9. 如图，C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点D处，且$l_{\overset{\frown}{BD}}:l_{\overset{\frown}{AD}}=1:3$（$l_{\overset{\frown}{BD}}$表示$\overset{\frown}{BD}$的长），若将扇形OAB围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面圆的半径与母线长的比为 （ ）
A. $1:3$
B. $1:π$
C. $1:4$
D. $2:9$

D

10.如图,一个圆锥的母线长为10 cm,底面圆半径为5 cm,在圆锥的底面边缘上一点A处有一只蚂蚁,想吃到点A相对的母线的中点B处的一粒砂糖,这只蚂蚁从点A出发,沿着曲面爬到点B,最短路线的长是________cm.

$5\sqrt{5}$

11. 如图①中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥(如图②),制作这种外包装需要用如图③所示的等腰三角形材料,其中$AB=AC,AD⊥BC$.将扇形$AEF$围成圆锥时,$AE,AF$恰好重合,已知这种加工材料的顶角$∠BAC=90°$.
(1)求图②中圆锥底面圆直径$ED$与母线$AD$长的比值;
(2)若圆锥底面圆的直径$ED$为5 cm,求加工材料剩余部分(图③中阴影部分)的面积.(结果保留$π$)

第11题图

解：​$ (1)$​根据题意，得​$\pi ·DE=\frac {90·\pi ·AD}{180}，$​∴​$DE=\frac {1}{2}AD，$​∴​$ED$​与​$AD$​长的比值为​$\frac {1}{2}.$​​$ (2)$​∵​$∠BAC = 90°，$​​$AB = AC，$​​$AD\perp BC，$​ ∴​$D$​为​$BC$​的中点，∴​$BC = 2AD.$​​$ $​而​$AD = 2DE = 10\ \mathrm {cm}，$​∴​$BC = 2AD = 20\ \mathrm {cm}，$​ ∴​$S_{阴影}=S_{\triangle ABC}-S_{扇形AEF}$​​$=\frac {1}{2}×20×10-\frac {90×\pi ×10^2}{360}$​​$=(100 - 25\pi )\mathrm {cm}².$​ 答：加工材料剩余部分的面积为​$(100 - 25\pi )\mathrm {cm}².$​

12. 如图,有一直径是1米的圆形铁皮,要从中剪出一个圆心角是$120°$的扇形$ABC$.
(1)求被剪掉阴影部分的面积;
(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面,该圆锥底面圆的半径是多少米?

第12题图

解：​$(1)$​连接​$OA，$​​$OB，$​​$OC.$​ ∵​$OA = OC = OB，$​​$AB = AC，$​∴​$\triangle ABO\cong \triangle ACO(\mathrm {SSS}).$​​$ $​又​$∠BAC = 120°，$​∴​$∠BAO=∠CAO = 60°，$​ ∴​$\triangle ABO$​是等边三角形，∴​$AB = OA=\frac {1}{2}$​米， ∴​$S_{扇形ABC}=\frac {120}{360}\pi (\frac {1}{2})^2=\frac {\pi }{12}($​平方米​$)，$​ ∴​$S_{阴影}=\pi (\frac {1}{2})^2-\frac {\pi }{12}=\frac {\pi }{6}($​平方米​$).$​​$ $​即被剪掉阴影部分的面积是​$\frac {\pi }{6}$​平方米​$.$​​$ (2)$​在扇形​$ABC$​中，​$\overset {\frown }{BC}$​的长为​$\frac {120}{180}\pi ×\frac {1}{2}=\frac {\pi }{3}($​米​$).$​​$ $​设圆锥底面圆的半径为​$r$​米，则​$2\pi r=\frac {\pi }{3}，$​解得​$r=\frac {1}{6}.$​​$ $​即该圆锥底面圆的半径是​$\frac {1}{6}$​米​$.$​