1 若关于 $x$ 的方程 $\dfrac{x+m}{x-3}+\dfrac{2m}{3-x}=2$ 的解为正数,则 $m$ 的取值范围是（）

A.$m＜6$
B.$m＜6$ 且 $m ≠ 3$
C.$m＞3$
D.$m＞6$

1.B

【分析】
要解决这道题，需先将分式方程转化为整式方程求解，再结合“解为正数”和“分式方程分母不为0”两个条件确定m的取值范围。具体思路：1. 利用分式的符号性质统一分母，去分母得到整式方程；2. 解整式方程得到x关于m的表达式；3. 根据解为正数列不等式，同时考虑原分式方程分母不能为0（即x≠3），联立两个条件求出m的范围，再对应选项选出答案。
【解析】
原方程为$\dfrac{x+m}{x-3}+\dfrac{2m}{3-x}=2$，注意到$3-x=-(x-3)$，将方程变形为：
$\dfrac{x+m}{x-3}-\dfrac{2m}{x-3}=2$
两边同乘最简公分母$x-3$（$x≠3$），去分母得：
$x+m - 2m = 2(x - 3)$
化简得：
$x - m = 2x - 6$
移项合并同类项：
$-x = m - 6$
解得：$x = 6 - m$
因为方程的解为正数，所以$x＞0$，即：
$6 - m ＞ 0$，解得$m ＜ 6$
又因为原分式方程分母不能为0，所以$x≠3$，即：
$6 - m ≠ 3$，解得$m ≠ 3$
综上，$m$的取值范围是$m ＜ 6$且$m ≠ 3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的解法，根据方程解的情况求参数范围
【点评】
本题考查分式方程解的应用，解题时需注意两个关键：一是解分式方程时要去分母转化为整式方程，二是不能忽略分式方程分母不为0的隐含条件，避免因漏考虑$m≠3$而选错答案，属于易错题。
【难度系数】
0.6

2 已知关于 $x$ 的分式方程 $\dfrac{m}{x-1}+\dfrac{6}{1-x}=1$ 的解是非负数,则 $m$ 的取值范围是（）

A.$m＞5$
B.$m≥5$
C.$m≥5$ 且 $m≠6$
D.$m＞5$ 且 $m≠6$

2.C

【分析】
要解决这个问题，需先解分式方程，再结合“解是非负数”和“分式方程分母不为0”两个条件确定m的取值范围。首先将分式方程的分母统一，去分母转化为整式方程求解，再根据解的非负性和分母限制列出不等式，最终得到m的范围。
【解析】
解：原分式方程$\dfrac{m}{x-1}+\dfrac{6}{1-x}=1$，
因为$1-x=-(x-1)$，所以方程可化为：$\dfrac{m}{x-1}-\dfrac{6}{x-1}=1$，
方程两边同乘最简公分母$(x-1)$（$x≠1$），得整式方程：
$m - 6 = x - 1$，
解得：$x = m - 5$。
根据题意，方程的解是非负数，因此：
$x≥0$，即$m - 5≥0$，解得$m≥5$；
又因为分式方程分母不能为0，所以$x≠1$，即$m - 5≠1$，解得$m≠6$。
综上，$m$的取值范围是$m≥5$且$m≠6$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的解，不等式的应用
【点评】
本题考查分式方程解的相关问题，解题关键是既要根据解的非负性列不等式，又要注意分式方程分母不能为0的隐含条件，避免因忽略该条件导致错解，属于易错题。
【难度系数】
0.5

3 若整数$a$使关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x-7≥ x-8,\\ \dfrac{a-6x}{4}＞-2\end{cases}$有且只有3个整数解，且使关于$y$的分式方程$\dfrac{a}{y-3}+\dfrac{3}{3-y}=-1$的解满足$y＜5$，则所有满足条件的整数$a$的值的积为（ ）

A.6
B.7
C.8
D.10

3.C

【分析】
要解决本题，需分两步推导：先解不等式组，根据其整数解的个数确定a的初步范围；再解分式方程，结合解的限制条件（y＜5且分母不为0）进一步缩小a的取值，最终找出符合条件的整数a并计算乘积。
【解析】
1. 解不等式组：
解不等式$2x -7 ≥ x -8$，移项得$x ≥ -1$；
解不等式$\frac{a -6x}{4} ＞ -2$，两边乘4得$a -6x ＞ -8$，移项得$-6x ＞ -8 -a$，两边除以-6（不等号变向）得$x ＜ \frac{a +8}{6}$；
因此不等式组的解集为$-1 ≤ x ＜ \frac{a +8}{6}$。
已知不等式组有且只有3个整数解，整数解为$-1,0,1$，故$1 ＜ \frac{a +8}{6} ≤ 2$，解得$6 ＜ a +8 ≤12$，即$-2 ＜ a ≤4$。
2. 解分式方程：
原分式方程$\frac{a}{y-3} + \frac{3}{3-y} = -1$，变形为$\frac{a}{y-3} - \frac{3}{y-3} = -1$，合并得$\frac{a -3}{y-3} = -1$；
两边乘$y-3$得$a -3 = -(y -3)$，解得$y =6 -a$；
分式方程需满足分母不为0，即$y ≠3$，故$6 -a ≠3 ⇒ a ≠3$；
又解满足$y ＜5$，即$6 -a ＜5 ⇒ a＞1$。
3. 确定整数a并计算乘积：
结合上述条件，$a$需满足$1 ＜ a ≤4$且$a ≠3$，整数$a$为2、4；
它们的积为$2 ×4 =8$。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式组的整数解；分式方程的解；整数乘法
【点评】
本题是代数综合题，需同时掌握不等式组整数解的分析、分式方程解的隐含条件（分母不为0），步骤较多，需仔细推导每一步的参数范围，避免遗漏限制条件。
【难度系数】
0.5

4 设 $m,n$ 为实数,定义如下一种新运算:$m\mathrm{☆}n=\dfrac{n}{3m-9}.$若关于 $x$ 的方程 $a(x\mathrm{☆}x)=(x\mathrm{☆}12)+1$ 有增根,则 $a$ 的值是（）

A.$4$
B.$-3$
C.$4$ 或 $-3$
D.$4$ 或 $3$

4.A

【分析】
首先根据新运算的定义，将方程中的新运算转化为代数式，得到分式方程；分式方程的增根是使分母为0的未知数的值，先确定该分式方程的增根；再将分式方程转化为整式方程，把增根代入整式方程即可求出a的值，最后对应选项得出答案。
【解析】
根据新运算定义：
$x☆x=\dfrac{x}{3x -9}$，$x☆12=\dfrac{12}{3x -9}$
代入原方程得：
$a·\dfrac{x}{3x -9}=\dfrac{12}{3x -9}+1$
该分式方程的分母为$3x -9=3(x -3)$，故增根为$x=3$（使分母为0的x值）。
方程两边同乘$3(x -3)$去分母，得整式方程：
$ax=12 + 3(x -3)$
整理得：$ax=3x +3$，即$x(a -3)=3$
将增根$x=3$代入整式方程：
$3(a -3)=3$
解得：$a=4$
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根，新定义运算，解分式方程
【点评】
本题结合新定义运算考查分式方程增根的应用，需先正确转化新运算，再掌握增根的核心概念（使分式方程分母为0的根），步骤清晰，是分式方程相关的典型基础题。
【难度系数】
0.5

5 若关于 $x$ 的方程 $\dfrac{x+3}{x-1}=\dfrac{1-m}{1-x}$ 有增根, 则 $m=$.

5.5

6 已知关于 $x$ 的方程 $\dfrac{a+1}{x^2-1}-\dfrac{2}{x+1}=\dfrac{3}{x-1}$ 无解,求 $a$ 的值.

去分母,得 $a+1-2(x-1)=3(x+1)$. 整理,得 $5x=a$. $\because$ 分式方程无解, $\therefore$ 其增根为 $x=1$ 或 $x=-1$. 当 $x=1$ 时, $a=5$;当$x=-1$ 时,$a=-5$. 综上所述,$a$ 的值为 5 或 $-5$

【分析】
本题是分式方程无解求参数的问题，解题思路为：先将分式方程去分母转化为整式方程，分式方程无解的原因是整式方程的解为原分式方程的增根（即使原分式分母为0的根），因此先确定原方程的增根，再将增根代入整式方程即可求出参数$a$的值。
【解析】
原方程为分式方程，分母为$x^2 -1=(x+1)(x-1)$，最简公分母为$(x+1)(x-1)$，方程两边同乘最简公分母去分母得：
$a+1 -2(x-1)=3(x+1)$
展开并整理整式方程：
左边化简：$a+1 -2x +2 = a +3 -2x$
右边化简：$3x +3$
移项合并得：$a =5x$，即$x=\frac{a}{5}$。
分式方程无解，说明存在增根，增根是使原分式分母为0的$x$值，即$x=1$或$x=-1$。
将增根代入$x=\frac{a}{5}$：
当$x=1$时，$1=\frac{a}{5}$，解得$a=5$；
当$x=-1$时，$-1=\frac{a}{5}$，解得$a=-5$。
综上，$a$的值为5或-5。
【答案】
5或-5
【知识点】
分式方程无解、增根的应用
【点评】
本题考查分式方程无解的相关知识，核心是理解分式方程无解的本质是整式方程的解为增根，需准确找出增根并代入求解，是分式方程章节的典型题型，需注意增根的定义及应用。
【难度系数】
0.4