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9 新考向 新定义题 如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”. 下列数为“幸福数”的是（
A.205
B.250
C.502
D.520
D
）A.205
B.250
C.502
D.520
答案
9. D
解析
【分析】首先明确“幸福数”的定义：一个数等于两个连续奇数的平方差。我们可通过设未知数表示两个连续奇数，利用平方差公式化简平方差，推导得出“幸福数”的特征，再逐一验证选项即可得到答案。
【解析】设两个连续奇数中较小的为$2n - 1$（$n$为整数），则较大的连续奇数为$2n + 1$。
根据“幸福数”的定义，计算它们的平方差：
$\begin{aligned}(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2&=[(2n + 1) - (2n - 1)][(2n + 1) + (2n - 1)]\\&=2×4n\\&=8n\end{aligned}$
由此可知，“幸福数”是8的倍数。
逐一分析选项：
A选项：$205÷8=25.625$，不是整数，不是幸福数；
B选项：$250÷8=31.25$，不是整数，不是幸福数；
C选项：$502÷8=62.75$，不是整数，不是幸福数；
D选项：$520÷8=65$，是整数，是幸福数。
【答案】D
【知识点】平方差公式、新定义运算、奇数的性质
【点评】本题为新定义题型，核心是通过代数推导得出“幸福数”的特征，再结合选项验证，难度适中，主要考查对新定义的理解和代数运算能力。
【难度系数】0.6
【解析】设两个连续奇数中较小的为$2n - 1$（$n$为整数），则较大的连续奇数为$2n + 1$。
根据“幸福数”的定义，计算它们的平方差：
$\begin{aligned}(2n + 1)^2 - (2n - 1)^2&=[(2n + 1) - (2n - 1)][(2n + 1) + (2n - 1)]\\&=2×4n\\&=8n\end{aligned}$
由此可知，“幸福数”是8的倍数。
逐一分析选项：
A选项：$205÷8=25.625$，不是整数，不是幸福数；
B选项：$250÷8=31.25$，不是整数，不是幸福数；
C选项：$502÷8=62.75$，不是整数，不是幸福数；
D选项：$520÷8=65$，是整数，是幸福数。
【答案】D
【知识点】平方差公式、新定义运算、奇数的性质
【点评】本题为新定义题型，核心是通过代数推导得出“幸福数”的特征，再结合选项验证，难度适中，主要考查对新定义的理解和代数运算能力。
【难度系数】0.6
10 (1) ( )$(6a+1)=1-36a^{2}$； (2) $(\dfrac{1}{4}x-3)$( )$=\dfrac{1}{16}x^{2}-9$。
答案
10. (1) $1-6a$ (2) $\dfrac{1}{4}x+3$
解析
【分析】
这两道题均考查平方差公式的逆用，解题思路是：先将等式右边的式子转化为平方差形式（即两个数的平方差），再根据平方差公式$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$，对应找到与已知因式相乘得到该平方差的另一个因式。
【解析】
(1) 先将等式右边$1 - 36a^2$变形为平方差形式：$1^2 - (6a)^2$，根据平方差公式，$1^2 - (6a)^2=(1 - 6a)(1 + 6a)$，因此括号内应填$1 - 6a$；
(2) 把等式右边$\frac{1}{16}x^2 - 9$变形为平方差形式：$(\frac{1}{4}x)^2 - 3^2$，根据平方差公式，$(\frac{1}{4}x)^2 - 3^2=(\frac{1}{4}x - 3)(\frac{1}{4}x + 3)$，因此括号内应填$\frac{1}{4}x + 3$。
【答案】
(1)$1 - 6a$；(2)$\frac{1}{4}x + 3$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题是平方差公式逆用的基础题型，核心是掌握平方差公式的结构特征：两个数的平方差等于这两个数的和与差的乘积，只要能准确识别平方项，即可快速求出未知因式。
【难度系数】
0.8
这两道题均考查平方差公式的逆用，解题思路是：先将等式右边的式子转化为平方差形式（即两个数的平方差），再根据平方差公式$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$，对应找到与已知因式相乘得到该平方差的另一个因式。
【解析】
(1) 先将等式右边$1 - 36a^2$变形为平方差形式：$1^2 - (6a)^2$，根据平方差公式，$1^2 - (6a)^2=(1 - 6a)(1 + 6a)$，因此括号内应填$1 - 6a$；
(2) 把等式右边$\frac{1}{16}x^2 - 9$变形为平方差形式：$(\frac{1}{4}x)^2 - 3^2$，根据平方差公式，$(\frac{1}{4}x)^2 - 3^2=(\frac{1}{4}x - 3)(\frac{1}{4}x + 3)$，因此括号内应填$\frac{1}{4}x + 3$。
【答案】
(1)$1 - 6a$；(2)$\frac{1}{4}x + 3$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题是平方差公式逆用的基础题型，核心是掌握平方差公式的结构特征：两个数的平方差等于这两个数的和与差的乘积，只要能准确识别平方项，即可快速求出未知因式。
【难度系数】
0.8
11 计算：$(2+1) × (2^{2}+1) × (2^{4}+1) × (2^{8}+1) × (2^{16}+1) = $
$2^{32}-1$
.答案
11. $2^{32}-1$
解析
【分析】本题是多个因式的乘积计算，直接计算繁琐，观察到各因式符合平方差公式的结构特点，可通过补充因式(2-1)=1（不改变原式结果），再连续运用平方差公式简化运算。
【解析】解：原式=(2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)
=(2² - 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)
=(2⁴ - 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)
=(2⁸ - 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)
=(2¹⁶ - 1)(2¹⁶ + 1)
=2³² - 1
【答案】2³² - 1
【知识点】平方差公式
【点评】本题考查平方差公式的灵活运用，关键在于补充因式构造平方差的连续应用，简化复杂乘积运算，体现了公式的变形应用。
【难度系数】0.5
【解析】解：原式=(2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)
=(2² - 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)
=(2⁴ - 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)
=(2⁸ - 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1)
=(2¹⁶ - 1)(2¹⁶ + 1)
=2³² - 1
【答案】2³² - 1
【知识点】平方差公式
【点评】本题考查平方差公式的灵活运用，关键在于补充因式构造平方差的连续应用，简化复杂乘积运算，体现了公式的变形应用。
【难度系数】0.5
12 [2026 通州期中]若$a-b=1$，则代数式$a^{2}-b^{2}-2b$的值为
1
。答案
12. 1
解析
【分析】本题是代数式的化简求值问题，已知$a - b = 1$，观察所求代数式中的$a^2 - b^2$，可利用平方差公式分解因式，将已知条件代入后化简，再结合已知条件进一步计算即可得到结果。
【解析】解：因为$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$，
所以$a^2 - b^2 - 2b=(a - b)(a + b) - 2b$，
将$a - b = 1$代入上式，得：
$1×(a + b) - 2b=a + b - 2b=a - b$，
又因为$a - b = 1$，
所以原式的值为1。
【答案】1
【知识点】代数式化简求值、平方差公式
【点评】本题通过平方差公式对代数式变形，结合已知条件整体代入简化计算，考查学生对公式的运用能力，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】解：因为$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$，
所以$a^2 - b^2 - 2b=(a - b)(a + b) - 2b$，
将$a - b = 1$代入上式，得：
$1×(a + b) - 2b=a + b - 2b=a - b$，
又因为$a - b = 1$，
所以原式的值为1。
【答案】1
【知识点】代数式化简求值、平方差公式
【点评】本题通过平方差公式对代数式变形，结合已知条件整体代入简化计算，考查学生对公式的运用能力，难度适中。
【难度系数】0.6
13 一题多解 已知 $x=3080$,求代数式 $(x+2)(x-2)-x(x-1)$ 的值.
答案
13. 解法一:把$x=3\ 080$代入,得原式$=(3\ 080+2)×(3\ 080-2)-3\ 080×(3\ 080-1)=3\ 082×3\ 078-3\ 080×3\ 079=3\ 076$
解法二:原式$=x^{2}-4-x^{2}+x=x-4$. 把$x=3\ 080$代入,得$x-4=3\ 080-4=3\ 076$
解法二:原式$=x^{2}-4-x^{2}+x=x-4$. 把$x=3\ 080$代入,得$x-4=3\ 080-4=3\ 076$
解析
【分析】
本题是整式化简求值题，解题思路是：先利用整式运算的相关法则对代数式进行化简，再代入已知的x值计算结果，这样比直接代入数值计算更简便，能减少运算量和出错率。具体步骤为：先利用平方差公式展开(x+2)(x-2)，再利用单项式乘多项式法则展开x(x-1)，然后去括号合并同类项得到最简式，最后代入x的值计算。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}&(x+2)(x-2)-x(x-1)\\=&x^2 - 4 - (x^2 - x) \quad \mathrm{（利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开）}\\=&x^2 - 4 - x^2 + x \quad \mathrm{（去括号）}\\=&x - 4 \quad \mathrm{（合并同类项）}\end{aligned}$
将$x=3080$代入最简式：
$x - 4 = 3080 - 4 = 3076$
【答案】
3076
【知识点】
整式化简、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，核心是先化简再代入的解题技巧，化简过程运用了平方差公式和合并同类项法则，是整式运算的基础内容，两种解法中化简法更高效，能提升计算的准确性。
【难度系数】
0.8
本题是整式化简求值题，解题思路是：先利用整式运算的相关法则对代数式进行化简，再代入已知的x值计算结果，这样比直接代入数值计算更简便，能减少运算量和出错率。具体步骤为：先利用平方差公式展开(x+2)(x-2)，再利用单项式乘多项式法则展开x(x-1)，然后去括号合并同类项得到最简式，最后代入x的值计算。
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}&(x+2)(x-2)-x(x-1)\\=&x^2 - 4 - (x^2 - x) \quad \mathrm{（利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开）}\\=&x^2 - 4 - x^2 + x \quad \mathrm{（去括号）}\\=&x - 4 \quad \mathrm{（合并同类项）}\end{aligned}$
将$x=3080$代入最简式：
$x - 4 = 3080 - 4 = 3076$
【答案】
3076
【知识点】
整式化简、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，核心是先化简再代入的解题技巧，化简过程运用了平方差公式和合并同类项法则，是整式运算的基础内容，两种解法中化简法更高效，能提升计算的准确性。
【难度系数】
0.8
14 先化简,再求值:
(1) $(2x-1)(2x+1)-(x-6)(4x+3)$,其中 $x=-\dfrac{1}{3}$;
(2) $(x+3y)(x-3y)-(-2x+5y)(-2x-5y)$,其中 $x=(3-π)^0,y=-\dfrac{1}{2}$.
(1) $(2x-1)(2x+1)-(x-6)(4x+3)$,其中 $x=-\dfrac{1}{3}$;
(2) $(x+3y)(x-3y)-(-2x+5y)(-2x-5y)$,其中 $x=(3-π)^0,y=-\dfrac{1}{2}$.
答案
14. (1) 原式$=4x^{2}-1-4x^{2}-3x+24x+18=21x+17$. 当$x=-\dfrac{1}{3}$时,原式$=21×(-\dfrac{1}{3})+17=-7+17=10$
(2) 原式$=x^{2}-9y^{2}-4x^{2}+25y^{2}=-3x^{2}+16y^{2}$. 当$x=(3-π)^0=1$,$y=-\dfrac{1}{2}$时,原式$=-3×1^{2}+16×(-\dfrac{1}{2})^{2}=-3+4=1$
(2) 原式$=x^{2}-9y^{2}-4x^{2}+25y^{2}=-3x^{2}+16y^{2}$. 当$x=(3-π)^0=1$,$y=-\dfrac{1}{2}$时,原式$=-3×1^{2}+16×(-\dfrac{1}{2})^{2}=-3+4=1$
解析
【分析】本题是整式的化简求值题，解题思路为：1. 利用平方差公式和多项式乘多项式法则分别展开每个式子；2. 去括号后合并同类项，将式子化为最简形式；3. 代入给定的字母值，计算出最终结果。计算时需注意去括号的符号变化，以及零指数幂的运算规则（任何非零数的0次幂为1）。
【解析】
(1) 先利用平方差公式和多项式乘法展开：
原式 = (2x)² - 1² - [x·4x + x·3 - 6·4x - 6·3]
= 4x² - 1 - (4x² + 3x - 24x - 18)
去括号得：4x² -1 -4x² +21x +18
合并同类项：(4x² -4x²) +21x + (-1+18) = 21x +17
当x = -1/3时，代入得：21×(-1/3) +17 = -7 +17 =10
(2) 利用平方差公式展开：
原式 = x² - (3y)² - [(-2x)² - (5y)²]
= x² -9y² - (4x² -25y²)
去括号得：x² -9y² -4x² +25y²
合并同类项：(x² -4x²) + (-9y² +25y²) = -3x² +16y²
因为$x=(3-π)^0=1（$非零数的0次幂为1），y=-1/2，代入得：
-3×1² +16×(-1/2)² = -3×1 +16×(1/4) = -3 +4 =1
【答案】
(1) 10；(2)1
【知识点】
整式化简求值、平方差公式、多项式乘多项式
【点评】
本题考查整式的化简求值，核心是运用平方差公式简化运算，以及合并同类项的能力，同时涉及零指数幂的计算。题目难度较低，只要掌握整式运算的基本法则，注意符号处理，即可正确解答。
【难度系数】
0.7
【解析】
(1) 先利用平方差公式和多项式乘法展开：
原式 = (2x)² - 1² - [x·4x + x·3 - 6·4x - 6·3]
= 4x² - 1 - (4x² + 3x - 24x - 18)
去括号得：4x² -1 -4x² +21x +18
合并同类项：(4x² -4x²) +21x + (-1+18) = 21x +17
当x = -1/3时，代入得：21×(-1/3) +17 = -7 +17 =10
(2) 利用平方差公式展开：
原式 = x² - (3y)² - [(-2x)² - (5y)²]
= x² -9y² - (4x² -25y²)
去括号得：x² -9y² -4x² +25y²
合并同类项：(x² -4x²) + (-9y² +25y²) = -3x² +16y²
因为$x=(3-π)^0=1（$非零数的0次幂为1），y=-1/2，代入得：
-3×1² +16×(-1/2)² = -3×1 +16×(1/4) = -3 +4 =1
【答案】
(1) 10；(2)1
【知识点】
整式化简求值、平方差公式、多项式乘多项式
【点评】
本题考查整式的化简求值，核心是运用平方差公式简化运算，以及合并同类项的能力，同时涉及零指数幂的计算。题目难度较低，只要掌握整式运算的基本法则，注意符号处理，即可正确解答。
【难度系数】
0.7
15 数形结合思想 如图,从边长为$a$的大正方形中截去一个边长为$b$的小正方形.
(1)请用含$a,b$的式子表示图中涂色部分的面积.
(2)将涂色部分沿虚线剪开,再拼成一个长方形,则这个长方形的长、宽及面积分别是多少?
(3)比较(1)(2)的结果,你能验证平方差公式吗?
(1)请用含$a,b$的式子表示图中涂色部分的面积.
(2)将涂色部分沿虚线剪开,再拼成一个长方形,则这个长方形的长、宽及面积分别是多少?
(3)比较(1)(2)的结果,你能验证平方差公式吗?
答案
15. (1) $a^{2}-b^{2}$
(2) 拼成的长方形的长为$a+b$,宽为$a-b$,面积为$a^{2}-b^{2}$
(3) 能 根据(1)(2),得$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
(2) 拼成的长方形的长为$a+b$,宽为$a-b$,面积为$a^{2}-b^{2}$
(3) 能 根据(1)(2),得$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$
解析
【分析】
本题利用数形结合思想解决平方差公式相关问题，解题思路如下：
(1) 涂色部分面积可通过“大正方形面积减去小正方形面积”计算，直接运用正方形面积公式即可；
(2) 沿虚线剪开涂色部分后，将右侧图形向左拼接得到长方形，需确定拼接后长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算；
(3) 对比(1)(2)中涂色部分的两种面积表达式，即可验证平方差公式。
【解析】
(1) 边长为$a$的大正方形面积为$a^2$，边长为$b$的小正方形面积为$b^2$，因此涂色部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即：
$a^2 - b^2$。
(2) 将涂色部分沿虚线剪开后，把右侧图形向左拼接，得到的长方形的长为$a + b$，宽为$a - b$，根据长方形面积公式，其面积为：
$(a + b)(a - b)$。
(3) 由(1)知涂色部分面积为$a^2 - b^2$，由(2)知涂色部分面积为$(a + b)(a - b)$，两者相等，因此可得：
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，即能验证平方差公式。
【答案】
(1) $a^2 - b^2$；
(2) 长为$a + b$，宽为$a - b$，面积为$a^2 - b^2$；
(3) 能，验证得$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。
【知识点】
平方差公式、数形结合、整式面积计算
【点评】
本题通过图形拼接的面积计算直观推导平方差公式，体现了数形结合的数学思想，考查学生对平方差公式的理解与应用，以及图形变换的分析能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
本题利用数形结合思想解决平方差公式相关问题，解题思路如下：
(1) 涂色部分面积可通过“大正方形面积减去小正方形面积”计算，直接运用正方形面积公式即可；
(2) 沿虚线剪开涂色部分后，将右侧图形向左拼接得到长方形，需确定拼接后长方形的长和宽，再用长方形面积公式计算；
(3) 对比(1)(2)中涂色部分的两种面积表达式，即可验证平方差公式。
【解析】
(1) 边长为$a$的大正方形面积为$a^2$，边长为$b$的小正方形面积为$b^2$，因此涂色部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即：
$a^2 - b^2$。
(2) 将涂色部分沿虚线剪开后，把右侧图形向左拼接，得到的长方形的长为$a + b$，宽为$a - b$，根据长方形面积公式，其面积为：
$(a + b)(a - b)$。
(3) 由(1)知涂色部分面积为$a^2 - b^2$，由(2)知涂色部分面积为$(a + b)(a - b)$，两者相等，因此可得：
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，即能验证平方差公式。
【答案】
(1) $a^2 - b^2$；
(2) 长为$a + b$，宽为$a - b$，面积为$a^2 - b^2$；
(3) 能，验证得$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$。
【知识点】
平方差公式、数形结合、整式面积计算
【点评】
本题通过图形拼接的面积计算直观推导平方差公式，体现了数形结合的数学思想，考查学生对平方差公式的理解与应用，以及图形变换的分析能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
