例1 下列方程中属于三元一次方程的是 ()

A.$π+x+y=6$
B.$xy+y+z=6$
C.$x+2y+3z=9$
D.$3x^{2}+2y-4z=4$
解析 A项，$π$是常数，方程只含有2个未知数，不符合三元一次方程的概念；B项，方程中含未知数的项的最高次数为2，不符合三元一次方程的概念；C项，符合三元一次方程的概念，是三元一次方程；D项，方程中含有$3x^{2}$这一项，次数是2，不符合三元一次方程的概念.
答案 C

C

三元一次方程的定义为：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。
A项：方程仅含2个未知数，不符合定义；
B项：含次数为2的项$xy$，不符合定义；
C项：含有三个未知数$x$、$y$、$z$，且各未知数的次数均为1，符合三元一次方程的定义；
D项：含次数为2的项$3x^2$，不符合定义。

例2 解下列方程组：
(1) $\begin{cases} y=2x-7,\\ 5x+3y+2z=2,\\ 3x-4z=4.\\ \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x-y+z=0,\\ 4x+2y+z=3,\\ 25x+5y+z=60.\\ \end{cases}$
解 (1) 解方程组$\begin{cases} y=2x-7, &①\\ 5x+3y+2z=2, &②\\ 3x-4z=4. &③\\ \end{cases}$
把①代入②，得$11x+2z=23$. ④
联立方程③④，得$\begin{cases} 3x-4z=4, &③\\ 11x+2z=23. &④\\ \end{cases}$
③$+$④$×2$，得$25x=50$，解得$x=2$.
把$x=2$分别代入①③，得$y=-3$，$z=\boldsymbol{\frac{1}{2}}$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2,\\ y=-3,\\ z=\frac{1}{2}.\\ \end{cases}$
(2) 解方程组$\begin{cases} x-y+z=0, &①\\ 4x+2y+z=3, &②\\ 25x+5y+z=60. &③\\ \end{cases}$
②$-$①，得$3x+3y=3$. ④
③$-$②，得$21x+3y=57$. ⑤
⑤$-$④，得$18x=54$，解得$x=3$.
将$x=3$代入④，得$9+3y=3$，解得$y=-2$.
将$x=3$，$y=-2$代入①，得$3+2+z=0$，解得$z=-5$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3,\\ y=-2,\\ z=-5.\\ \end{cases}$

解：(1) $\begin{cases} y=2x-7, &①\\ 5x+3y+2z=2, &②\\ 3x-4z=4. &③\\ \end{cases}$
把①代入②，得$11x+2z=23$. ④
联立方程③④，得$\begin{cases} 3x-4z=4, &③\\ 11x+2z=23. &④\\ \end{cases}$
③$+$④$×2$，得$25x=50$，解得$x=2$.
把$x=2$代入①，得$y=2×2-7=-3$.
把$x=2$代入③，得$3×2-4z=4$，解得$z=\frac{1}{2}$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2,\\ y=-3,\\ z=\frac{1}{2}.\\ \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x-y+z=0, &①\\ 4x+2y+z=3, &②\\ 25x+5y+z=60. &③\\ \end{cases}$
②$-$①，得$3x+3y=3$. ④
③$-$②，得$21x+3y=57$. ⑤
⑤$-$④，得$18x=54$，解得$x=3$.
将$x=3$代入④，得$9+3y=3$，解得$y=-2$.
将$x=3$，$y=-2$代入①，得$3+2+z=0$，解得$z=-5$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3,\\ y=-2,\\ z=-5.\\ \end{cases}$