趣味数学
古书中有关分数的问题
《庄子·天下》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是说：一根一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截不完，如下图所示。

由图可以看出：$\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots + \frac{1}{2^n} =$
这些分数分别是：$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} × \frac{1}{2} + \frac{1}{2} × \frac{1}{2} × \frac{1}{2} + \dots =$
你知道最终答案是多少吗？
对，无限加下去，答案是1。
《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问持米几何？”
题意是：有人背米要过三个关卡，经过外关时，用全部米的$\frac{1}{3}$纳税，经过中关时用所余米的$\frac{1}{5}$纳税，经过内关时再用余米的$\frac{1}{7}$纳税，最后还剩下5斗米。这个人原来背多少米出关？
我的解法是：$5 ÷ (1 - \frac{1}{7}) ÷ (1 - \frac{1}{5}) ÷ (1 - \frac{1}{3}) = 10\frac{15}{16}$。你能看明白吗？
$5 ÷ (1 - \frac{1}{7})$求的是
$5 ÷ (1 - \frac{1}{7}) ÷ (1 - \frac{1}{5})$求的是
$5 ÷ (1 - \frac{1}{7}) ÷ (1 - \frac{1}{5}) ÷ (1 - \frac{1}{3})$求的是

经过内关之前的米的斗数
经过中关之前的米的斗数
这个人原来背的米的总斗数