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(2) 把一个分数约分，用 2 约了两次，用 5 约了一次，得到$\frac{2}{7}$。原来这个分数是(
$\dfrac{40}{140}$
)。答案
7. (2) $\dfrac{40}{140}$
(3) (思维过程)有两个分数$\frac{5}{m}$和$\frac{7}{n}$ ($m$、$n$均是不为 0 的自然数)，通分后分别是$\frac{5}{m}$和$\frac{28}{m}$。若$m+n=45$，则$m=$ (
36
)，$n=$ (9
)。答案
7. (3) 36 9
解析
因为两个分数$\frac{5}{m}$和$\frac{7}{n}$通分后分别是$\frac{5}{m}$和$\frac{28}{m}$，所以通分后的分母为$m$，即$m$是$n$的倍数。通分过程中$\frac{7}{n}$的分子变为$28$，则$28÷7 = 4$，所以$m = 4n$。
又因为$m + n = 45$，将$m = 4n$代入可得$4n + n = 45$，即$5n = 45$，解得$n = 9$。
则$m = 4n = 4×9 = 36$。
$m = 36$，$n = 9$
又因为$m + n = 45$，将$m = 4n$代入可得$4n + n = 45$，即$5n = 45$，解得$n = 9$。
则$m = 4n = 4×9 = 36$。
$m = 36$，$n = 9$
8. (探索规律)学了分数的基本性质后，悦悦给全班同学表演了一个魔术，她将$\frac{143}{275}$、$\frac{132}{495}$、$\frac{385}{297}$、$\frac{132}{187}$这些分数的分子、分母十位上的数字都划去，结果得到的新分数竟和原来相等。
答案
8. 分子分母同时除以 11，分数的大小不变。分数不唯一，如$\dfrac{231}{363}$
四、分数的大小比较
9. (地域特色)苏扇是苏州特产，包括折扇、檀香扇和绢宫扇三大类，统称为“苏州雅扇”。有同样多的三种苏扇，折扇卖出$\frac{5}{8}$，檀香扇卖出$\frac{7}{11}$，绢宫扇卖出$\frac{2}{3}$。哪种苏扇剩得最多?
9. (地域特色)苏扇是苏州特产，包括折扇、檀香扇和绢宫扇三大类，统称为“苏州雅扇”。有同样多的三种苏扇，折扇卖出$\frac{5}{8}$，檀香扇卖出$\frac{7}{11}$，绢宫扇卖出$\frac{2}{3}$。哪种苏扇剩得最多?
答案
9. $\dfrac{5}{8} = \dfrac{165}{264}$ $\dfrac{7}{11} = \dfrac{168}{264}$ $\dfrac{2}{3} = \dfrac{176}{264}$ $\dfrac{165}{264} ＜ \dfrac{168}{264} ＜ \dfrac{176}{264}$ $\dfrac{5}{8} ＜ \dfrac{7}{11} ＜ \dfrac{2}{3}$ 折扇剩得最多
10. 已知$\frac{1}{3}＜\frac{( )}{5}＜\frac{9}{10}$，则括号里可以填哪些自然数?
答案
10. 2、3、4 解析：分母均为已知数，运用分数的基本性质，化成同分母分数，即$\dfrac{10}{30} ＜ \dfrac{( )×6}{30} ＜ \dfrac{27}{30}$。再根据$10 ＜ ( )×6 ＜ 27$确定括号里可以填的自然数。
解析
将三个分数通分，分母取3、5、10的最小公倍数30，可得：
$\frac{1}{3}=\frac{10}{30}$，$\frac{( )}{5}=\frac{( )×6}{30}$，$\frac{9}{10}=\frac{27}{30}$。
则不等式变为$\frac{10}{30}＜\frac{( )×6}{30}＜\frac{27}{30}$，即$10＜( )×6＜27$。
解不等式$10＜6x＜27$（$x$为自然数），$10÷6\approx1.67$，$27÷6 = 4.5$，所以$x$可以取2、3、4。
2、3、4
$\frac{1}{3}=\frac{10}{30}$，$\frac{( )}{5}=\frac{( )×6}{30}$，$\frac{9}{10}=\frac{27}{30}$。
则不等式变为$\frac{10}{30}＜\frac{( )×6}{30}＜\frac{27}{30}$，即$10＜( )×6＜27$。
解不等式$10＜6x＜27$（$x$为自然数），$10÷6\approx1.67$，$27÷6 = 4.5$，所以$x$可以取2、3、4。
2、3、4
11. 比较分数的大小。
(1) $\frac{19}{34}$和$\frac{11}{28}$ (2) $\frac{1001}{1003}$和$\frac{5446}{5448}$
(1) $\frac{19}{34}$和$\frac{11}{28}$ (2) $\frac{1001}{1003}$和$\frac{5446}{5448}$
答案
11. (1) 把$\dfrac{1}{2}$作为中间量 $\dfrac{19}{34} ＞ \dfrac{1}{2}$ $\dfrac{11}{28} ＜ \dfrac{1}{2}$ $\dfrac{19}{34} ＞ \dfrac{11}{28}$ (2) $1 - \dfrac{1001}{1003} = \dfrac{2}{1003}$ $1 - \dfrac{5446}{5448} = \dfrac{2}{5448}$ $\dfrac{2}{1003} ＞ \dfrac{2}{5448}$ $\dfrac{1001}{1003} ＜ \dfrac{5446}{5448}$
一、用抓不变量法解决分数问题
12. 分数$\frac{5}{13}$的分子和分母同时加上一个数，所得的新分数约分后得$\frac{1}{2}$。同时加上的数是(
思路提示：分子和分母同时加上一个数，分母和分子的差是不变的。
12. 分数$\frac{5}{13}$的分子和分母同时加上一个数，所得的新分数约分后得$\frac{1}{2}$。同时加上的数是(
3
)。思路提示：分子和分母同时加上一个数，分母和分子的差是不变的。
答案
12. 3 解析：新分数的分母和分子的差仍然是$13 - 5 = 8$。约分后得$\dfrac{1}{2}$，说明新分数的分子是 1 份，分母是 2 份，相差 1 份。相差 1 份就相差 8，从而求出 1 份的数，进而确定新分数是$\dfrac{8}{16}$。将其与原分数$\dfrac{5}{13}$进行对比，从而求出同时加上的数。
方法归纳 抓不变量法 抓不变量法就是从变化中寻找不变，以不变为突破口，将复杂的问题变成简单的和倍、差倍、和差等问题。
方法归纳 抓不变量法 抓不变量法就是从变化中寻找不变，以不变为突破口，将复杂的问题变成简单的和倍、差倍、和差等问题。
二、巧用减法将循环小数转化为分数
13. (思维过程)
因
$0.\dot{7}×10 - 0.\dot{7}=0.\dot{7}×(10 - 1)=0.\dot{7}×9$
$0.\dot{7}×10 - 0.\dot{7}=7.\dot{7} - 0.\dot{7}=7$
所以：$0.\dot{7}×9 = 7 → 0.\dot{7}=7÷9=\frac{7}{9}$
试一试：$0.\dot{1}\dot{3}$转化成分数是多少?
思路提示：$0.\dot{1}\dot{3}$的循环节是两位数，就将$0.\dot{1}\dot{3}×100$。
13. (思维过程)
因
为
：$0.\dot{7}×10 - 0.\dot{7}=0.\dot{7}×(10 - 1)=0.\dot{7}×9$
$0.\dot{7}×10 - 0.\dot{7}=7.\dot{7} - 0.\dot{7}=7$
所以：$0.\dot{7}×9 = 7 → 0.\dot{7}=7÷9=\frac{7}{9}$
试一试：$0.\dot{1}\dot{3}$转化成分数是多少?
思路提示：$0.\dot{1}\dot{3}$的循环节是两位数，就将$0.\dot{1}\dot{3}×100$。
答案
13. $0.\dot{1}\dot{3}×100 - 0.\dot{1}\dot{3} = 0.\dot{1}\dot{3}×99$ $0.\dot{1}\dot{3}×100 - 0.\dot{1}\dot{3} = 13.\dot{1}\dot{3} - 0.\dot{1}\dot{3} = 13$ $0.\dot{1}\dot{3}×99 = 13$ $0.\dot{1}\dot{3} = 13÷99 = \dfrac{13}{99}$
