10.如图，AB//CD，P为CD上一点，若PE⊥PF，∠1=50°，则∠2=。

$\boldsymbol{40°}$

解：
∵ AB//CD，
∴ ∠1 = ∠EPC = 50°，
∵ PE⊥PF，
∴ ∠EPF = 90°，
又∵ 点C、P、D共线，∠CPD = 180°，即∠EPC + ∠EPF + ∠2 = 180°，
∴ ∠2 = 180° - 90° - 50° = 40°。

11. 把一块含有$30°$角的直角三角尺按如图方式放置于两条平行线间，若$∠ 1=45°$，则$∠ 2=$。

$\boldsymbol{15°}$

解：设图中两条平行线分别为上方直线$l_1$、下方直线$l_2$，过三角尺落在$l_1$上的顶点作直线$l_3 // l_1$。
因为$l_1 // l_2$，所以$l_3 // l_2$。
根据两直线平行，内错角相等，可得$l_3$分出的下方角等于$∠ 1 = 45°$。
该三角尺是含$30°$角的直角三角尺，夹在两平行线间的锐角为$60°$，
因此$∠ 2 = 60° - 45° = 15°$。

12. 如图$AB// CD$，点$F$，$H$分别是$AB$，$CD$上的点，点$G$在$AB$，$CD$之间，连接$HG$并延长至点$M$。$E$是$CD$下方一点，连接$EH$，$EF$，若$HM$平分$∠ DHE$，$FE$平分$∠ BFG$，$∠ E+2∠ FGH=150°$，则$∠ BFE=$。

$\boldsymbol{70°}$

解：设∠BFE=x，
∵ FE平分∠BFG，
∴ ∠BFG=2x，∠AFG=180°-2x。
设∠DHM=y，
∵ HM平分∠DHE，
∴ ∠DHE=2y。
过点G作GP//AB，
∵ AB//CD，
∴ GP//AB//CD，
∴ ∠AFG=∠FGP，∠CHG=∠HGP。
∵ G,H,M三点共线，
∴ ∠CHG=∠DHM=y，
∴ ∠FGH=∠FGP+∠HGP=∠AFG+∠CHG=180°-2x + y。
过点E作EQ//AB，
∵ AB//CD，
∴ EQ//AB//CD，
∴ ∠BFE=∠FEQ，∠DHE=∠HEQ，
∴ ∠E=∠FEH=∠FEQ - ∠HEQ=x - 2y。
将上述结果代入∠E + 2∠FGH=150°：
$\begin{aligned}(x - 2y) + 2(180° - 2x + y) &= 150°\\x - 2y + 360° - 4x + 2y &= 150°\\-3x &= -210°\\x &= 70°\end{aligned}$
∴ ∠BFE=$70°$。

13. 将一副三角板按如图所示放置，∠C＝45°，∠D＝30°。则下列结论：①∠1＝∠3；②若∠2＝30°，则AC//DE；③若∠2＝30°，则BC//AD；④若∠4＝∠C，则∠2＝30°。其中正确的有。（填序号）

解：
由题意可知，两个三角板的角度满足：$∠ BAC=90°$，$∠ DAE=90°$，$∠ B=∠ C=45°$，$∠ D=30°$，$∠ E=60°$。
1. 验证①：
因为$∠ 1+∠ 2=90°$，$∠ 3+∠ 2=90°$，根据同角的余角相等，可得$∠ 1=∠ 3$，故①正确。
2. 验证②：
若$∠ 2=30°$，则$∠ 1=90°-∠ 2=60°$，即$∠ 1=∠ E=60°$，内错角相等，两直线平行，因此$AC// DE$，故②正确。
3. 验证③：
若$∠ 2=30°$，则$∠ 3=90°-∠ 2=60°$，可得$∠ CAD=∠ 2+∠ 3=90°$，此时$∠ C+∠ CAD=45°+90°=135°≠180°$，同旁内角不互补，因此$BC$与$AD$不平行，故③错误。
4. 验证④：
若$∠ 4=∠ C=45°$，可得$AC// DE$，因此$∠ 1=∠ E=60°$，又$∠ 1+∠ 2=90°$，所以$∠ 2=90°-60°=30°$，故④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①②④}$。

14.已知:如图,$EF// CA$,$∠ 1=∠ 2$,$∠ BCD=58°$,求$∠ ADC$的度数。(请将解答过程补充完整)
解:$\because EF// CA$(已知),
$\therefore ∠ 2=∠ 3$()。
又$\because ∠ 1=∠ 2$(已知),
$\therefore ∠ 1=∠ 3$(),
$\therefore$ (内错角相等,两直线平行),
$\therefore ∠ BCD+∠ ADC=180°$()。
$\because ∠ BCD=58°$(已知),$\therefore ∠ ADC=$ 。

解: $\because EF// CA$(已知),
$\therefore ∠ 2=∠ 3$(两直线平行,同位角相等)。
又$\because ∠ 1=∠ 2$(已知),
$\therefore ∠ 1=∠ 3$(等量代换),
$\therefore AD// BC$(内错角相等,两直线平行),
$\therefore ∠ BCD+∠ ADC=180°$(两直线平行,同旁内角互补)。
$\because ∠ BCD=58°$(已知),$\therefore ∠ ADC=122°$。

15. 如图1，已知AB//CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点G在AB，CD之间，连接EG，FG。
(1) 求证：∠EGF=∠AEG+∠CFG；
(2) 如图2，若EH平分∠AEG，FH平分∠CFG，求证：∠EHF=$\frac{1}{2}$∠EGF；
(3) 在(2)的条件下，若∠AEG=40°，∠CFG=60°，点P在直线AB上，且PH⊥HE，求∠PHF的度数。

(1) 证明：
过点G作$GM// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore GM// CD$，
$\therefore ∠ AEG = ∠ EGM$，$∠ CFG = ∠ FGM$，
又$\because ∠ EGF = ∠ EGM + ∠ FGM$，
$\therefore ∠ EGF = ∠ AEG + ∠ CFG$。
---
(2) 证明：
过点H作$HN// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore HN// CD$，
$\therefore ∠ AEH = ∠ EHN$，$∠ CFH = ∠ FHN$，
$\therefore ∠ EHF = ∠ EHN + ∠ FHN = ∠ AEH + ∠ CFH$，
$\because EH$平分$∠ AEG$，$FH$平分$∠ CFG$，
$\therefore ∠ AEH = \frac{1}{2}∠ AEG$，$∠ CFH = \frac{1}{2}∠ CFG$，
$\therefore ∠ EHF = \frac{1}{2}(∠ AEG + ∠ CFG)$，
由(1)知$∠ EGF = ∠ AEG + ∠ CFG$，
$\therefore ∠ EHF = \frac{1}{2}∠ EGF$。
---
(3) 解：
$\because ∠ AEG=40°$，$EH$平分$∠ AEG$，
$\therefore ∠ AEH = \frac{1}{2}∠ AEG = 20°$，
$\because ∠ CFG=60°$，$FH$平分$∠ CFG$，
$\therefore ∠ CFH = \frac{1}{2}∠ CFG = 30°$，
由(2)得$∠ EHF = ∠ AEH + ∠ CFH = 20° + 30° = 50°$，
过点H作$HK// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore HK// CD$，
$\therefore ∠ EHK = ∠ AEH = 20°$，
$\because PH⊥ HE$，
$\therefore ∠ PHE = 90°$，
$\therefore ∠ PHK = ∠ PHE - ∠ EHK = 90° - 20° = 70°$，
$\because HK// CD$，
$\therefore ∠ KHF = ∠ CFH = 30°$，
$\therefore ∠ PHF = ∠ PHK - ∠ KHF = 70° - 30° = 40°$。
答：$∠ PHF$的度数为$40°$。