登录
1 抛物线 $y=-5(x-9)^2$ 的顶点是（
A.$(0,-9)$
B.$(9,0)$
C.$(0,9)$
D.$(-9,0)$
B
）A.$(0,-9)$
B.$(9,0)$
C.$(0,9)$
D.$(-9,0)$
答案
1. B
解析
【分析】这道题考查抛物线顶点式的应用，解题思路是先明确抛物线顶点式的形式及顶点坐标的确定方法：抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2 + k$，其中顶点坐标为$(h,k)$，若式子中无常数项则$k=0$。本题给出的抛物线是$y=-5(x-9)^2$，对比顶点式可直接得出$h=9$、$k=0$，进而确定顶点坐标，选出对应选项。
【解析】对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2 + k$，其顶点坐标为$(h,k)$。本题中抛物线$y=-5(x-9)^2$符合顶点式结构，其中$h=9$，$k=0$，因此顶点坐标为$(9,0)$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】抛物线顶点式、二次函数顶点坐标
【点评】本题是二次函数的基础题，核心考查顶点式的基本性质，只要牢记顶点式中顶点坐标的确定规则就能轻松解答，适合巩固二次函数的入门知识点。
【难度系数】0.8
【解析】对于抛物线的顶点式$y=a(x-h)^2 + k$，其顶点坐标为$(h,k)$。本题中抛物线$y=-5(x-9)^2$符合顶点式结构，其中$h=9$，$k=0$，因此顶点坐标为$(9,0)$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】抛物线顶点式、二次函数顶点坐标
【点评】本题是二次函数的基础题，核心考查顶点式的基本性质，只要牢记顶点式中顶点坐标的确定规则就能轻松解答，适合巩固二次函数的入门知识点。
【难度系数】0.8
2 教材变式题 对于二次函数 $y=-2(x+3)^2$ 的图象,下列说法正确的是 （
A.开口向上
B.对称轴是直线 $x=-3$
C.当 $x＞-4$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小
D.顶点坐标为 $(-2,-3)$
B
）A.开口向上
B.对称轴是直线 $x=-3$
C.当 $x＞-4$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小
D.顶点坐标为 $(-2,-3)$
答案
2. B
解析
【分析】
要判断二次函数$y=-2(x+3)^2$的图象性质，需先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的参数意义：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，增减性与开口方向、对称轴相关。先确定本题中$a=-2$，$h=-3$，$k=0$，再逐一分析选项的对错。
【解析】
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，本题函数可整理为$y=-2(x-(-3))^2+0$，即$a=-2$，$h=-3$，$k=0$。
选项A：因$a=-2＜0$，图象开口向下，A错误；
选项B：对称轴为直线$x=h=-3$，B正确；
选项C：开口向下，对称轴为$x=-3$，则$x＜-3$时$y$随$x$增大而增大，$x＞-3$时$y$随$x$增大而减小。当$x＞-4$时，包含$(-4,-3)$区间（此区间内$y$随$x$增大而增大），并非整体$y$随$x$增大而减小，C错误；
选项D：顶点坐标为$(h,k)=(-3,0)$，不是$(-2,-3)$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象与性质
【点评】
本题为教材变式题，考查二次函数顶点式的基础性质，需准确掌握参数对应的几何意义，是二次函数学习的核心基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数$y=-2(x+3)^2$的图象性质，需先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的参数意义：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，增减性与开口方向、对称轴相关。先确定本题中$a=-2$，$h=-3$，$k=0$，再逐一分析选项的对错。
【解析】
二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中，本题函数可整理为$y=-2(x-(-3))^2+0$，即$a=-2$，$h=-3$，$k=0$。
选项A：因$a=-2＜0$，图象开口向下，A错误；
选项B：对称轴为直线$x=h=-3$，B正确；
选项C：开口向下，对称轴为$x=-3$，则$x＜-3$时$y$随$x$增大而增大，$x＞-3$时$y$随$x$增大而减小。当$x＞-4$时，包含$(-4,-3)$区间（此区间内$y$随$x$增大而增大），并非整体$y$随$x$增大而减小，C错误；
选项D：顶点坐标为$(h,k)=(-3,0)$，不是$(-2,-3)$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象与性质
【点评】
本题为教材变式题，考查二次函数顶点式的基础性质，需准确掌握参数对应的几何意义，是二次函数学习的核心基础题型。
【难度系数】
0.8
3 将一条抛物线向左平移5个单位长度后得到函数$y=3x^{2}$的图象，则原抛物线对应的函数解析式为（
A.$y=3x^{2}+5$
B.$y=-3x^{2}-5$
C.$y=3(x-5)^{2}$
D.$y=3(x+5)^{2}$
C
）A.$y=3x^{2}+5$
B.$y=-3x^{2}-5$
C.$y=3(x-5)^{2}$
D.$y=3(x+5)^{2}$
答案
3. C
解析
【分析】
要解决抛物线平移的问题，需牢记二次函数图像平移的规律：“左加右减，上加下减”，其中“左加右减”针对自变量x的变化，即向左平移时在x上加上平移单位，向右平移时在x上减去平移单位。本题已知原抛物线向左平移5个单位后得到$y=3x^2$，因此求原抛物线需逆向操作，将$y=3x^2$向右平移5个单位，根据“右减”原则即可得到原函数解析式。
【解析】
根据二次函数图像平移规律：若函数$y=f(x)$向左平移a个单位得到$y=f(x+a)$，则某函数向左平移a个单位得到的原函数，是该函数向右平移a个单位的结果，即原函数为$y=f(x-a)$。本题中，新函数为$y=3x^2$，是原函数向左平移5个单位得到的，因此将$y=3x^2$向右平移5个单位，把x替换为$x-5$，可得原函数解析式为$y=3(x-5)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像平移，抛物线解析式
【点评】
本题考查二次函数图像的平移变换，核心是掌握“左加右减”的平移规律，解题时需注意平移方向与x的符号变化关系，逆向思考时避免符号混淆，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决抛物线平移的问题，需牢记二次函数图像平移的规律：“左加右减，上加下减”，其中“左加右减”针对自变量x的变化，即向左平移时在x上加上平移单位，向右平移时在x上减去平移单位。本题已知原抛物线向左平移5个单位后得到$y=3x^2$，因此求原抛物线需逆向操作，将$y=3x^2$向右平移5个单位，根据“右减”原则即可得到原函数解析式。
【解析】
根据二次函数图像平移规律：若函数$y=f(x)$向左平移a个单位得到$y=f(x+a)$，则某函数向左平移a个单位得到的原函数，是该函数向右平移a个单位的结果，即原函数为$y=f(x-a)$。本题中，新函数为$y=3x^2$，是原函数向左平移5个单位得到的，因此将$y=3x^2$向右平移5个单位，把x替换为$x-5$，可得原函数解析式为$y=3(x-5)^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像平移，抛物线解析式
【点评】
本题考查二次函数图像的平移变换，核心是掌握“左加右减”的平移规律，解题时需注意平移方向与x的符号变化关系，逆向思考时避免符号混淆，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
4 若点 $P(m,n)$ 在抛物线 $y=ax^{2}(a ≠ 0)$ 上,则下列各点中,在抛物线 $y=a(x+1)^{2}$ 上的是 （
A.点$(m,n+1)$
B.点$(m+1,n)$
C.点$(m,n-1)$
D.点$(m-1,n)$
D
）A.点$(m,n+1)$
B.点$(m+1,n)$
C.点$(m,n-1)$
D.点$(m-1,n)$
答案
4. D
解析
【分析】
要解决这道题，需利用点在抛物线上的坐标特征，结合抛物线的解析式推导符合条件的点。具体思路：1. 先根据点P(m,n)在抛物线y=ax²上，建立n与a、m的关系；2. 再将目标点代入抛物线y=a(x+1)²的解析式，通过代数运算求出该点的横坐标，即可确定正确选项。
【解析】
1. 因为点P(m,n)在抛物线y=ax²(a≠0)上，将P(m,n)代入解析式得：$n = a m^2$；
2. 若点(x,y)在抛物线$y=a(x+1)^2$上，则该点满足$y = a(x+1)^2$；
3. 要找满足$y=n$的点，令$a(x+1)^2 = n$，把$n=a m^2$代入得：$a(x+1)^2 = a m^2$；
4. 由于$a≠0$，两边同时除以$a$得：$(x+1)^2 = m^2$；
5. 开方得：$x+1 = ±m$，解得$x = m -1$或$x = -m -1$；
6. 观察选项，只有点$(m-1,n)$符合，因此答案为D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像平移，点与函数解析式的关系
【点评】
本题考查二次函数的坐标特征，属于基础题型，既可以通过代数代入法推导，也可利用抛物线平移的“左加右减”规律快速判断，难度适中，学生易掌握。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需利用点在抛物线上的坐标特征，结合抛物线的解析式推导符合条件的点。具体思路：1. 先根据点P(m,n)在抛物线y=ax²上，建立n与a、m的关系；2. 再将目标点代入抛物线y=a(x+1)²的解析式，通过代数运算求出该点的横坐标，即可确定正确选项。
【解析】
1. 因为点P(m,n)在抛物线y=ax²(a≠0)上，将P(m,n)代入解析式得：$n = a m^2$；
2. 若点(x,y)在抛物线$y=a(x+1)^2$上，则该点满足$y = a(x+1)^2$；
3. 要找满足$y=n$的点，令$a(x+1)^2 = n$，把$n=a m^2$代入得：$a(x+1)^2 = a m^2$；
4. 由于$a≠0$，两边同时除以$a$得：$(x+1)^2 = m^2$；
5. 开方得：$x+1 = ±m$，解得$x = m -1$或$x = -m -1$；
6. 观察选项，只有点$(m-1,n)$符合，因此答案为D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像平移，点与函数解析式的关系
【点评】
本题考查二次函数的坐标特征，属于基础题型，既可以通过代数代入法推导，也可利用抛物线平移的“左加右减”规律快速判断，难度适中，学生易掌握。
【难度系数】
0.6
5 已知二次函数$y=2(x-3)^{2}$.当$x$取$x_{1},x_{2}$且$x_{1} ≠ x_{2}$时，函数值$y_{1}=y_{2}$.当$x=x_{1}+x_{2}$时，$y$的值为
18
.答案
5. 18
解析
【分析】本题给出的是顶点式二次函数，首先需明确其对称轴，再利用“函数值相等的两个点关于对称轴对称”的性质求出$x_1+x_2$的值，最后代入函数解析式计算对应$y$值即可。
【解析】解：二次函数$y=2(x-3)^2$的对称轴为直线$x=3$。
因为当$x_1≠x_2$时，$y_1=y_2$，所以点$(x_1,y_1)$与$(x_2,y_2)$关于对称轴$x=3$对称，根据对称点的性质，对称轴是两点横坐标的平均值，即$\frac{x_1+x_2}{2}=3$，可得$x_1+x_2=6$。
将$x=x_1+x_2=6$代入函数$y=2(x-3)^2$中：
$y=2×(6-3)^2=2×9=18$。
【答案】18
【知识点】二次函数的对称性、二次函数的解析式
【点评】本题考查二次函数的对称性，核心是利用对称点与对称轴的关系求出横坐标之和，再代入解析式计算，属于基础题型，思路清晰易掌握。
【难度系数】0.6
【解析】解：二次函数$y=2(x-3)^2$的对称轴为直线$x=3$。
因为当$x_1≠x_2$时，$y_1=y_2$，所以点$(x_1,y_1)$与$(x_2,y_2)$关于对称轴$x=3$对称，根据对称点的性质，对称轴是两点横坐标的平均值，即$\frac{x_1+x_2}{2}=3$，可得$x_1+x_2=6$。
将$x=x_1+x_2=6$代入函数$y=2(x-3)^2$中：
$y=2×(6-3)^2=2×9=18$。
【答案】18
【知识点】二次函数的对称性、二次函数的解析式
【点评】本题考查二次函数的对称性，核心是利用对称点与对称轴的关系求出横坐标之和，再代入解析式计算，属于基础题型，思路清晰易掌握。
【难度系数】0.6
6 已知抛物线 $y=a(x-1)^2$ 经过点 $(2,2)$. 求:
(1) 抛物线对应的函数解析式;
(2) 抛物线的对称轴和顶点坐标;
(3) 当 $x=5$ 时的函数值.
(1) 抛物线对应的函数解析式;
(2) 抛物线的对称轴和顶点坐标;
(3) 当 $x=5$ 时的函数值.
答案
6. (1) 将(2,2)代入 $y=a(x-1)^2$,得 $2=a×(2-1)^2 ,\therefore a=2.$
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=2(x-1)^2$
(2) 对称轴为直线 $x=1$ 顶点坐标为$(1,0)$
(3) 当 $x=5$ 时,$y=2×(5-1)^2=32$
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=2(x-1)^2$
(2) 对称轴为直线 $x=1$ 顶点坐标为$(1,0)$
(3) 当 $x=5$ 时,$y=2×(5-1)^2=32$
解析
【分析】
本题分为三小问，第(1)问求抛物线解析式，已知抛物线为顶点式，只需将已知点的坐标代入解析式，求解参数a即可；第(2)问利用二次函数顶点式的性质，直接得出对称轴和顶点坐标；第(3)问将x=5代入已求得的解析式，计算对应的函数值。
【解析】
(1) 将点(2,2)代入抛物线解析式$y=a(x-1)^2$，得$2=a×(2-1)^2$，解得$a=2$，因此抛物线对应的函数解析式为$y=2(x-1)^2$；
(2) 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，本题中$h=1$，故对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$；
(3) 将$x=5$代入$y=2(x-1)^2$，得$y=2×(5-1)^2=2×16=32$。
【答案】
6. (1) $y=2(x-1)^2$；(2) 对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$；(3) $32$
【知识点】
二次函数解析式、二次函数图像性质、二次函数函数值计算
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础应用，题型常规，步骤明确，是二次函数入门的基础题，适合巩固顶点式的相关知识点。
【难度系数】
0.8
本题分为三小问，第(1)问求抛物线解析式，已知抛物线为顶点式，只需将已知点的坐标代入解析式，求解参数a即可；第(2)问利用二次函数顶点式的性质，直接得出对称轴和顶点坐标；第(3)问将x=5代入已求得的解析式，计算对应的函数值。
【解析】
(1) 将点(2,2)代入抛物线解析式$y=a(x-1)^2$，得$2=a×(2-1)^2$，解得$a=2$，因此抛物线对应的函数解析式为$y=2(x-1)^2$；
(2) 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，其对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，本题中$h=1$，故对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$；
(3) 将$x=5$代入$y=2(x-1)^2$，得$y=2×(5-1)^2=2×16=32$。
【答案】
6. (1) $y=2(x-1)^2$；(2) 对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$；(3) $32$
【知识点】
二次函数解析式、二次函数图像性质、二次函数函数值计算
【点评】
本题考查二次函数顶点式的基础应用，题型常规，步骤明确，是二次函数入门的基础题，适合巩固顶点式的相关知识点。
【难度系数】
0.8
7 数形结合思想 [2026 崇川段测] 一次函数 $y=mx-n$ 的图象如图所示,则二次函数 $y=m(x-n)^2$ 的图象大致为（
B
）答案
7. B
解析
【分析】要确定二次函数的图象，需先根据一次函数的图象求出参数$m$、$n$的符号，再结合二次函数的性质判断图象特征。
【解析】1. 分析一次函数$y=mx-n$的参数：由一次函数图象从左上到右下，可知斜率$m＜0$；当$x=0$时，$y=-n＞0$，解得$n＜0$。2. 分析二次函数$y=m(x-n)^2$的图象特征：①开口方向：因$m＜0$，二次函数开口向下；②顶点位置：二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2$，顶点坐标为$(h,0)$，这里$h=n＜0$，故顶点在$x$轴负半轴上。3. 结合选项判断：A顶点在$x$轴正半轴，不符合；B开口向下且顶点在$x$轴负半轴，符合；C开口向上，不符合；D顶点在$y$轴，不符合。
【答案】B
【知识点】一次函数图像性质、二次函数图像性质
【点评】本题运用数形结合思想，先通过一次函数确定参数符号，再分析二次函数的开口和顶点，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】1. 分析一次函数$y=mx-n$的参数：由一次函数图象从左上到右下，可知斜率$m＜0$；当$x=0$时，$y=-n＞0$，解得$n＜0$。2. 分析二次函数$y=m(x-n)^2$的图象特征：①开口方向：因$m＜0$，二次函数开口向下；②顶点位置：二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2$，顶点坐标为$(h,0)$，这里$h=n＜0$，故顶点在$x$轴负半轴上。3. 结合选项判断：A顶点在$x$轴正半轴，不符合；B开口向下且顶点在$x$轴负半轴，符合；C开口向上，不符合；D顶点在$y$轴，不符合。
【答案】B
【知识点】一次函数图像性质、二次函数图像性质
【点评】本题运用数形结合思想，先通过一次函数确定参数符号，再分析二次函数的开口和顶点，难度适中。
【难度系数】0.5
