6. 把下列算式补充完整：
$\boxed{-16a^{5}b^{3}c} \xrightarrow{÷8a^{2}b} \boxed{\quad} \xrightarrow{·(-3ab^{2}c^{2})} \boxed{\quad}$

6. $-2a^{3}b^{2}c$ $6a^{4}b^{4}c^{3}$

【分析】
这道题是连续的单项式乘除运算，我们可以分两步依次计算：第一步先根据单项式除以单项式的法则，把原式的被除式$-16a^{5}b^{3}c$除以$8a^{2}b$，运算时先计算系数的商，再对同底数幂分别做指数相减的运算，单独保留未参与除运算的字母$c$，得到第一个方框的结果；第二步再将第一步得到的结果，根据单项式乘单项式的法则，乘以$-3ab^{2}c^{2}$，先计算系数的积，再对同底数幂分别做指数相加的运算，就能得到最终第二个方框的结果。
【解析】
第一步：计算$-16a^{5}b^{3}c ÷ 8a^{2}b$
根据单项式除以单项式法则：
系数部分：$-16 ÷ 8 = -2$
同底数幂$a$的部分：$a^{5} ÷ a^{2} = a^{5-2}=a^{3}$
同底数幂$b$的部分：$b^{3} ÷ b = b^{3-1}=b^{2}$
字母$c$仅在被除式中存在，直接保留，因此第一步结果为$-2a^{3}b^{2}c$。
第二步：计算$-2a^{3}b^{2}c · (-3ab^{2}c^{2})$
根据单项式乘单项式法则：
系数部分：$(-2) × (-3) = 6$
同底数幂$a$的部分：$a^{3} · a = a^{3+1}=a^{4}$
同底数幂$b$的部分：$b^{2} · b^{2} = b^{2+2}=b^{4}$
同底数幂$c$的部分：$c · c^{2} = c^{1+2}=c^{3}$
因此第二步最终结果为$6a^{4}b^{4}c^{3}$。
【答案】
$-2a^{3}b^{2}c$；$6a^{4}b^{4}c^{3}$
【知识点】
单项式除法，单项式乘法，同底数幂运算
【点评】
本题属于整式乘除的基础运算题，核心考察单项式乘除的运算法则，运算过程中要注意符号的正负判断，牢记同底数幂相除指数相减、相乘指数相加的规则，不要遗漏单独出现的字母，避免出现指数运算错误。
【难度系数】
0.8

7. 计算：
(1) $(-\frac{12a^{2}b^{3}}{5})÷(6ab^{2})$；
(2) $(2x - 3y)^{6}·(2x - 3y)^{3}÷(2x - 3y)^{7}$。

7. 解：（1）原式$=(-\frac{12}{5} ÷ 6)a^{2 - 1}b^{3 - 2}=-\frac{2}{5}ab$。
（2）原式$=(2x - 3y)^{6 + 3} ÷ (2x - 3y)^{7}=(2x - 3y)^{6 + 3 - 7}=(2x - 3y)^{2}=4x^{2} - 12xy + 9y^{2}$。

【分析】
这道题是整式乘除的基础计算题，分两小问梳理思路：
1. 第一问是单项式除以单项式，我们可以把运算拆成三部分分别计算：先计算系数部分的除法，再对同底数的字母a、b分别按照同底数幂除法规则（底数不变，指数相减）运算，最后把三部分的结果相乘即可得到最终商式。
2. 第二问中所有幂的底数都是(2x-3y)，我们可以把这个多项式整体当作底数，直接套用同底数幂的乘除法则：同底数幂相乘底数不变指数相加，同底数幂相除底数不变指数相减，先合并指数得到最简幂次，最后用完全平方公式展开即可，不需要先展开高次的(2x-3y)^6这类复杂项，大幅简化计算。
【解析】
(1) 计算$(-\frac{12a^{2}b^{3}}{5})÷(6ab^{2})$：
将系数、同底数幂分别拆分运算：
原式$= (-\frac{12}{5} ÷ 6) · a^{2-1} · b^{3-2}$
计算系数部分：$-\frac{12}{5} ÷ 6 = -\frac{2}{5}$
同底数幂化简后：$a^{2-1}=a$，$b^{3-2}=b$
合并得到结果：$=-\frac{2}{5}ab$
(2) 计算$(2x - 3y)^{6}·(2x - 3y)^{3}÷(2x - 3y)^{7}$：
把$(2x-3y)$看作整体，先根据同底数幂乘法法则计算乘法部分：
原式$=(2x-3y)^{6+3} ÷ (2x-3y)^7$
再根据同底数幂除法法则计算除法：
$=(2x-3y)^{9-7}=(2x-3y)^2$
最后用完全平方公式展开：
$=(2x)^2 - 2· 2x · 3y + (3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2$
【答案】
(1) $-\frac{2}{5}ab$；(2) $4x^2 - 12xy + 9y^2$
【知识点】
单项式除以单项式，同底数幂乘除，完全平方公式
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考察整体代换的运算思想，第二问将多项式作为整体处理可以避免高次展开的繁琐步骤，降低出错概率，解题时要注意同底数幂运算的指数加减规则，完全平方展开时不要遗漏交叉项的2倍系数，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8

8. 若$n$为正整数，且$x^{2n} = 5$，则$(2x^{3n})^{2}÷(4x^{4n})$的值是()。

A.$\frac{5}{2}$
B.$5$
C.$10$
D.$\frac{1}{5}$

8. B

$(2x^{3n})^{2}÷(4x^{4n})$
$=4x^{6n}÷(4x^{4n})$
$=x^{2n}$
因为$x^{2n}=5$，所以原式$=5$。
B

9. 若$y = 3x$，则$[a^{2}(3x^{2} - 5xy)]÷(-ax)^{2}$的值是()。

A.$12$
B.$-12$
C.$42$
D.$-42$

9. B

$\begin{aligned}&[a^{2}(3x^{2} - 5xy)]÷(-ax)^{2}\\=&[a^{2}(3x^{2} - 5x· 3x)]÷(a^{2}x^{2})\\=&[a^{2}(3x^{2} - 15x^{2})]÷(a^{2}x^{2})\\=&[a^{2}(-12x^{2})]÷(a^{2}x^{2})\\=&-12a^{2}x^{2}÷a^{2}x^{2}\\=&-12\end{aligned}$
B

10. 计算：
(1) $(x - 2y)^{5}÷(2y - x)^{3}$；
(2) $[(-3x^{2}y^{4})^{2}·x^{3} - 2x·(3x^{2}y^{2})^{3}·\frac{1}{3}y^{2}]÷(7x^{7}y^{8})$。

10. 解：（1）原式$=(x - 2y)^{5} ÷ [-(x - 2y)^{3}]=-(x - 2y)^{2}=-x^{2} + 4xy - 4y^{2}$。
（2）原式$=(9x^{4}y^{8} · x^{3} - 2x · 27x^{6}y^{6} · \frac{1}{3}y^{2}) ÷ (7x^{7}y^{8})=(9x^{7}y^{8} - 18x^{7}y^{8}) ÷ (7x^{7}y^{8})=(-9x^{7}y^{8}) ÷ (7x^{7}y^{8})$
$=-\frac{9}{7}$。

【分析】
对于第(1)小题，首先观察到两个幂的底数$(x-2y)$和$(2y-x)$互为相反数，利用奇数次幂的性质：互为相反数的两个数的奇数次幂仍然互为相反数，先把$(2y-x)^3$变形为$-(x-2y)^3$，将原式转化为同底数幂的除法运算，再套用同底数幂除法法则“底数不变，指数相减”计算，最后展开完全平方得到最简结果。
对于第(2)小题，按照整式混合运算的优先级：先算乘方，再算括号内的乘法，接着合并括号内的同类项，最后计算括号外的单项式除法，逐步化简即可得到结果。
【解析】
(1) 先对除数的底数变形：
因为$2y-x = -(x-2y)$，所以$(2y-x)^3 = [-(x-2y)]^3 = -(x-2y)^3$
代入原式得：
原式$=(x-2y)^5 ÷ [-(x-2y)^3]$
$= - (x-2y)^{5-3}$
$= - (x-2y)^2$
利用完全平方公式展开：
$= - (x^2 -4xy +4y^2)$
$= -x^2 +4xy -4y^2$
(2) 先计算中括号内的乘方运算：
$(-3x^2y^4)^2 = 9x^4y^8$，$(3x^2y^2)^3 = 27x^6y^6$
代入中括号内计算乘法：
$(-3x^2y^4)^2·x^3 = 9x^4y^8 ·x^3 =9x^7y^8$
$2x·(3x^2y^2)^3·\frac{1}{3}y^2 = 2x·27x^6y^6 ·\frac{1}{3}y^2 = 18x^7y^8$
合并中括号内的同类项：
中括号内结果为$9x^7y^8 -18x^7y^8 = -9x^7y^8$
最后计算除法：
原式$= (-9x^7y^8) ÷ (7x^7y^8) = -\frac{9}{7}$
【答案】
(1) $-x^2 + 4xy - 4y^2$；(2) $-\frac{9}{7}$
【知识点】
同底数幂除法，积的乘方，整式混合运算
【点评】
本题是整式幂运算的基础计算题，易错点集中在两处：一是第(1)小题底数变形时容易遗漏负号，导致最终结果符号错误；二是第(2)小题乘方运算、系数乘法计算时容易出现指数、系数计算失误，需要严格按照运算顺序逐步计算，最后约分化简时注意公因式$x^7y^8$可以全部约去，最终得到常数结果。
【难度系数】
0.6

11. 数学课上老师出了一道题：
计算$[8(a + b)^{5} - 4(a + b)^{4}(a + b)+(-a - b)^{3}(a + b)^{2}]÷[2(a + b)^{3}]$。
爱好数学的小明马上举手，下面是小明同学的解题过程。
$[8(a + b)^{5} - 4(a + b)^{4}(a + b)+(-a - b)^{3}(a + b)^{2}]÷[2(a + b)^{3}]$
$=[8(a + b)^{5} - 4(a + b)^{5}+(a + b)^{5}]÷[8(a + b)^{3}]$ ……第一步
$=[5(a + b)^{5}]÷[8(a + b)^{3}]$ ……第二步
$=\frac{5}{8}(a + b)^{2}$。 ……第三步
小亮也举起了手，说小明的解题过程不对，并指了出来。老师肯定了小亮的回答。你知道小明错在第几步吗？ 指出来，并写出完整的计算过程。

11. 解：第一步错误。正确解法：
原式$=[8(a + b)^{5} - 4(a + b)^{5} - (a + b)^{5}] ÷ [2(a + b)^{3}]=[3(a + b)^{5}] ÷ [2(a + b)^{3}]=\frac{3}{2}(a + b)^{2}=\frac{3}{2}a^{2} + 3ab + \frac{3}{2}b^{2}$。

【分析】
我们可以把(a+b)看作一个整体，按照整式混合运算的顺序逐步核对小明的步骤：首先第一步先处理中括号内的同底数幂运算，前两项化简为8(a+b)^5、-4(a+b)^5是正确的，接下来第三部分(-a-b)^3可变形为[-(a+b)]^3，奇次幂会保留负号，因此乘(a+b)^2后得到的是-(a+b)^5，小明这里错把符号写成正的了；同时小明错误把除数2(a+b)^3的系数2当成三次方的底数，错写成8(a+b)^3，两处错误都出现在第一步。后续我们只需要先合并中括号内的同类项，再按照多项式除以单项式的法则，把系数、同底数幂分别相除，就能得到正确结果。
【解析】
小明的解题过程错在第一步，存在两处错误：①对$(-a-b)^3$的符号处理错误，$(-a-b)^3 = [-(a+b)]^3 = -(a+b)^3$，并非$+(a+b)^3$；②错误将除数$2(a+b)^3$的系数2计算为$2^3=8$，除数实际为$2(a+b)^3$。
完整正确计算过程如下：
$\begin{aligned}原式&=[8(a + b)^{5} - 4(a + b)^{4}(a + b)+(-a - b)^{3}(a + b)^{2}]÷[2(a + b)^{3}]\\&=[8(a + b)^{5} - 4(a + b)^{5} - (a + b)^{5}] ÷ [2(a + b)^{3}]\\&=[3(a + b)^{5}] ÷ [2(a + b)^{3}]\\&=\frac{3}{2}(a + b)^{2}\\&=\frac{3}{2}a^{2} + 3ab + \frac{3}{2}b^{2}\end{aligned}$
【答案】
小明错在第一步，正确结果为$\frac{3}{2}(a + b)^{2}$（或展开为$\frac{3}{2}a^{2} + 3ab + \frac{3}{2}b^{2}$）
【知识点】
同底数幂运算，多项式除以单项式，整体代换
【点评】
本题属于整式运算的找错类题型，核心是通过把(a+b)作为整体简化复杂运算，易错点集中在负数的奇次幂符号处理、除数的系数不要误算为乘方结果，提醒同学们做整体代换类的整式运算时，要逐一核对每一项的符号和系数，避免不必要的计算失误。
【难度系数】
0.6