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三、解答题.
在平面直角坐标系中,对于点$A(x,y)$,若点$B$的坐标为$(x+ay,ax+y)$,则称点$B$是点$A$的$a$级亲密点.例如,点$A(-2,6)$的$\frac{1}{2}$级亲密点为$B(-2+\frac{1}{2}×6,\frac{1}{2}×(-2)+6)$,即点$B$的坐标为$(1,5)$.
(1)已知点$C(-1,5)$的3级亲密点是点$D$,则点$D$的坐标为
(2)已知点$M(m-1,2m)$的-3级亲密点$M_1$位于坐标轴上,求点$M_1$的坐标;
(3)若点$E$在$x$轴上,点$E$不与原点重合,点$E$的$a$级亲密点为点$F$,且$EF$的长度为$OE$长度的$\sqrt{3}$倍,求$a$的值.
在平面直角坐标系中,对于点$A(x,y)$,若点$B$的坐标为$(x+ay,ax+y)$,则称点$B$是点$A$的$a$级亲密点.例如,点$A(-2,6)$的$\frac{1}{2}$级亲密点为$B(-2+\frac{1}{2}×6,\frac{1}{2}×(-2)+6)$,即点$B$的坐标为$(1,5)$.
(1)已知点$C(-1,5)$的3级亲密点是点$D$,则点$D$的坐标为
$(14,2)$
;(2)已知点$M(m-1,2m)$的-3级亲密点$M_1$位于坐标轴上,求点$M_1$的坐标;
(3)若点$E$在$x$轴上,点$E$不与原点重合,点$E$的$a$级亲密点为点$F$,且$EF$的长度为$OE$长度的$\sqrt{3}$倍,求$a$的值.
答案
(1)$(14,2)$
(2)已知点$M(m-1,2m)$,$a=-3$,$M_1$的横坐标:$x+ay=(m-1)+(-3)×2m=-5m-1$,纵坐标:$ax+y=(-3)×(m-1)+2m=-m+3$,即$M_1(-5m-1,-m+3)$.因为$M_1$在坐标轴上,分两种情况讨论:
①当$M_1$在$x$轴上时:纵坐标为0,令$-m+3=0$,解得$m=3$.代入横坐标得:$-5×3-1=-16$,此时$M_1$坐标为$(-16,0)$.
②当$M_1$在$y$轴上时:横坐标为0,令$-5m-1=0$,解得$m=-\frac{1}{5}$.代入纵坐标得:$-(-\frac{1}{5})+3=\frac{16}{5}$,此时$M_1$坐标为$(0,\frac{16}{5})$.
综上,点$M_1$的坐标为$(-16,0)$或$(0,\frac{16}{5})$.
(3)设点$E$的坐标为$(t,0)$,$t≠0$,则$OE$的长度为$|t|$.$E$的$a$级亲密点$F$的横坐标:$x+ay=t+a×0=t$,纵坐标:$ax+y=a×t+0=at$,即$F(t,at)$.因为$E(t,0)$和$F(t,at)$横坐标相同,因此$EF$长度为纵坐标差的绝对值,即$|at-0|=|at|$.根据题意$EF=\sqrt{3}·OE$,代入得:$|at|=\sqrt{3}|t|$,因为$t≠0$,两边同时除以$|t|$,得$|a|=\sqrt{3}$,因此$a=\sqrt{3}$或$a=-\sqrt{3}$.
(2)已知点$M(m-1,2m)$,$a=-3$,$M_1$的横坐标:$x+ay=(m-1)+(-3)×2m=-5m-1$,纵坐标:$ax+y=(-3)×(m-1)+2m=-m+3$,即$M_1(-5m-1,-m+3)$.因为$M_1$在坐标轴上,分两种情况讨论:
①当$M_1$在$x$轴上时:纵坐标为0,令$-m+3=0$,解得$m=3$.代入横坐标得:$-5×3-1=-16$,此时$M_1$坐标为$(-16,0)$.
②当$M_1$在$y$轴上时:横坐标为0,令$-5m-1=0$,解得$m=-\frac{1}{5}$.代入纵坐标得:$-(-\frac{1}{5})+3=\frac{16}{5}$,此时$M_1$坐标为$(0,\frac{16}{5})$.
综上,点$M_1$的坐标为$(-16,0)$或$(0,\frac{16}{5})$.
(3)设点$E$的坐标为$(t,0)$,$t≠0$,则$OE$的长度为$|t|$.$E$的$a$级亲密点$F$的横坐标:$x+ay=t+a×0=t$,纵坐标:$ax+y=a×t+0=at$,即$F(t,at)$.因为$E(t,0)$和$F(t,at)$横坐标相同,因此$EF$长度为纵坐标差的绝对值,即$|at-0|=|at|$.根据题意$EF=\sqrt{3}·OE$,代入得:$|at|=\sqrt{3}|t|$,因为$t≠0$,两边同时除以$|t|$,得$|a|=\sqrt{3}$,因此$a=\sqrt{3}$或$a=-\sqrt{3}$.
解析
【分析】
本题属于新定义类题型，解题核心是先准确理解“a级亲密点”的定义：若点A坐标为$(x,y)$，则其a级亲密点坐标为$(x+ay,ax+y)$。
(1) 直接将点C的坐标和$a=3$代入定义公式，即可算出D的坐标；
(2) 先按照定义写出点M的-3级亲密点$M_1$的坐标表达式，因为$M_1$在坐标轴上，需分两种情况讨论：在x轴上时点的纵坐标为0，在y轴上时点的横坐标为0，分别求解$m$的值后再代入得到$M_1$的坐标；
(3) 先设出x轴上点E的坐标（纵坐标为0），按照定义求出F的坐标，观察E和F的坐标可知两点横坐标相同，因此EF的长度就是两点纵坐标差的绝对值，再结合$EF=\sqrt{3}OE$的等量关系列方程，利用绝对值的性质求解$a$的值即可，注意$t≠0$可以约掉$|t|$。
【解析】
(1) 已知点$C(-1,5)$，$a=3$，根据a级亲密点的定义：
横坐标为：$x+ay=-1+3×5=14$
纵坐标为：$ax+y=3×(-1)+5=2$
所以点D的坐标为$(14,2)$。
(2) 已知点$M(m-1,2m)$，$a=-3$，先求$M_1$的坐标：
横坐标：$(m-1)+(-3)×2m=m-1-6m=-5m-1$
纵坐标：$(-3)×(m-1)+2m=-3m+3+2m=-m+3$
即$M_1(-5m-1,-m+3)$。
因为$M_1$在坐标轴上，分两种情况：
① 当$M_1$在x轴上时，纵坐标为0，即$-m+3=0$，解得$m=3$，
代入横坐标得：$-5×3-1=-16$，此时$M_1$坐标为$(-16,0)$；
② 当$M_1$在y轴上时，横坐标为0，即$-5m-1=0$，解得$m=-\frac{1}{5}$，
代入纵坐标得：$-(-\frac{1}{5})+3=\frac{16}{5}$，此时$M_1$坐标为$(0,\frac{16}{5})$。
综上，点$M_1$的坐标为$(-16,0)$或$(0,\frac{16}{5})$。
(3) 设点E的坐标为$(t,0)$（$t≠0$），则OE的长度为$|t|$。
先求E的a级亲密点F的坐标：
横坐标：$t+a×0=t$
纵坐标：$a×t+0=at$
即$F(t,at)$。
因为$E(t,0)$和$F(t,at)$横坐标相同，所以EF的长度为两点纵坐标差的绝对值，即$EF=|at-0|=|at|$。
根据题意$EF=\sqrt{3}·OE$，代入得：
$|at|=\sqrt{3}|t|$
因为$t≠0$，两边同时除以$|t|$得$|a|=\sqrt{3}$，所以$a=\sqrt{3}$或$a=-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $(14,2)$
(2) $(-16,0)$或$(0,\frac{16}{5})$
(3) $a=\sqrt{3}$或$a=-\sqrt{3}$
【知识点】
新定义问题，坐标轴上点的坐标特征，绝对值方程
【点评】
本题以新定义“a级亲密点”为背景，考查对新概念的理解和应用能力，解题时需牢牢抓住定义的运算规则，涉及坐标轴上的点时要注意分类讨论，求解带绝对值的方程时注意不要漏解，整体侧重对基础方法和分类讨论思想的考查。
【难度系数】
0.65
本题属于新定义类题型，解题核心是先准确理解“a级亲密点”的定义：若点A坐标为$(x,y)$，则其a级亲密点坐标为$(x+ay,ax+y)$。
(1) 直接将点C的坐标和$a=3$代入定义公式，即可算出D的坐标；
(2) 先按照定义写出点M的-3级亲密点$M_1$的坐标表达式，因为$M_1$在坐标轴上，需分两种情况讨论：在x轴上时点的纵坐标为0，在y轴上时点的横坐标为0，分别求解$m$的值后再代入得到$M_1$的坐标；
(3) 先设出x轴上点E的坐标（纵坐标为0），按照定义求出F的坐标，观察E和F的坐标可知两点横坐标相同，因此EF的长度就是两点纵坐标差的绝对值，再结合$EF=\sqrt{3}OE$的等量关系列方程，利用绝对值的性质求解$a$的值即可，注意$t≠0$可以约掉$|t|$。
【解析】
(1) 已知点$C(-1,5)$，$a=3$，根据a级亲密点的定义：
横坐标为：$x+ay=-1+3×5=14$
纵坐标为：$ax+y=3×(-1)+5=2$
所以点D的坐标为$(14,2)$。
(2) 已知点$M(m-1,2m)$，$a=-3$，先求$M_1$的坐标：
横坐标：$(m-1)+(-3)×2m=m-1-6m=-5m-1$
纵坐标：$(-3)×(m-1)+2m=-3m+3+2m=-m+3$
即$M_1(-5m-1,-m+3)$。
因为$M_1$在坐标轴上，分两种情况：
① 当$M_1$在x轴上时，纵坐标为0，即$-m+3=0$，解得$m=3$，
代入横坐标得：$-5×3-1=-16$，此时$M_1$坐标为$(-16,0)$；
② 当$M_1$在y轴上时，横坐标为0，即$-5m-1=0$，解得$m=-\frac{1}{5}$，
代入纵坐标得：$-(-\frac{1}{5})+3=\frac{16}{5}$，此时$M_1$坐标为$(0,\frac{16}{5})$。
综上，点$M_1$的坐标为$(-16,0)$或$(0,\frac{16}{5})$。
(3) 设点E的坐标为$(t,0)$（$t≠0$），则OE的长度为$|t|$。
先求E的a级亲密点F的坐标：
横坐标：$t+a×0=t$
纵坐标：$a×t+0=at$
即$F(t,at)$。
因为$E(t,0)$和$F(t,at)$横坐标相同，所以EF的长度为两点纵坐标差的绝对值，即$EF=|at-0|=|at|$。
根据题意$EF=\sqrt{3}·OE$，代入得：
$|at|=\sqrt{3}|t|$
因为$t≠0$，两边同时除以$|t|$得$|a|=\sqrt{3}$，所以$a=\sqrt{3}$或$a=-\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $(14,2)$
(2) $(-16,0)$或$(0,\frac{16}{5})$
(3) $a=\sqrt{3}$或$a=-\sqrt{3}$
【知识点】
新定义问题，坐标轴上点的坐标特征，绝对值方程
【点评】
本题以新定义“a级亲密点”为背景，考查对新概念的理解和应用能力，解题时需牢牢抓住定义的运算规则，涉及坐标轴上的点时要注意分类讨论，求解带绝对值的方程时注意不要漏解，整体侧重对基础方法和分类讨论思想的考查。
【难度系数】
0.65
