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四、根据$14 × 25 = 350$,直接写出下面各式的积。
$\frac{3}{14} × \frac{9}{25} =$
$0.14 × 2.5 =$
$140 × 25 =$
$\frac{3}{14} × \frac{9}{25} =$
$0.14 × 2.5 =$
$140 × 25 =$
答案
1. $\frac{27}{350}$
2. 0.35
3. 3500
2. 0.35
3. 3500
解析
【分析】
解题时先观察各式子与已知条件$14 × 25 = 350$的关联：①第一个是分数乘法，分母恰好为14和25，可根据分数乘法法则，分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母，分母的乘积直接代入已知结果即可，无需重复计算；②后两个是小数、整数乘法，可利用积的变化规律：两个因数相乘，一个因数扩大或缩小若干倍，另一个因数不变，积也对应扩大或缩小相同的倍数；若两个因数同时变化，积的变化倍数是两个因数变化倍数的乘积，结合已知的积快速推导结果。
【解析】
1. 计算$\frac{3}{14} × \frac{9}{25}$：
根据分数乘法计算规则，分子相乘作分子，分母相乘作分母，可得：
$\frac{3}{14} × \frac{9}{25} = \frac{3×9}{14×25}$，已知$14×25=350$，代入得$\frac{27}{350}$。
2. 计算$0.14 × 2.5$：
对比原式$14×25=350$，因数14变为0.14，缩小到原来的$\frac{1}{100}$，因数25变为2.5，缩小到原来的$\frac{1}{10}$，则积缩小到原来的$\frac{1}{100}×\frac{1}{10}=\frac{1}{1000}$，所以结果为$350×\frac{1}{1000}=0.35$。
3. 计算$140 × 25$：
对比原式$14×25=350$，因数14变为140，扩大到原来的10倍，因数25不变，则积也扩大到原来的10倍，所以结果为$350×10=3500$。
【答案】
1. $\frac{27}{350}$
2. $0.35$
3. $3500$
【知识点】
分数乘法运算、积的变化规律、小数乘法运算
【点评】
本题考查基础计算规则的灵活运用，解题时无需重复计算已知的乘法结果，结合已知条件和对应规律就能快速得出答案，能有效锻炼学生的观察能力和简便计算意识。
【难度系数】
0.85
解题时先观察各式子与已知条件$14 × 25 = 350$的关联：①第一个是分数乘法，分母恰好为14和25，可根据分数乘法法则，分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母，分母的乘积直接代入已知结果即可，无需重复计算；②后两个是小数、整数乘法，可利用积的变化规律：两个因数相乘，一个因数扩大或缩小若干倍，另一个因数不变，积也对应扩大或缩小相同的倍数；若两个因数同时变化，积的变化倍数是两个因数变化倍数的乘积，结合已知的积快速推导结果。
【解析】
1. 计算$\frac{3}{14} × \frac{9}{25}$：
根据分数乘法计算规则，分子相乘作分子，分母相乘作分母，可得：
$\frac{3}{14} × \frac{9}{25} = \frac{3×9}{14×25}$，已知$14×25=350$，代入得$\frac{27}{350}$。
2. 计算$0.14 × 2.5$：
对比原式$14×25=350$，因数14变为0.14，缩小到原来的$\frac{1}{100}$，因数25变为2.5，缩小到原来的$\frac{1}{10}$，则积缩小到原来的$\frac{1}{100}×\frac{1}{10}=\frac{1}{1000}$，所以结果为$350×\frac{1}{1000}=0.35$。
3. 计算$140 × 25$：
对比原式$14×25=350$，因数14变为140，扩大到原来的10倍，因数25不变，则积也扩大到原来的10倍，所以结果为$350×10=3500$。
【答案】
1. $\frac{27}{350}$
2. $0.35$
3. $3500$
【知识点】
分数乘法运算、积的变化规律、小数乘法运算
【点评】
本题考查基础计算规则的灵活运用，解题时无需重复计算已知的乘法结果，结合已知条件和对应规律就能快速得出答案，能有效锻炼学生的观察能力和简便计算意识。
【难度系数】
0.85
五、解决问题。
1. 一块黎锦上面分布两种纹样，代表两种纹样大小的两个分数之和为$\frac{9}{14}$，请写出3组不同的分数。
1. 一块黎锦上面分布两种纹样，代表两种纹样大小的两个分数之和为$\frac{9}{14}$，请写出3组不同的分数。
答案
1. $\frac{3}{7}$和$\frac{3}{14}$ $\frac{2}{7}$和$\frac{5}{14}$ $\frac{1}{14}$和$\frac{4}{7}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要找到和为$\frac{9}{14}$的两个不同分数，我们可以利用分数加法的计算逻辑思考：先把两个分数统一为分母是14的分数，此时两个分数的分子相加和为9，只要找到两组和为9的正整数作为分子，再把能约分的分数约成最简分数，就能得到不同的分数组。也可以先任意写一个小于$\frac{9}{14}$的分数作为其中一个加数，再用$\frac{9}{14}$减去这个加数，得到另一个加数即可。
【解析】
我们通过固定分子组合的方法求解：
1. 选分子3和6，对应分数为$\frac{3}{14}$和$\frac{6}{14}$，将$\frac{6}{14}$约分得到$\frac{3}{7}$，第一组为$\frac{3}{14}$和$\frac{3}{7}$；
2. 选分子4和5，对应分数为$\frac{4}{14}$和$\frac{5}{14}$，将$\frac{4}{14}$约分得到$\frac{2}{7}$，第二组为$\frac{2}{7}$和$\frac{5}{14}$；
3. 选分子1和8，对应分数为$\frac{1}{14}$和$\frac{8}{14}$，将$\frac{8}{14}$约分得到$\frac{4}{7}$，第三组为$\frac{1}{14}$和$\frac{4}{7}$。
（答案不唯一，只要满足两数之和为$\frac{9}{14}$即可）
【答案】
$\frac{3}{7}$和$\frac{3}{14}$；$\frac{2}{7}$和$\frac{5}{14}$；$\frac{1}{14}$和$\frac{4}{7}$(答案不唯一)
【知识点】
分数加法运算；分数约分；分数通分
【点评】
本题是开放性基础题，解题方法灵活，核心是对分数加减法、约分相关知识的运用，通过“固定一个加数求另一个加数”的思路可以快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要找到和为$\frac{9}{14}$的两个不同分数，我们可以利用分数加法的计算逻辑思考：先把两个分数统一为分母是14的分数，此时两个分数的分子相加和为9，只要找到两组和为9的正整数作为分子，再把能约分的分数约成最简分数，就能得到不同的分数组。也可以先任意写一个小于$\frac{9}{14}$的分数作为其中一个加数，再用$\frac{9}{14}$减去这个加数，得到另一个加数即可。
【解析】
我们通过固定分子组合的方法求解：
1. 选分子3和6，对应分数为$\frac{3}{14}$和$\frac{6}{14}$，将$\frac{6}{14}$约分得到$\frac{3}{7}$，第一组为$\frac{3}{14}$和$\frac{3}{7}$；
2. 选分子4和5，对应分数为$\frac{4}{14}$和$\frac{5}{14}$，将$\frac{4}{14}$约分得到$\frac{2}{7}$，第二组为$\frac{2}{7}$和$\frac{5}{14}$；
3. 选分子1和8，对应分数为$\frac{1}{14}$和$\frac{8}{14}$，将$\frac{8}{14}$约分得到$\frac{4}{7}$，第三组为$\frac{1}{14}$和$\frac{4}{7}$。
（答案不唯一，只要满足两数之和为$\frac{9}{14}$即可）
【答案】
$\frac{3}{7}$和$\frac{3}{14}$；$\frac{2}{7}$和$\frac{5}{14}$；$\frac{1}{14}$和$\frac{4}{7}$(答案不唯一)
【知识点】
分数加法运算；分数约分；分数通分
【点评】
本题是开放性基础题，解题方法灵活，核心是对分数加减法、约分相关知识的运用，通过“固定一个加数求另一个加数”的思路可以快速得出结果。
【难度系数】
0.8
2. 已知$a × \frac{4}{5} = b$（$a、b$都不为0），比较$a$和$b$的大小，并说明理由。
答案
$a ＞ b$,因为一个非0的数乘小于1的数,积小于原来的数。
解析
【分析】
拿到这道题，首先观察给出的等式特征：是一个数a乘分数$\frac{4}{5}$等于另一个数b，且a、b都不为0。解题思路分两步走：第一步先判断乘的这个分数$\frac{4}{5}$和1的大小关系，$\frac{4}{5}$是真分数，分子小于分母，所以它小于1；第二步回忆乘法中积和因数的变化规律，当一个非0的数乘小于1的数时，得到的积会比原来的数小，结合这个规律就能直接比较a和b的大小。
【解析】
解：首先比较乘数与1的大小：$\frac{4}{5}$是真分数，因此$\frac{4}{5} ＜ 1$。
已知a、b均不为0，根据积的变化规律：一个非0的数乘小于1的数，积小于这个数本身。
本题中a乘小于1的$\frac{4}{5}$得到b，因此积b小于原来的数a，可得$a ＞ b$。
【答案】
$a ＞ b$,因为一个非0的数乘小于1的数,积小于原来的数。
【知识点】
1. 积与因数的大小关系
2. 真分数的特征
【点评】
本题是对乘法中积随因数变化规律的基础考查，熟练掌握非0数乘大于1、等于1、小于1的数时积与原数的大小关系，就能快速解决此类比较大小的问题。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，首先观察给出的等式特征：是一个数a乘分数$\frac{4}{5}$等于另一个数b，且a、b都不为0。解题思路分两步走：第一步先判断乘的这个分数$\frac{4}{5}$和1的大小关系，$\frac{4}{5}$是真分数，分子小于分母，所以它小于1；第二步回忆乘法中积和因数的变化规律，当一个非0的数乘小于1的数时，得到的积会比原来的数小，结合这个规律就能直接比较a和b的大小。
【解析】
解：首先比较乘数与1的大小：$\frac{4}{5}$是真分数，因此$\frac{4}{5} ＜ 1$。
已知a、b均不为0，根据积的变化规律：一个非0的数乘小于1的数，积小于这个数本身。
本题中a乘小于1的$\frac{4}{5}$得到b，因此积b小于原来的数a，可得$a ＞ b$。
【答案】
$a ＞ b$,因为一个非0的数乘小于1的数,积小于原来的数。
【知识点】
1. 积与因数的大小关系
2. 真分数的特征
【点评】
本题是对乘法中积随因数变化规律的基础考查，熟练掌握非0数乘大于1、等于1、小于1的数时积与原数的大小关系，就能快速解决此类比较大小的问题。
【难度系数】
0.8
3. 海南乡村打造两处椰林休闲点:A休闲点420平方米,供28名村民活动;B休闲点450平方米,供30名村民活动。哪个休闲点人均活动面积更大？
答案
$420 ÷ 28 = 15$(平方米/人)
$450 ÷ 30 = 15$(平方米/人)
两个休闲点人均活动面积同样大。
$450 ÷ 30 = 15$(平方米/人)
两个休闲点人均活动面积同样大。
解析
【分析】
要判断哪个休闲点人均活动面积更大，首先要明确人均活动面积的计算逻辑：人均活动面积等于休闲点的总面积除以在该点活动的村民总人数。我们只需要分别算出A、B两个休闲点的人均活动面积，再对两个结果做大小比较，就能得出最终结论。
【解析】
第一步：计算A休闲点的人均活动面积
$420 ÷ 28 = 15$（平方米/人）
第二步：计算B休闲点的人均活动面积
$450 ÷ 30 = 15$（平方米/人）
第三步：比较两个结果的大小
15平方米/人 = 15平方米/人
【答案】
$420 ÷ 28 = 15$(平方米/人)
$450 ÷ 30 = 15$(平方米/人)
两个休闲点人均活动面积同样大。
【知识点】
平均数计算、整数除法、大小比较
【点评】
本题结合生活场景出题，考查平均数的实际应用，解题核心是理清人均面积的计算方法，计算时注意整数除法的运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
要判断哪个休闲点人均活动面积更大，首先要明确人均活动面积的计算逻辑：人均活动面积等于休闲点的总面积除以在该点活动的村民总人数。我们只需要分别算出A、B两个休闲点的人均活动面积，再对两个结果做大小比较，就能得出最终结论。
【解析】
第一步：计算A休闲点的人均活动面积
$420 ÷ 28 = 15$（平方米/人）
第二步：计算B休闲点的人均活动面积
$450 ÷ 30 = 15$（平方米/人）
第三步：比较两个结果的大小
15平方米/人 = 15平方米/人
【答案】
$420 ÷ 28 = 15$(平方米/人)
$450 ÷ 30 = 15$(平方米/人)
两个休闲点人均活动面积同样大。
【知识点】
平均数计算、整数除法、大小比较
【点评】
本题结合生活场景出题，考查平均数的实际应用，解题核心是理清人均面积的计算方法，计算时注意整数除法的运算准确性即可。
【难度系数】
0.9
4. 海南某家椰子加工厂有2台加工机器:甲机器$\frac{3}{5}$小时加工$\frac{7}{10}$吨椰肉,乙机器$\frac{5}{8}$小时加工$\frac{9}{16}$吨椰肉,哪台机器工作效率更高?
答案
$\frac{7}{10} ÷ \frac{3}{5} = \frac{7}{6}$(吨/时)
$\frac{9}{16} ÷ \frac{5}{8} = \frac{9}{10}$(吨/时)
$\frac{7}{6} ＞ \frac{9}{10}$ 甲机器工作效率更高
$\frac{9}{16} ÷ \frac{5}{8} = \frac{9}{10}$(吨/时)
$\frac{7}{6} ＞ \frac{9}{10}$ 甲机器工作效率更高
解析
【分析】
要判断哪台机器工作效率更高，首先要明确工作效率的计算方法：工作效率=工作总量÷工作时间，即先分别算出两台机器每小时加工椰肉的吨数，再比较两个效率值的大小，数值更大的机器工作效率更高。
【解析】
1. 计算甲机器的工作效率：
$\frac{7}{10} ÷ \frac{3}{5} = \frac{7}{10} × \frac{5}{3} = \frac{7}{6}$（吨/时）
2. 计算乙机器的工作效率：
$\frac{9}{16} ÷ \frac{5}{8} = \frac{9}{16} × \frac{8}{5} = \frac{9}{10}$（吨/时）
3. 比较效率大小：
通分可得$\frac{7}{6}=\frac{35}{30}$，$\frac{9}{10}=\frac{27}{30}$，因此$\frac{7}{6} ＞ \frac{9}{10}$，可知甲机器工作效率更高。
【答案】
甲机器工作效率更高
【知识点】
工作效率计算、分数除法、分数大小比较
【点评】
本题属于工程类基础题，核心是掌握工作总量、工作时间、工作效率三者的数量关系，同时要求熟练掌握分数除法的运算规则和异分母分数比较大小的方法，计算时注意约分可提高解题速度和正确率。
【难度系数】
0.8
要判断哪台机器工作效率更高，首先要明确工作效率的计算方法：工作效率=工作总量÷工作时间，即先分别算出两台机器每小时加工椰肉的吨数，再比较两个效率值的大小，数值更大的机器工作效率更高。
【解析】
1. 计算甲机器的工作效率：
$\frac{7}{10} ÷ \frac{3}{5} = \frac{7}{10} × \frac{5}{3} = \frac{7}{6}$（吨/时）
2. 计算乙机器的工作效率：
$\frac{9}{16} ÷ \frac{5}{8} = \frac{9}{16} × \frac{8}{5} = \frac{9}{10}$（吨/时）
3. 比较效率大小：
通分可得$\frac{7}{6}=\frac{35}{30}$，$\frac{9}{10}=\frac{27}{30}$，因此$\frac{7}{6} ＞ \frac{9}{10}$，可知甲机器工作效率更高。
【答案】
甲机器工作效率更高
【知识点】
工作效率计算、分数除法、分数大小比较
【点评】
本题属于工程类基础题，核心是掌握工作总量、工作时间、工作效率三者的数量关系，同时要求熟练掌握分数除法的运算规则和异分母分数比较大小的方法，计算时注意约分可提高解题速度和正确率。
【难度系数】
0.8
