB，
∴ ∠OEB=90°，由垂径定理得AE=BE，
∴ ∠BAC=∠OEB，
∴ AC//OD，
又∵ O是BC的中点，E是AB的中点，
∴ OE是△ABC的中位线，
∴ ∠C=∠BOE，
在Rt△OBE中，∠OEB=90°，∠B=44°，
∴ ∠BOE=90°-44°=46°，
∴ ∠C=46°。

3.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=10$，以AB为直径的$\odot O$与BC相交于点D，与AC相交于点E，连接OD，交BE于点M，且$MD=2$，则$BE=$。
（第3题）

$\boldsymbol{8}$

解：
∵ AB是⊙O的直径，AB=10，
∴ OA=OB=OD=5，∠AEB=90°，即BE⊥AC。
∵ MD=2，
∴ OM=OD-MD=5-2=3。
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C。
∵ OB=OD，
∴ ∠OBD=∠ODB，
∴ ∠ODB=∠C，
∴ OD//AC。
又∵ O是AB的中点，
∴ OM是△ABE的中位线，
∴ AE=2OM=6。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
BE=$\sqrt{AB^2 - AE^2}$=$\sqrt{10^2 - 6^2}$=8。

4.如图,在$\odot O$中,弦$AB// CD$.若$∠ ABC=40°$,则$∠ BOD=$.

$\boldsymbol{80°}$

解：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ ABC = ∠ BCD$。
∵ $∠ ABC=40°$，
∴ $∠ BCD=40°$。
由圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ BOD$是弧$BD$对应的圆心角，$∠ BCD$是弧$BD$对应的圆周角，
∴ $∠ BOD = 2∠ BCD = 2×40° = 80°$。

5.如图，AB是$\odot O$的直径，C是$\odot O$上一点，D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，$DE⊥ AB$于点E，交BC于点F。若$AC=2$，$\odot O$的半径为2，则DF的长为。

$\boldsymbol{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$

解：
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB=90°$。
∵ $\odot O$的半径为2，
∴ $AB=4$。
又∵ $AC=2$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC=\frac{1}{2}AB$，
∴ $∠ ABC=30°$，$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=2\sqrt{3}$。
∵ D是$\overset{\frown}{BC}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ DBC=∠ BAD$。
∵ $DE⊥ AB$，
∴ $∠ DEB=90°$，
∴ $∠ BDE + ∠ ABD=90°$。
∵ AB是直径，$∠ ADB=90°$，
∴ $∠ BAD + ∠ ABD=90°$，
∴ $∠ BDE=∠ BAD$，
∴ $∠ BDE=∠ DBC$，
∴ $DF=BF$。
∵ $OA=OC=AC=2$，
∴ $△ AOC$是等边三角形，
∴ $∠ BAC=60°$，
∴ $\overset{\frown}{AC}$的度数为$60°$，$\overset{\frown}{BC}$的度数为$120°$，
∴ $\overset{\frown}{BD}$的度数为$60°$，$∠ DOB=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$OD=2$，$∠ DOE=60°$，
∴ $OE=OD·\cos60°=1$，$DE=OD·\sin60°=\sqrt{3}$，
∴ $BE=OB-OE=2-1=1$。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$∠ FBE=30°$，$∠ BEF=90°$，
∴ $EF=BE·\tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ $BF=2EF=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴ $DF=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
最终

6.如图，AB是半圆的直径，图①中，点C在半圆外；图②中，点C在半圆内.请仅用无刻度的直尺按要求作图.(保留作图痕迹，不写作法)
(1)在图①中，作出△ABC的三条高的交点；
(2)在图②中，作出△ABC中AB边上的高.

解：
(1) 如图①，设AC与半圆交于点D，BC与半圆交于点E，作直线BD、AE，两直线交于点P，点P即为△ABC三条高的交点。
(2) 如图②，延长AC交半圆于点D，延长BC交半圆于点E，作直线AE、BD，两直线交于点Q，作直线CQ交AB于点F，线段CF即为△ABC中AB边上的高。
（注：按上述描述保留对应连线的作图痕迹即可，利用直径所对圆周角为直角的性质构造高，符合要求）

7. 提升题 如图，在$\odot O$中，直径$AB⊥$弦$CD$于点$M$，$E$是$\overset{\frown}{AD}$的中点，连接$AD$，$CE$，延长$AE$，$CD$，交于点$F$。
(1)求证：$∠ AEC=2∠ C$；
(2)当$AM=4$，$CD=6$时，求$AF$的长。

(1) 证明：
∵ AB是$\odot O$的直径，$AB⊥ CD$，
由垂径定理得：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$。
∵ E是$\overset{\frown}{AD}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DE}$，即$\overset{\frown}{AD}=2\overset{\frown}{AE}$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=2\overset{\frown}{AE}$。
根据圆周角定理：$∠ AEC$的度数等于$\overset{\frown}{AC}$度数的一半，$∠ C$的度数等于$\overset{\frown}{AE}$度数的一半，
∴ $∠ AEC=\frac{1}{2}×$弧$AC$的度数$=\frac{1}{2}×2×$弧$AE$的度数$=2∠ C$，
即$∠ AEC=2∠ C$。
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(2) 解：
∵ $AB⊥ CD$，$CD=6$，
∴ $CM=MD=\frac{1}{2}CD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ AMD$中，$AM=4$，$MD=3$，
∴ $AD=\sqrt{AM^2+MD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵ $∠ AEC$和$∠ ADC$都是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
∴ $∠ AEC=∠ ADC$，
由(1)得$∠ AEC=2∠ C$，因此$∠ ADC=2∠ C$。
∵ $∠ ADC$是$△ ADF$的外角，
∴ $∠ ADC=∠ DAF+∠ F$。
又∵ $∠ C$和$∠ DAF$都是$\overset{\frown}{DE}$所对的圆周角，
∴ $∠ C=∠ DAF$，代入得$∠ ADC=∠ C+∠ F$。
结合$∠ ADC=2∠ C$，得$2∠ C=∠ C+∠ F$，即$∠ C=∠ F$，
∴ $∠ DAF=∠ F$，$AD=DF=5$，
∴ $MF=MD+DF=3+5=8$。
在$\mathrm{Rt}△ AMF$中，$∠ AMF=90°$，$AM=4$，$MF=8$，
∴ $AF=\sqrt{AM^2+MF^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$。
最终$AF$的长为$\boldsymbol{4\sqrt{5}}$。