1. 到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）

A.圆的外部
B.圆的内部
C.圆
D.圆的内部和圆

1. D 解析:根据点和圆的位置关系,知圆的内部是到圆心的距离小于半径的所有点的集合,圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合,
∴与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部和圆.故选D.

【分析】
首先回忆点与圆的三种位置关系对应的点的集合：圆的内部是到圆心距离小于半径的点的集合，圆上是到圆心距离等于半径的点的集合，圆的外部是到圆心距离大于半径的点的集合；题目中“不大于半径”即“小于等于半径”，对应圆的内部和圆上，据此可判断选项。
【解析】
根据点与圆的位置关系定义：
1. 圆的内部是到圆心的距离小于半径的所有点的集合；
2. 圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合；
3. 圆的外部是到圆心的距离大于半径的所有点的集合。
题目要求“到圆心的距离不大于半径”，即距离≤半径，对应上述圆的内部和圆的集合，因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题考查点与圆的位置关系的基础概念，核心是准确理解“不大于”的数学含义，属于基础题型，需牢记相关定义。
【难度系数】
0.8

2. 在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,$\odot O$的半径为5,若点 P 的坐标为$(4,1)$,则点 P 与$\odot O$的位置关系是（）

A.点 P 在圆内
B.点 P 在圆上
C.点 P 在圆外
D.不能确定

2. A 解析:
∵点 P 的坐标为(4,1),
∴由勾股定理得点 P 到圆心 O 的距离 D=√17.
∵D=√17＜5,
∴点 P 在⊙O 内.故选 A.

【分析】要判断点P与⊙O的位置关系，需先计算点P到圆心O（坐标原点）的距离，再将该距离与⊙O的半径5比较：若点到圆心的距离小于半径，点在圆内；等于半径则在圆上；大于半径则在圆外。
【解析】圆心O为坐标原点，点P坐标为(4,1)，根据勾股定理，点P到O的距离$OP=\sqrt{4^2 + 1^2}=\sqrt{17}$。已知⊙O的半径$r=5$，因为$\sqrt{17}\approx4.123＜5$，即$OP＜r$，所以点P在⊙O内。
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系、勾股定理
【点评】本题为基础题型，考查点与圆位置关系的判定方法，核心是掌握点到圆心距离的计算及与半径的比较规则，属于初中几何的基础考点，难度较低。
【难度系数】0.8

3. (2026·邯郸期中) 在数轴上,点A所表示的实数为4,点B所表示的实数为b,$\odot A$的半径为2,要使点B在$\odot A$内时,实数b的取值范围是.

3. 2＜b＜6 解析:要使点 B 在⊙A 内,则 AB＜2,即|b-4|＜2,解得 2＜b＜6.

【分析】
要解决这个问题，需先明确点与圆的位置关系判定规则：若点到圆心的距离小于圆的半径，则该点在圆内。首先利用数轴上两点间距离公式表示出点B到圆心A的距离，再结合点在圆内的条件列出不等式，最后解不等式得到b的取值范围。
【解析】
根据点与圆的位置关系：点在圆内等价于点到圆心的距离小于圆的半径。
已知⊙A的圆心A对应实数4，半径为2，点B对应实数b，则点B到圆心A的距离为|b - 4|。
要使点B在⊙A内，需满足距离小于半径，即：
|b - 4| ＜ 2
解该绝对值不等式：
-2 ＜ b - 4 ＜ 2
不等式两边同时加4，得：
2 ＜ b ＜ 6
【答案】
2＜b＜6
【知识点】
数轴上两点距离、点与圆的位置关系
【点评】
本题考查点与圆的位置关系在数轴上的应用，核心是将位置关系转化为绝对值不等式求解，属于基础题型，需掌握基本的距离公式和不等式解法。
【难度系数】
0.7

4. 已知$\odot O$的半径$r=5$,点$P$和圆心$O$之间的距离为$d$,且方程$x^{2}-\sqrt{5}x+\dfrac{d}{4}=0$没有实数根,则点$P$与$\odot O$的位置关系是点$P$在$\odot O$.(填“内”“上”或“外”)

4. 外 解析:
∵$x^{2}-\sqrt{5}x+\dfrac{d}{4}=0$没有实数根,
∴$5-4×\dfrac{d}{4}＜0$,得 d＞5,
∴点 P 与⊙O 的位置关系是点 P 在⊙O 外.

【分析】要判断点P与⊙O的位置关系，需比较点P到圆心O的距离d与⊙O半径r的大小，已知r=5，因此需先求出d的取值范围。题目给出的一元二次方程无实数根，可利用一元二次方程根的判别式确定d的范围，再根据点与圆的位置关系判定规则得出结论。
【解析】对于一元二次方程$x^2 - \sqrt{5}x + \dfrac{d}{4}=0$，其中$a=1$，$b=-\sqrt{5}$，$c=\dfrac{d}{4}$。
因为方程没有实数根，所以判别式$\Delta ＜ 0$，即：
$\Delta = b^2 - 4ac = (-\sqrt{5})^2 - 4 × 1 × \dfrac{d}{4} = 5 - d ＜ 0$
解得$d ＞ 5$。
已知⊙O的半径$r=5$，根据点与圆的位置关系判定：当$d ＞ r$时，点在圆外，因此点P在⊙O外。
【答案】外
【知识点】一元二次方程根的判别式，点与圆的位置关系
【点评】本题结合一元二次方程根的判别式与点和圆的位置关系，考查基础知识点的综合应用，解题思路清晰，步骤明确，属于常规基础题。
【难度系数】0.7

5. 如图, $△ ABC$ 和 $△ ABD$ 都是直角三角形, 且$∠ C = ∠ D = 90°$.判断 $A,B,C,D$ 四点是否在同一个圆上,为什么?

5. A,B,C,D 四点在同一个圆上.理由如下：
取线段 AB 的中点 O,连接 OC,OD.
∵ △ABC 和△ABD 都为直角三角形,且∠ACB=∠ADB=90°,
∴ DO,CO 分别为 Rt△ABD 和 Rt△ABC 斜边上的中线,
∴ OA=OB=OC=OD,
∴ A,B,C,D 四点在同一个圆上.

【分析】要判断A、B、C、D四点是否共圆，需依据“到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”的判定方法。观察图形可知，两个直角三角形的斜边均为AB，因此取AB的中点作为定点，利用直角三角形斜边中线的性质，证明四个点到该中点的距离相等，即可得出结论。
【解析】取线段AB的中点O，连接OC、OD。
∵ △ABC和△ABD都是直角三角形，且∠C=∠D=90°，
∴ OC是Rt△ABC斜边上的中线，OD是Rt△ABD斜边上的中线。
根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得：
OC = ½AB，OD = ½AB，OA = OB = ½AB，
∴ OA = OB = OC = OD，
即A、B、C、D四点到点O的距离相等，
∴ A、B、C、D四点在同一个圆上。
【答案】A、B、C、D四点在同一个圆上，理由如下：取线段AB的中点O，连接OC，OD。
∵ △ABC和△ABD都为直角三角形，且∠ACB=∠ADB=90°，
∴ DO，CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线，
∴ OA=OB=OC=OD，
∴ A，B，C，D四点在同一个圆上。
【知识点】直角三角形斜边中线性质、四点共圆的判定
【点评】本题考查四点共圆的判定，核心是利用直角三角形斜边中线的性质找到公共圆心，属于基础几何题，需掌握“到定点距离相等的点共圆”的判定逻辑，以及直角三角形的重要性质。
【难度系数】0.6

6.(2026·大连期末)下列各组图形中,四个顶点一定在同一圆上的是（）

A.矩形、菱形
B.矩形、正方形
C.菱形、正方形
D.平行四边形、菱形

6. B 解析:中心到四个顶点距离相等的四边形的四个顶点一定在同一圆上,
∴矩形、正方形符合条件.故选 B.

【分析】要判断四边形四个顶点是否在同一圆上，需依据“若四边形对角线交点到四个顶点的距离相等，则四个顶点共圆”的判定思路，结合各特殊四边形的对角线性质逐一分析选项中的图形，进而得出正确答案。
【解析】对于四边形，若其对角线交点到四个顶点的距离相等，则四个顶点一定在同一圆上。
矩形：对角线相等且互相平分，对角线交点到四个顶点的距离相等，因此矩形四个顶点一定共圆；
正方形：是特殊的矩形，同样满足对角线相等且互相平分，对角线交点到四个顶点距离相等，故正方形四个顶点一定共圆；
菱形：对角线互相垂直但不一定相等，对角线交点到四个顶点的距离不一定相等，因此菱形四个顶点不一定共圆；
平行四边形：一般情况下对角线不相等，对角线交点到四个顶点距离不相等，故平行四边形四个顶点不一定共圆。
综上，只有矩形、正方形符合四个顶点共圆的条件，故选B。
【答案】B
【知识点】四点共圆判定、矩形性质、正方形性质
【点评】本题考查特殊四边形的性质与四点共圆的判定，属于基础题，牢记各特殊四边形的对角线特征即可轻松解答。
【难度系数】0.7

7. 在平面直角坐标系中,我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点,则到坐标原点 $O$ 的距离为 5 的格点共有
（）

A.6 个
B.8 个
C.10 个
D.12 个

7. D 解析:设格点 P(x,y)到坐标原点的距离为 5,根据题意得 $x^2+y^2=5^2$.
∵横坐标和纵坐标都是整数,即 x,y 都是整数,
∴当 x=0 时,y=±5;当 x=±3 时,y=±4;当 x=±4 时,y=±3;当 x=±5 时,y=0,
∴满足条件的格点共 12 个.故选 D.

【分析】
要解决这个问题，首先明确格点的定义（横、纵坐标均为整数的点），再利用平面内两点间的距离公式建立方程，最后通过列举整数解的方式找出所有满足条件的格点，注意考虑坐标的正负情况，避免漏解。
【解析】
设满足条件的格点为$P(x,y)$，根据两点间距离公式，点$P$到原点$O$的距离为5，可得：
$\sqrt{x^2 + y^2} = 5$，两边平方化简得$x^2 + y^2 = 25$。
因为$x$、$y$均为整数，分情况讨论：
1. 当$x=0$时，$y^2=25$，解得$y=\pm5$，对应点为$(0,5)$、$(0,-5)$；
2. 当$x=\pm3$时，$(\pm3)^2=9$，则$y^2=25-9=16$，解得$y=\pm4$，对应点为$(3,4)$、$(3,-4)$、$(-3,4)$、$(-3,-4)$；
3. 当$x=\pm4$时，$(\pm4)^2=16$，则$y^2=25-16=9$，解得$y=\pm3$，对应点为$(4,3)$、$(4,-3)$、$(-4,3)$、$(-4,-3)$；
4. 当$x=\pm5$时，$(\pm5)^2=25$，则$y^2=0$，解得$y=0$，对应点为$(5,0)$、$(-5,0)$。
综上，满足条件的格点共$2+4+4+2=12$个。
【答案】
D
【知识点】
平面内两点距离公式、格点
【点评】
本题结合格点定义考查两点间距离公式的应用，解题核心是通过方程$x^2+y^2=25$列举所有整数解，需注意坐标的正负取值，避免漏解或重复计数，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6

8. (1) $\odot O$ 的半径为 5 cm, 平面上有一点 $P$,
$PO=3\ \mathrm{cm}$, 则点 $P$ 到 $\odot O$ 上各点的最小距离
为 cm.
(2) (2025·泰州校级月考) 已知点 $A$ 与 $\odot O$
上各点的最大距离为 6 cm, 最小距离为 2 cm,
那么 $\odot O$ 的半径为 cm.

8. (1)2 解析:
∵ ⊙O 的半径为 5 cm,平面上有一点 P,PO=3 cm,
∴ 点 P 在⊙O 内,
∴ 点 P 到⊙O 上各点的最小距离为 5-3=2(cm).
(2)2或4 解析:当点 A 在圆内时,最大距离为 6 cm,最小距离为 2 cm,则直径是 8 cm,因而半径是 4 cm;当点 A 在圆外时,最大距离为 6 cm,最小距离为 2 cm,则直径是 4 cm,因而半径是 2 cm.故答案为 2 或 4.

【分析】
要解决这道题，需先判断点与圆的位置关系，再根据不同位置的距离规律计算：
1. 第(1)问：先比较点P到圆心O的距离与⊙O半径，确定点P在圆内，圆内一点到圆上的最小距离为半径减去该点到圆心的距离；
2. 第(2)问：点A位置不确定，需分“点在圆内”“点在圆外”两种情况讨论，结合“圆内最大距离+最小距离=直径”“圆外最大距离-最小距离=直径”计算直径，进而得半径。
【解析】
(1) 已知⊙O半径为5 cm，PO=3 cm，因为3 cm ＜ 5 cm，所以点P在⊙O内。
圆内一点到圆上各点的最小距离 = 半径 - 该点到圆心的距离，因此点P到⊙O上各点的最小距离为：5 - 3 = 2(cm)。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点A在⊙O内时，最大距离为6 cm，最小距离为2 cm，直径 = 6 + 2 = 8(cm)，半径 = 8÷2 = 4(cm)；
② 当点A在⊙O外时，最大距离为6 cm，最小距离为2 cm，直径 = 6 - 2 = 4(cm)，半径 = 4÷2 = 2(cm)。
综上，⊙O的半径为2 cm或4 cm。
【答案】
(1)2；(2)2或4
【知识点】
点与圆的位置关系，圆的半径计算
【点评】
本题考查点与圆位置关系的应用，核心是掌握不同位置下点到圆上点的距离规律，需注意第(2)问要分情况讨论，避免漏解，属于初中几何基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6

9. (1) 如图①,在网格中(每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点(网格线的交点称为格点).如果以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围是.

(2) 如图②,矩形ABCD中,$AB=1$,$∠ ABD=$$60°$,点O在对角线BD上,圆O经过点C.如果矩形ABCD有两个顶点在圆O内,那么圆O的半径长r的取值范围是.

9. (1) $\sqrt{17}＜r ≤ 3\sqrt{2}$ 解析:如图①所示, $AD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$, $AE=AF=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$, $AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$,
∴ $AB＞AE=AF＞AD$,
∴ 当 $\sqrt{17}＜r ≤ 3\sqrt{2}$ 时,以 A 为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内.

(2)$1＜r≤\sqrt{3}$ 解析:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ ∠BAD=90°.
∵ ∠ABD=60°,
∴ ∠ADB=30°,
∴ BD=2AB=2×1=2.由勾股定理得 $AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$,如图②,连接 AC,交 BD 于点 F,作 CE⊥BD 于点 E.
∵ $S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BC· CD=\frac{1}{2}BD· CE$,
∴ $CE=\frac{BC· CD}{BD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
点 O 从点 D 开始向点 B 移动,移到点 E 时,OC 的长度从 1 减到 $\frac{\sqrt{3}}{2}$,再移到点 F,此时 $OC=\frac{1}{2}AC=1$,在这一范围内, $\frac{\sqrt{3}}{2}≤ r＜1$,$OA＞AF=1$,$OB＞BF=1$,
∴ 当 $\frac{\sqrt{3}}{2}≤ r＜1$ 时,点 A,B 都在圆外,不满足条件;
当点 O 从点 F 移到点 B 时(不包含点 B),在这一范围内,$1＜OC＜\sqrt{3}$,此时 $OA＜AF=1$,$OB＜BF=1$,
∵ ∠DCF=∠ODC,
∴ ∠DCO＞∠CDO,
∴ OD＞OC,
∴ 当 $1＜r＜\sqrt{3}$ 时,满足有两个顶点在圆内的条件;
当 OC=1,即 r=1 时,点 O 在点 F 的位置,OA=OB=OC=OD,此时四点都在圆上,不满足条件;当 $OC=\sqrt{3}$,即 $r=\sqrt{3}$ 时,点 O 在点 B 的位置,此时 OA=AB=1＜r,OD=2＞r,点 A 和点 B 在圆内,点 D 在圆外,满足条件,故 r 的取值范围是 $1＜r≤\sqrt{3}$.

【分析】
(1) 要确定以A为圆心、r为半径的圆内恰好有3个格点，需先计算A到各格点的距离，再根据“点在圆内则点到圆心的距离小于半径”，结合距离大小关系确定r的范围。
(2) 对于矩形中的圆，先利用矩形性质和直角三角形性质求出各边、对角线长度，再分析点O在BD上移动时，矩形四个顶点到O的距离变化，结合“圆内点到圆心距离小于半径”，确定满足“两个顶点在圆内”的r范围。
【解析】
(1) 设每个小正方形边长为1，计算A到各格点的距离：
到某格点的距离：$AD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AE=AF=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，$AB=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$；
比较得：$AB＞AE=AF＞AD$。
当$\sqrt{17}＜r ≤ 3\sqrt{2}$时，以A为圆心的圆内（除A外）恰好有3个格点。
(2) 矩形ABCD中，$∠ BAD=90°$，$∠ ABD=60°$，$AB=1$，故$∠ ADB=30°$，$BD=2AB=2$，由勾股定理得$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{3}$。
连接AC交BD于F，作$CE⊥ BD$于E：
由面积法，$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}BC· CD=\frac{1}{2}BD· CE$，得$CE=\frac{BC· CD}{BD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
分析O在BD上移动时各顶点到O的距离：
当$\frac{\sqrt{3}}{2}≤r＜1$时，A、B在圆外，不满足；
当$1＜r＜\sqrt{3}$时，A、B在圆内，但不满足最终条件；
当$r=\sqrt{3}$时，O在B点，OA=AB=1＜$\sqrt{3}$，OD=2＞$\sqrt{3}$，此时A、B在圆内，D在圆外，满足条件；
当$r=1$时，四点都在圆上，不满足。
故r的取值范围是$1＜r≤\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $\sqrt{17}＜r ≤ 3\sqrt{2}$
(2) $1＜r≤\sqrt{3}$
【知识点】
点与圆的位置关系，矩形的性质
【点评】
本题结合网格和矩形考查点与圆的位置关系，需通过计算距离、分析图形中各点到圆心的距离变化确定半径范围，对几何分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5