1. (2025·无锡期中)在$\frac{1}{x},π,\frac{x^{2}+1}{2},\frac{3xy}{π},\frac{3}{x + y},a + \frac{1}{m}$中，分式有()

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个

1. B 解析：其中$\frac{1}{x},\frac{3}{x + y},a+\frac{1}{m}$是分式，共 3 个，故选 B.
### 易错提醒
π是数，而不是字母，故形如$\frac{1}{π}$的式子不是分式.

2. (2025·重庆期中)要使分式$\frac{x - 1}{x - 2}$有意义，则$x$应满足()

A.$x ＜ 2$
B.$x ≠ 0$
C.$x ≠ 2$
D.$x ≠ 1$且$x ≠ 2$

2. C 解析：由题意得$x - 2≠0$，解得$x≠2$，故选 C.

3. (2025·贵州中考)若分式$\frac{x - 2}{x + 3}$的值为 0，则实数$x$的值为()

A.2
B.0
C.-2
D.-3

3. A 解析：由题意得$x - 2 = 0$且$x + 3≠0$，解得$x = 2$，故选 A.
### 归纳总结
①分式有意义的条件：分母不为 0，和分子没有直接联系；
②分式为 0 的条件：分母不为 0，且分子为 0.

4. 新趋势 开放性试题 写出一个含有字母$m$，且$m ≠ 2$的分式，这个分式可以是。

4. $\frac{1}{m - 2}$（答案不唯一） 解析：由题意可得，当$m = 2$时，该分式的分母为 0，故该分式可以为$\frac{1}{m - 2}$. 答案不唯一.

$\frac{1}{m - 2}$（答案不唯一）

5. (1)林林家距离学校$a$千米，他每天骑自行车上学需要$b$分钟(刚好准时到校)，若某一天林林从家中出发迟了$c(b ＞ c)$分钟，则他每分钟至少应骑千米才能不迟到。
(2)(2025·晋城校级月考)小康参加了社区的植树节活动，若小康上午种植树苗的效率为$m$株/时，下午种植树苗时将效率提高了 10%，则按照小康下午提高后的效率种植完$n$株树苗需要小时。(用含$m$，$n$的代数式表示)

5. (1)$\frac{a}{b - c}$ 解析：迟了$c$分钟后剩余时间为$(b - c)$分钟，
∵林林家距离学校$a$千米，
∴林林的骑车速度为$\frac{a}{b - c}$千米/分.
(2)$\frac{10n}{11m}$ 解析：下午效率提高了 10%后，小康种植树苗的效率为$\frac{11}{10}m$株/时，则种完$n$株树苗需要$n÷\frac{11}{10}m=\frac{10n}{11m}$小时.

6. 已知一组按规律排列的分式：$-\frac{b}{a},\frac{b^{3}}{a^{2}},-\frac{b^{5}}{a^{3}},···(ab ≠ 0)$，其中第 6 个式子是，第$n$个式子是( $n$为正整数)。

6. $\frac{b^{11}}{a^{6}}$ $(-1)^{n}·\frac{b^{2n - 1}}{a^{n}}$ 解析：由规律可得第$n$个式子的系数为$(-1)^{n}$，$a$的次数为$n$，$b$的次数为$2n - 1$. 所以第 6 个式子是$(-1)^{6}×\frac{b^{2×6 - 1}}{a^{6}}=\frac{b^{11}}{a^{6}}$，第$n$个式子是$(-1)^{n}\frac{b^{2n - 1}}{a^{n}}$.

$\frac{b^{11}}{a^{6}}$；$(-1)^{n}·\frac{b^{2n - 1}}{a^{n}}$

7. (1)若分式$\frac{x^{2} - 2x}{x}$的值等于 0，则$x$的值为。

1. （1）
对于分式$\frac{x^{2}-2x}{x}$，根据分式值为$0$的条件：
分式值为$0$时，分子$A = 0$且分母$B≠0$（$A$是分子，$B$是分母）。
先看分子$x^{2}-2x = 0$，提取公因式$x$得$x(x - 2)=0$，则$x = 0$或$x=2$。
再看分母$x≠0$。
综上，$x$的值为$2$。
2. （2）
先对分式$\frac{a(b - c)+b(c - b)}{a - c}$化简：
对分子$a(b - c)+b(c - b)$变形，$a(b - c)+b(c - b)=a(b - c)-b(b - c)=(b - c)(a - b)$，所以原分式$\frac{a(b - c)+b(c - b)}{a - c}=\frac{(b - c)(a - b)}{a - c}$。
因为分式有意义且值为$0$，则分子$(b - c)(a - b)=0$且分母$a - c≠0$。
当$(b - c)(a - b)=0$时，$b - c = 0$或$a - b = 0$。
若$b - c = 0$，则$b = c$；若$a - b = 0$，则$a = b$。
又因为$a - c≠0$，即$a≠ c$。
根据三角形三边关系，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
故答案依次为：（1）$2$；（2）等腰。

8. (1)若$4a + 12 + (b - 1)^{2} = 0$，则分式$\frac{a - b}{a + b}$的值为。

8. (1)2 解析：根据题意，得$4a + 12 = 0$，$b - 1 = 0$，解得$a = - 3$，$b = 1$. 当$a = - 3$，$b = 1$时，分式$\frac{a - b}{a + b}=\frac{-3 - 1}{-3 + 1}=2$.
(2)5 解析：当$x = - 4$时，分式$\frac{x - b}{2x + a}=-\frac{b + 4}{a - 8}$无意义，则$a = 8$. 当$x = 2$时，分式$\frac{x - b}{2x + a}=\frac{2 - b}{4 + a}$的值为零，则$b = 2$. 当$a = 8$，$b = 2$时，分式$\frac{a + b}{a - 3b}=\frac{8 + 2}{8 - 3×2}=5$.

9. 已知无论$x$取何实数，分式$\frac{1}{x^{2} - 2x + m}$总有意义，求$m$的取值范围。
小明对此题刚写了如下的部分过程，便有事离开。解：$\frac{1}{x^{2} - 2x + m} = \frac{1}{x^{2} - 2x + 1 + m - 1} = \frac{1}{(x - 1)^{2} + m - 1}$。
(1)请将小明对此题的解题过程补充完整；
(2)利用小明的思路，解决下列问题：无论$x$取何实数，分式$\frac{1}{3x^{2} - 6x + m}$都有意义，求$m$的取值范围。

9. (1)$\frac{1}{x^{2}-2x + m}=\frac{1}{x^{2}-2x + 1 + m - 1}=\frac{1}{(x - 1)^{2}+m - 1}$，
∵$(x - 1)^{2}≥0$，根据无论$x$取何实数，分式$\frac{1}{x^{2}-2x + m}$总有意义，
∴只要$m - 1＞0$，即可满足题意，
∴$m＞1$.
(2)由(1)可知$\frac{1}{3x^{2}-6x + m}=\frac{1}{3(x^{2}-2x + 1)+m - 3}=\frac{1}{3(x - 1)^{2}+m - 3}$，
∵$(x - 1)^{2}≥0$，根据无论$x$取何实数，分式$\frac{1}{3x^{2}-6x + m}$总有意义，
∴只要$m - 3＞0$，即可满足题意，
∴$m＞3$.