12. 给出下列说法:①三角形的三条高都在三角形的内部;②周长相等的两个三角形全等;③全等三角形的面积相等;④成轴对称的两个图形一定全等;⑤全等的两个图形一定成轴对称。其中正确的有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

逐个分析各说法：
1. ①：钝角三角形有两条高在三角形外部，直角三角形两条高是直角边，因此三条高不一定都在三角形内部，①错误。
2. ②：周长相等的两个三角形边长不一定对应相等，比如边长3、4、5和边长4、4、4的三角形周长均为12，但不全等，②错误。
3. ③：全等三角形能够完全重合，因此面积一定相等，③正确。
4. ④：成轴对称的两个图形沿对称轴折叠后可完全重合，因此一定全等，④正确。
5. ⑤：全等的两个图形位置不一定满足沿某条直线折叠后重合，比如平移得到的两个全等三角形不成轴对称，⑤错误。
综上正确的说法共2个。

13. 如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$BC=4$，$AC=3$，沿过点B的直线折叠这个三角形，折痕为BD(点D在线段AC上且不与A，C重合)。若点C落在AB边下方的点E处，则$△ ADE$的周长$P$的取值范围是 （）

第13题图 第14题图

A.$7＜P＜10$
B.$5＜P＜10$
C.$4＜P＜12$
D.$1＜P＜12$

C

1. 先判断△ABC的形状：已知AB=5，BC=4，AC=3，满足$AC^2+BC^2=3^2+4^2=25=AB^2$，因此△ABC是直角三角形，∠C=90°。
2. 利用折叠性质推导周长表达式：由折叠可知，$BE=BC=4$，$DE=DC$。因此△ADE的周长$P=AD+DE+AE=AD+DC+AE=AC+AE=3+AE$。
3. 求AE的取值范围：
当点C折叠后刚好落在AB边上时，E在AB上，此时$AE=AB-BE=5-4=1$，对应$P=3+1=4$。题目要求点E在AB边下方，因此$P＞4$。
根据三角形三边关系，在△ABE中$AE＜AB+BE=9$，因此$P=3+AE＜3+9=12$。
综上可得$4＜P＜12$。

14. 如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F，G分别为线段AD，BC，AB上的一点，将纸片沿着EG，FG折叠，使得点A落在点H处，点B落在点I处，若∠HGI=30°，则∠EGF的大小为（）

A.$115°$
B.$110°$
C.$105°$
D.$100°$

C

由折叠的性质可得：∠AGE=∠HGE，∠BGF=∠IGF。
因为点A、G、B共线，平角为180°，所以∠AGE + ∠EGF + ∠BGF = 180°。
结合图形可知∠EGF = ∠HGE + ∠IGF + ∠HGI，已知∠HGI=30°，代入得∠EGF = ∠AGE + ∠BGF + 30°，即∠AGE + ∠BGF = ∠EGF - 30°。
将该式代入平角等式：(∠EGF - 30°) + ∠EGF = 180°，计算得2∠EGF=210°，因此∠EGF=105°。

15. 如图1，我们将每个“尖角”为$36°$，且十条边都相等的五角星称为“正五角星”，图中的虚线将周角十等分，通过图2的折纸步骤制作一个五角星，折叠后沿着$∠α$剪开，若要使得剪下来的纸片展开后是正五角星，则$∠α$的大小为。
（参考定理：三角形内角和等于$180°$）

$\boldsymbol{72°}$

解：
周角为 $ 360° $，将周角十等分，可得每一份的角度为 $ 360° ÷ 10 = 36° $。
正五角星的尖角为 $ 36° $，该尖角是等腰三角形的顶角，根据三角形内角和等于 $ 180° $，该等腰三角形的底角为：
$\frac{180° - 36°}{2} = 72°$
由折叠的性质可知，要使剪下的纸片展开后是正五角星，$ ∠ α $ 等于该底角，即 $ ∠ α = 72° $。