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1 学完本课时的内容后,小锦打算对相关的问题进行整理,请你帮她补充完整。(单位:cm)
答案
1. (从左往右)$(50×40+50×30+40×30)×2$
制作一个无盖鱼缸，至少需要多少玻璃？
4 $25×24×4$
3 $90×70+70×50×2$
解析 长方体或正方体6个面的总面积是它们的表面积。但在实际生活中有时只需要计算5个面的面积，如制作无盖鱼缸，粉刷房间，给游泳池的四周和底面抹上水泥；有时只需要计算4个面或3个面的面积，如题表中制作灯笼、防油烟玻璃罩，具体问题一定要具体分析。
制作一个无盖鱼缸，至少需要多少玻璃？
4 $25×24×4$
3 $90×70+70×50×2$
解析 长方体或正方体6个面的总面积是它们的表面积。但在实际生活中有时只需要计算5个面的面积，如制作无盖鱼缸，粉刷房间，给游泳池的四周和底面抹上水泥；有时只需要计算4个面或3个面的面积，如题表中制作灯笼、防油烟玻璃罩，具体问题一定要具体分析。
解析
【分析】
这道题是长方体表面积在实际生活中的应用，需要根据每个物体的实际使用需求，确定要计算的面的数量，再结合长方形面积公式计算：
1. 收纳箱是完整的长方体，需要计算6个面的总面积，直接使用长方体表面积公式即可。
2. 第二个物体是无盖的鱼缸，缺少顶部的面，需要计算5个面的面积，对应问题为“制作一个无盖鱼缸，至少需要多少玻璃？”。
3. 上下通风的灯笼，上下两个面不需要封闭，只需要计算四周4个面的面积，四个面都是相同的长方形，用单个面的面积乘4即可。
4. 灶台防油烟玻璃罩，灶台面不需要安装玻璃，所以只需要计算正面和两个侧面，共3个面的面积，正面是长×高的长方形，侧面是宽×高的长方形，两个侧面面积为宽×高×2，再加上正面面积。
【解析】
1. 收纳箱（6个面）：
长方体表面积公式为$S=(ab+ah+bh)×2$，其中长$a=50\mathrm{cm}$，宽$b=40\mathrm{cm}$，高$h=30\mathrm{cm}$，代入得列式：$(50×40+50×30+40×30)×2$。
2. 无盖鱼缸（5个面）：
对应实际问题为“制作一个无盖鱼缸，至少需要多少玻璃？”，计算底面面积加上四周的面积，列式已给出：$30×25+(30+25)×2×20$。
3. 上下通风灯笼（4个面）：
上下无封闭面，仅计算四周4个长方形面，每个面面积为$25×24$，所以列式为$25×24×4$，对应面数为4。
4. 灶台防油烟玻璃罩（3个面）：
无需计算灶台面，计算正面（$90×70$）和两个侧面（$70×50×2$）的面积和，列式为$90×70+70×50×2$，对应面数为3。
【答案】
从左往右依次为：$(50×40+50×30+40×30)×2$；制作一个无盖鱼缸，至少需要多少玻璃？；4；$25×24×4$；3；$90×70+70×50×2$
【知识点】
长方体表面积应用；实际面数判断；长方形面积计算
【点评】
本题考查长方体表面积在实际生活中的灵活运用，核心是根据实际场景判断需要计算的面的数量，不能直接套用完整的长方体表面积公式，需结合具体问题分析，提升解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
这道题是长方体表面积在实际生活中的应用，需要根据每个物体的实际使用需求，确定要计算的面的数量，再结合长方形面积公式计算：
1. 收纳箱是完整的长方体，需要计算6个面的总面积，直接使用长方体表面积公式即可。
2. 第二个物体是无盖的鱼缸，缺少顶部的面，需要计算5个面的面积，对应问题为“制作一个无盖鱼缸，至少需要多少玻璃？”。
3. 上下通风的灯笼，上下两个面不需要封闭，只需要计算四周4个面的面积，四个面都是相同的长方形，用单个面的面积乘4即可。
4. 灶台防油烟玻璃罩，灶台面不需要安装玻璃，所以只需要计算正面和两个侧面，共3个面的面积，正面是长×高的长方形，侧面是宽×高的长方形，两个侧面面积为宽×高×2，再加上正面面积。
【解析】
1. 收纳箱（6个面）：
长方体表面积公式为$S=(ab+ah+bh)×2$，其中长$a=50\mathrm{cm}$，宽$b=40\mathrm{cm}$，高$h=30\mathrm{cm}$，代入得列式：$(50×40+50×30+40×30)×2$。
2. 无盖鱼缸（5个面）：
对应实际问题为“制作一个无盖鱼缸，至少需要多少玻璃？”，计算底面面积加上四周的面积，列式已给出：$30×25+(30+25)×2×20$。
3. 上下通风灯笼（4个面）：
上下无封闭面，仅计算四周4个长方形面，每个面面积为$25×24$，所以列式为$25×24×4$，对应面数为4。
4. 灶台防油烟玻璃罩（3个面）：
无需计算灶台面，计算正面（$90×70$）和两个侧面（$70×50×2$）的面积和，列式为$90×70+70×50×2$，对应面数为3。
【答案】
从左往右依次为：$(50×40+50×30+40×30)×2$；制作一个无盖鱼缸，至少需要多少玻璃？；4；$25×24×4$；3；$90×70+70×50×2$
【知识点】
长方体表面积应用；实际面数判断；长方形面积计算
【点评】
本题考查长方体表面积在实际生活中的灵活运用，核心是根据实际场景判断需要计算的面的数量，不能直接套用完整的长方体表面积公式，需结合具体问题分析，提升解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1)制作一个正方体抽屉(无盖)用了$16.2\ \mathrm{dm}^2$木板,抽屉的底面积是(
3.24
) $\mathrm{dm}^2$。答案
(1)3.24
解析 这个正方体抽屉是无盖的，也就是只有5个完全相同的面。要求底面积，就将一共用的木板面积除以面数，列式为$16.2÷5=3.24(dm^{2})$。
解析 这个正方体抽屉是无盖的，也就是只有5个完全相同的面。要求底面积，就将一共用的木板面积除以面数，列式为$16.2÷5=3.24(dm^{2})$。
解析
【分析】
首先要明确正方体抽屉是无盖的，所以它只有5个完全相同的正方形面。题目给出制作抽屉所用的木板总面积，要求底面积，而正方体的每个面面积都相等，因此只需要用总面积除以面数5，就能得到一个面的面积，也就是底面积。
【解析】
因为无盖正方体抽屉有5个完全相同的正方形面，已知制作抽屉共用了$16.2\ \mathrm{dm}^2$木板，所以每个面的面积（即底面积）为：
$16.2÷5=3.24(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
3.24
【知识点】
正方体表面积应用
【点评】
本题关键是要注意“无盖”这个条件，避免错误地按6个面计算，解题时需结合实际情况确定面的数量，再利用正方体面的面积相等的特点进行计算。
【难度系数】
0.8
首先要明确正方体抽屉是无盖的，所以它只有5个完全相同的正方形面。题目给出制作抽屉所用的木板总面积，要求底面积，而正方体的每个面面积都相等，因此只需要用总面积除以面数5，就能得到一个面的面积，也就是底面积。
【解析】
因为无盖正方体抽屉有5个完全相同的正方形面，已知制作抽屉共用了$16.2\ \mathrm{dm}^2$木板，所以每个面的面积（即底面积）为：
$16.2÷5=3.24(\mathrm{dm}^2)$
【答案】
3.24
【知识点】
正方体表面积应用
【点评】
本题关键是要注意“无盖”这个条件，避免错误地按6个面计算，解题时需结合实际情况确定面的数量，再利用正方体面的面积相等的特点进行计算。
【难度系数】
0.8
(2)一个棱长为2 cm的正方体,如果将它的棱长增加到4 cm,那么它的棱长总和扩大到原来的(
2
)倍,表面积扩大到原来的(4
)倍。答案
(2)2 4
解析 棱长从2 cm增加到4 cm，扩大到原来的2倍。
原来：棱长和=棱长$×12$，表面积=棱长×棱长$×6$
$×2$ $×2$ $×4$ $×2$ $×2$
现在：棱长和=棱长$×12$，表面积=棱长×棱长$×6$
解析 棱长从2 cm增加到4 cm，扩大到原来的2倍。
原来：棱长和=棱长$×12$，表面积=棱长×棱长$×6$
$×2$ $×2$ $×4$ $×2$ $×2$
现在：棱长和=棱长$×12$，表面积=棱长×棱长$×6$
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从两个角度思考：一是先分别计算出原来和棱长增加后的棱长总和、表面积，再通过除法求出扩大的倍数；二是利用正方体棱长总和、表面积的公式特点，结合积的变化规律快速判断。首先明确正方体棱长总和公式为“棱长×12”，表面积公式为“棱长×棱长×6”，当棱长从2cm变为4cm，先确定棱长扩大的倍数，再根据公式中棱长与结果的关系推导变化倍数。
【解析】
1. 计算棱长扩大的倍数：
$4÷2=2$（倍）
2. 计算棱长总和的变化：
原来的棱长总和：$2×12=24$（cm）
现在的棱长总和：$4×12=48$（cm）
棱长总和扩大的倍数：$48÷24=2$（倍）
也可根据公式规律：棱长总和=棱长×12，12是固定值，棱长扩大2倍，棱长总和也扩大2倍。
3. 计算表面积的变化：
原来的表面积：$2×2×6=24$（$cm^2$）
现在的表面积：$4×4×6=96$（$cm^2$）
表面积扩大的倍数：$96÷24=4$（倍）
也可根据公式规律：表面积=棱长²×6，棱长扩大2倍，棱长的平方扩大$2×2=4$倍，所以表面积扩大4倍。
【答案】
2；4
【知识点】
正方体棱长总和计算；正方体表面积计算；积的变化规律
【点评】
本题重点考查正方体棱长总和、表面积公式的应用，以及积的变化规律的灵活运用。既可以通过具体计算得出结果，也能利用公式与棱长的关系快速推导，要求学生熟练掌握正方体的相关公式，并能理解因数变化对积的影响。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以从两个角度思考：一是先分别计算出原来和棱长增加后的棱长总和、表面积，再通过除法求出扩大的倍数；二是利用正方体棱长总和、表面积的公式特点，结合积的变化规律快速判断。首先明确正方体棱长总和公式为“棱长×12”，表面积公式为“棱长×棱长×6”，当棱长从2cm变为4cm，先确定棱长扩大的倍数，再根据公式中棱长与结果的关系推导变化倍数。
【解析】
1. 计算棱长扩大的倍数：
$4÷2=2$（倍）
2. 计算棱长总和的变化：
原来的棱长总和：$2×12=24$（cm）
现在的棱长总和：$4×12=48$（cm）
棱长总和扩大的倍数：$48÷24=2$（倍）
也可根据公式规律：棱长总和=棱长×12，12是固定值，棱长扩大2倍，棱长总和也扩大2倍。
3. 计算表面积的变化：
原来的表面积：$2×2×6=24$（$cm^2$）
现在的表面积：$4×4×6=96$（$cm^2$）
表面积扩大的倍数：$96÷24=4$（倍）
也可根据公式规律：表面积=棱长²×6，棱长扩大2倍，棱长的平方扩大$2×2=4$倍，所以表面积扩大4倍。
【答案】
2；4
【知识点】
正方体棱长总和计算；正方体表面积计算；积的变化规律
【点评】
本题重点考查正方体棱长总和、表面积公式的应用，以及积的变化规律的灵活运用。既可以通过具体计算得出结果，也能利用公式与棱长的关系快速推导，要求学生熟练掌握正方体的相关公式，并能理解因数变化对积的影响。
【难度系数】
0.7
(3)一个长方体盒子(如图),要围着它贴一圈彩纸(上、下面不贴),至少需要多少彩纸? 玲玲列出算式“$(10+8)×2×14$”,结合下图选出算式表达的意思。(填序号,图中单位:cm)
①高
②侧面积
③底面周长
“$(10+8)×2$”相当于长方体的(
“14”相当于长方体的(
“$(10+8)×2×14$”表示长方体的(
①高
②侧面积
③底面周长
“$(10+8)×2$”相当于长方体的(
③
);“14”相当于长方体的(
①
);“$(10+8)×2×14$”表示长方体的(
②
)。答案
(3)③ ① ②
解析 长方体的侧面积即至少需要彩纸的面积。根据题图分析如下。
大长方形面积= 长 × 宽
长方体侧面积=底面周长×高
解析 长方体的侧面积即至少需要彩纸的面积。根据题图分析如下。
大长方形面积= 长 × 宽
长方体侧面积=底面周长×高
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题目是求长方体上、下面不贴时所需彩纸的面积，也就是长方体的侧面积。我们可以结合长方体侧面展开图来分析：
1. 长方体侧面展开后是一个大长方形，这个大长方形的长对应长方体的底面周长，宽对应长方体的高，侧面积就是这个大长方形的面积，即“底面周长×高”。
2. 拆解算式：$(10+8)×2$是用长方形周长公式（长+宽）×2计算，对应长方体的底面周长；14是长方体竖直方向的长度，对应长方体的高；两者相乘的结果就是长方体的侧面积。
【解析】
结合长方体侧面积的计算逻辑和展开图分析：
长方体底面是长10cm、宽8cm的长方形，根据长方形周长公式，$(10+8)×2$计算的是底面周长，对应③；
14是长方体竖直方向的高度，即长方体的高，对应①；
长方体侧面积的计算公式为“底面周长×高”，因此$(10+8)×2×14$表示的是长方体的侧面积，对应②。
本质上，长方体侧面展开后的大长方形面积=长×宽，对应长方体侧面积=底面周长×高。
【答案】
③ ① ②
【知识点】
1. 长方体侧面积计算
2. 长方形周长计算
【点评】
本题通过长方体侧面展开图，将立体图形的侧面积转化为平面长方形的面积来考查，重点是理解“侧面积=底面周长×高”的核心公式，帮助建立立体图形与平面图形的转化思维，加深对长方体侧面积概念的理解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确题目是求长方体上、下面不贴时所需彩纸的面积，也就是长方体的侧面积。我们可以结合长方体侧面展开图来分析：
1. 长方体侧面展开后是一个大长方形，这个大长方形的长对应长方体的底面周长，宽对应长方体的高，侧面积就是这个大长方形的面积，即“底面周长×高”。
2. 拆解算式：$(10+8)×2$是用长方形周长公式（长+宽）×2计算，对应长方体的底面周长；14是长方体竖直方向的长度，对应长方体的高；两者相乘的结果就是长方体的侧面积。
【解析】
结合长方体侧面积的计算逻辑和展开图分析：
长方体底面是长10cm、宽8cm的长方形，根据长方形周长公式，$(10+8)×2$计算的是底面周长，对应③；
14是长方体竖直方向的高度，即长方体的高，对应①；
长方体侧面积的计算公式为“底面周长×高”，因此$(10+8)×2×14$表示的是长方体的侧面积，对应②。
本质上，长方体侧面展开后的大长方形面积=长×宽，对应长方体侧面积=底面周长×高。
【答案】
③ ① ②
【知识点】
1. 长方体侧面积计算
2. 长方形周长计算
【点评】
本题通过长方体侧面展开图，将立体图形的侧面积转化为平面长方形的面积来考查，重点是理解“侧面积=底面周长×高”的核心公式，帮助建立立体图形与平面图形的转化思维，加深对长方体侧面积概念的理解。
【难度系数】
0.7
3工人师傅们要粉刷五(1)班平顶教室的顶面和四面墙壁,已知教室长8 m,宽6.5 m,高3 m。
要粉刷的面积有多少平方米? 一共需要多少千克涂料?
要粉刷的面积有多少平方米? 一共需要多少千克涂料?
答案
3. $8×6.5+(8×3+6.5×3)×2 - 17 = 122(m^{2})$
$122×0.5 = 61(kg)$
答：要粉刷的面积有$122m^{2}$。一共需要61 kg涂料。
解析 教室的前、后、左、右和上面5个面的面积之和，再扣除门窗和黑板的面积就是要粉刷的面积。用每平方米需要用的涂料质量乘粉刷的面积，求得的结果就是一共需要的涂料质量。
$122×0.5 = 61(kg)$
答：要粉刷的面积有$122m^{2}$。一共需要61 kg涂料。
解析 教室的前、后、左、右和上面5个面的面积之和，再扣除门窗和黑板的面积就是要粉刷的面积。用每平方米需要用的涂料质量乘粉刷的面积，求得的结果就是一共需要的涂料质量。
解析
【分析】
首先明确粉刷区域是教室的顶面和四面墙壁，也就是长方体的5个面（不含底面）。第一步先计算这5个面的总面积，即顶面面积（长×宽）加上前后两面面积（长×高×2）与左右两面面积（宽×高×2）的和；再减去门窗和黑板的面积17平方米，得到实际要粉刷的面积。第二步用粉刷面积乘每平方米所需涂料质量0.5kg，即可算出总共需要的涂料质量。
【解析】
1. 计算教室顶面和四面墙壁的总面积，再扣除门窗黑板面积得到粉刷面积：
$8×6.5+(8×3+6.5×3)×2 - 17$
$=52+(24+19.5)×2 - 17$
$=52+43.5×2 - 17$
$=52+87 - 17$
$=122(m^{2})$
2. 计算所需涂料的总质量：
$122×0.5 = 61(kg)$
答：要粉刷的面积有$122m^{2}$。一共需要61 kg涂料。
【答案】
要粉刷的面积有$122m^{2}$，一共需要61kg涂料。
【知识点】
长方体表面积计算、小数乘法应用
【点评】
本题是长方体表面积的实际应用，解题核心是结合实际场景确定计算的面，扣除无需粉刷的部分，考查学生将数学知识转化为实际应用的能力。
【难度系数】
0.7
首先明确粉刷区域是教室的顶面和四面墙壁，也就是长方体的5个面（不含底面）。第一步先计算这5个面的总面积，即顶面面积（长×宽）加上前后两面面积（长×高×2）与左右两面面积（宽×高×2）的和；再减去门窗和黑板的面积17平方米，得到实际要粉刷的面积。第二步用粉刷面积乘每平方米所需涂料质量0.5kg，即可算出总共需要的涂料质量。
【解析】
1. 计算教室顶面和四面墙壁的总面积，再扣除门窗黑板面积得到粉刷面积：
$8×6.5+(8×3+6.5×3)×2 - 17$
$=52+(24+19.5)×2 - 17$
$=52+43.5×2 - 17$
$=52+87 - 17$
$=122(m^{2})$
2. 计算所需涂料的总质量：
$122×0.5 = 61(kg)$
答：要粉刷的面积有$122m^{2}$。一共需要61 kg涂料。
【答案】
要粉刷的面积有$122m^{2}$，一共需要61kg涂料。
【知识点】
长方体表面积计算、小数乘法应用
【点评】
本题是长方体表面积的实际应用，解题核心是结合实际场景确定计算的面，扣除无需粉刷的部分，考查学生将数学知识转化为实际应用的能力。
【难度系数】
0.7
