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32.港珠澳大桥由桥梁和海底隧道组成，隧道由一节一节用钢筋混凝土做成的空心沉管连接而成，如图所示。建造隧道时，先将沉管两端密封，如同一个巨大的长方体空心箱子，然后让其漂浮在海面上，再用船将密封沉管拖到预定海面上，向其内部灌水使之沉入海底。若每一节密封长方形沉管的体积为$6.3×10^{4}\ \mathrm{m}^3$，总质量为$6×10^{7}\ \mathrm{kg}$（海水密度取$1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，g取10 N/kg）。请回答：
(1)漂浮在海面上的一节密封沉管，受到海水对它的浮力为多大？
(2)要使密封沉管上表面刚好水平浸没在海水中，则需注入多少千克的海水？
(1)漂浮在海面上的一节密封沉管，受到海水对它的浮力为多大？
(2)要使密封沉管上表面刚好水平浸没在海水中，则需注入多少千克的海水？
答案
32. (1)漂浮在海面上的密封沉管,在灌水前受到的浮力: $F_{浮}=G=mg=6×10^7\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=6×10^8\ \mathrm{N}$
(2)沉管刚好浸没海水中时,排开海水的体积: $V_{排}=V=6.3×10^4\ \mathrm{m}^3$, 受到的浮力: $F_{浮}=\rho gV_{排}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×6.3×10^4\ \mathrm{m}^3=6.3×10^8\ \mathrm{N}$, 由 $F_{浮}=G_{总}=G_{管}+G_{水}$ 可得, 注入海水的重力: $G_{水}=F_{浮}-G_{管}=6.3×10^8\ \mathrm{N}-6×10^8\ \mathrm{N}=3×10^7\ \mathrm{N}$, 注入海水的质量: $m_{水}=\frac{G_{水}}{g}=\frac{3×10^7\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=3×10^6\ \mathrm{kg}$。
(2)沉管刚好浸没海水中时,排开海水的体积: $V_{排}=V=6.3×10^4\ \mathrm{m}^3$, 受到的浮力: $F_{浮}=\rho gV_{排}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×6.3×10^4\ \mathrm{m}^3=6.3×10^8\ \mathrm{N}$, 由 $F_{浮}=G_{总}=G_{管}+G_{水}$ 可得, 注入海水的重力: $G_{水}=F_{浮}-G_{管}=6.3×10^8\ \mathrm{N}-6×10^8\ \mathrm{N}=3×10^7\ \mathrm{N}$, 注入海水的质量: $m_{水}=\frac{G_{水}}{g}=\frac{3×10^7\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=3×10^6\ \mathrm{kg}$。
解析
【分析】
本题围绕沉管的浮力问题展开，解题思路：
(1) 沉管漂浮时，根据物体漂浮的受力特点，浮力等于自身重力，先计算沉管重力即可得到漂浮时的浮力；
(2) 沉管刚好浸没时，排开海水体积等于沉管总体积，利用阿基米德原理计算此时浮力；此时浮力等于沉管自身重力与注入海水重力之和，通过浮力差求出注入海水的重力，再计算其质量。
【解析】
(1) 密封沉管漂浮在海面上，根据漂浮条件：
$F_{浮}=G_{管}=m_{管}g=6×10^7\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=6×10^8\ \mathrm{N}$；
(2) 沉管上表面刚好浸没时，排开海水体积等于沉管体积：$V_{排}=V=6.3×10^4\ \mathrm{m}^3$，
由阿基米德原理得此时浮力：
$F_{浮}'=\rho_{海水}gV_{排}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×6.3×10^4\ \mathrm{m}^3=6.3×10^8\ \mathrm{N}$，
此时受力平衡：$F_{浮}'=G_{管}+G_{水}$，则注入海水的重力：
$G_{水}=F_{浮}'-G_{管}=6.3×10^8\ \mathrm{N}-6×10^8\ \mathrm{N}=3×10^7\ \mathrm{N}$，
注入海水的质量：$m_{水}=\frac{G_{水}}{g}=\frac{3×10^7\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=3×10^6\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) $6×10^8\ \mathrm{N}$；(2) $3×10^6\ \mathrm{kg}$
【知识点】
漂浮条件、阿基米德原理、重力与质量的关系
【点评】
本题结合实际工程场景考查浮力的基础应用，需掌握漂浮条件和阿基米德原理的应用，属于常规计算题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题围绕沉管的浮力问题展开，解题思路：
(1) 沉管漂浮时，根据物体漂浮的受力特点，浮力等于自身重力，先计算沉管重力即可得到漂浮时的浮力；
(2) 沉管刚好浸没时，排开海水体积等于沉管总体积，利用阿基米德原理计算此时浮力；此时浮力等于沉管自身重力与注入海水重力之和，通过浮力差求出注入海水的重力，再计算其质量。
【解析】
(1) 密封沉管漂浮在海面上，根据漂浮条件：
$F_{浮}=G_{管}=m_{管}g=6×10^7\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=6×10^8\ \mathrm{N}$；
(2) 沉管上表面刚好浸没时，排开海水体积等于沉管体积：$V_{排}=V=6.3×10^4\ \mathrm{m}^3$，
由阿基米德原理得此时浮力：
$F_{浮}'=\rho_{海水}gV_{排}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×6.3×10^4\ \mathrm{m}^3=6.3×10^8\ \mathrm{N}$，
此时受力平衡：$F_{浮}'=G_{管}+G_{水}$，则注入海水的重力：
$G_{水}=F_{浮}'-G_{管}=6.3×10^8\ \mathrm{N}-6×10^8\ \mathrm{N}=3×10^7\ \mathrm{N}$，
注入海水的质量：$m_{水}=\frac{G_{水}}{g}=\frac{3×10^7\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=3×10^6\ \mathrm{kg}$。
【答案】
(1) $6×10^8\ \mathrm{N}$；(2) $3×10^6\ \mathrm{kg}$
【知识点】
漂浮条件、阿基米德原理、重力与质量的关系
【点评】
本题结合实际工程场景考查浮力的基础应用，需掌握漂浮条件和阿基米德原理的应用，属于常规计算题，难度适中。
【难度系数】
0.6
33.如图甲所示，水平桌面上放置着一个盛有适量水的上端开口的薄壁圆柱形容器，水中放置一圆柱体，圆柱体高10 cm，其上表面距水面15 cm，圆柱体的横截面积为100 cm²，容器的横截面积是300 cm²，现将圆柱体挂在弹簧测力计下端，将圆柱体匀速缓慢拉出水面的过程中，弹簧测力计示数F随圆柱体上升距离h的变化情况如图乙所示。已知水的密度$\rho_{水}=1.0×10^{3}\ \mathrm{kg/m}^3$，$g=10\ \mathrm{N/kg}$，水的阻力、容器的重力忽略不计，求：
(1)圆柱体浸没在水中所受的浮力。
(2)圆柱体的密度。
(3)当$h=5\ \mathrm{cm}$时，容器底部受到的压力。
(1)圆柱体浸没在水中所受的浮力。
(2)圆柱体的密度。
(3)当$h=5\ \mathrm{cm}$时，容器底部受到的压力。
答案
(1)10 N (2)$2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$ (3)75 N
解析
【分析】
1. 观察图乙，明确弹簧测力计示数对应的圆柱体状态：圆柱体完全露出水面时，拉力等于其重力；完全浸没在水中时，拉力与浮力之和等于重力，利用称重法可求浸没时的浮力，解决第一问。
2. 求圆柱体密度时，先由浮力公式算出圆柱体体积，再结合重力求出质量，最后用密度公式计算，解决第二问。
3. 第三问需先计算水的重力，再根据力的相互作用，容器底部受到的压力等于水的重力加上圆柱体对水的压力（大小等于浮力），结合h=5cm时圆柱体仍完全浸没的状态，计算得出结果。
【解析】
(1) 由图乙可知，圆柱体完全露出水面时，弹簧测力计示数等于其重力，即$G=20\ \mathrm{N}$；圆柱体完全浸没在水中时，拉力$F_{\mathrm{拉}}=10\ \mathrm{N}$。根据称重法，圆柱体浸没时所受浮力：
$F_{\mathrm{浮}}=G - F_{\mathrm{拉}}=20\ \mathrm{N} -10\ \mathrm{N}=10\ \mathrm{N}$。
(2) 圆柱体浸没时，排开水的体积等于自身体积，由$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}$得：
$V_{\mathrm{物}}=V_{\mathrm{排}}=\frac{F_{\mathrm{浮}}}{\rho_{\mathrm{水}}g}=\frac{10\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
圆柱体的质量：$m=\frac{G}{g}=\frac{20\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=2\ \mathrm{kg}$，
则圆柱体的密度：$\rho=\frac{m}{V_{\mathrm{物}}}=\frac{2\ \mathrm{kg}}{1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3) 原来水面到容器底部的距离：$h_{\mathrm{总}}=15\ \mathrm{cm}+10\ \mathrm{cm}=25\ \mathrm{cm}$，
水和圆柱体的总体积：$V_{\mathrm{总}}=S_{\mathrm{容}}h_{\mathrm{总}}=300\ \mathrm{cm}^2×25\ \mathrm{cm}=7500\ \mathrm{cm}^3$，
水的体积：$V_{\mathrm{水}}=V_{\mathrm{总}} - V_{\mathrm{物}}=7500\ \mathrm{cm}^3 -1000\ \mathrm{cm}^3=6500\ \mathrm{cm}^3=6.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，
水的重力：$G_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×6.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=65\ \mathrm{N}$。
当$h=5\ \mathrm{cm}$时，圆柱体仍完全浸没在水中，根据力的作用是相互的，圆柱体对水向下的压力等于浮力$10\ \mathrm{N}$，因此容器底部受到的压力：
$F=G_{\mathrm{水}} + F_{\mathrm{浮}}=65\ \mathrm{N} +10\ \mathrm{N}=75\ \mathrm{N}$。
【答案】
(1)10 N (2)$2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$ (3)75 N
【知识点】
浮力的计算、密度的计算、压力的计算
【点评】
本题结合图像分析圆柱体的受力与状态，需掌握称重法求浮力、密度公式及力的相互作用的应用，关键是明确不同阶段圆柱体的浸没状态，难度适中。
【难度系数】
0.5
1. 观察图乙，明确弹簧测力计示数对应的圆柱体状态：圆柱体完全露出水面时，拉力等于其重力；完全浸没在水中时，拉力与浮力之和等于重力，利用称重法可求浸没时的浮力，解决第一问。
2. 求圆柱体密度时，先由浮力公式算出圆柱体体积，再结合重力求出质量，最后用密度公式计算，解决第二问。
3. 第三问需先计算水的重力，再根据力的相互作用，容器底部受到的压力等于水的重力加上圆柱体对水的压力（大小等于浮力），结合h=5cm时圆柱体仍完全浸没的状态，计算得出结果。
【解析】
(1) 由图乙可知，圆柱体完全露出水面时，弹簧测力计示数等于其重力，即$G=20\ \mathrm{N}$；圆柱体完全浸没在水中时，拉力$F_{\mathrm{拉}}=10\ \mathrm{N}$。根据称重法，圆柱体浸没时所受浮力：
$F_{\mathrm{浮}}=G - F_{\mathrm{拉}}=20\ \mathrm{N} -10\ \mathrm{N}=10\ \mathrm{N}$。
(2) 圆柱体浸没时，排开水的体积等于自身体积，由$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{排}}$得：
$V_{\mathrm{物}}=V_{\mathrm{排}}=\frac{F_{\mathrm{浮}}}{\rho_{\mathrm{水}}g}=\frac{10\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$。
圆柱体的质量：$m=\frac{G}{g}=\frac{20\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=2\ \mathrm{kg}$，
则圆柱体的密度：$\rho=\frac{m}{V_{\mathrm{物}}}=\frac{2\ \mathrm{kg}}{1×10^{-3}\ \mathrm{m}^3}=2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$。
(3) 原来水面到容器底部的距离：$h_{\mathrm{总}}=15\ \mathrm{cm}+10\ \mathrm{cm}=25\ \mathrm{cm}$，
水和圆柱体的总体积：$V_{\mathrm{总}}=S_{\mathrm{容}}h_{\mathrm{总}}=300\ \mathrm{cm}^2×25\ \mathrm{cm}=7500\ \mathrm{cm}^3$，
水的体积：$V_{\mathrm{水}}=V_{\mathrm{总}} - V_{\mathrm{物}}=7500\ \mathrm{cm}^3 -1000\ \mathrm{cm}^3=6500\ \mathrm{cm}^3=6.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3$，
水的重力：$G_{\mathrm{水}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{水}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×6.5×10^{-3}\ \mathrm{m}^3=65\ \mathrm{N}$。
当$h=5\ \mathrm{cm}$时，圆柱体仍完全浸没在水中，根据力的作用是相互的，圆柱体对水向下的压力等于浮力$10\ \mathrm{N}$，因此容器底部受到的压力：
$F=G_{\mathrm{水}} + F_{\mathrm{浮}}=65\ \mathrm{N} +10\ \mathrm{N}=75\ \mathrm{N}$。
【答案】
(1)10 N (2)$2×10^3\ \mathrm{kg/m}^3$ (3)75 N
【知识点】
浮力的计算、密度的计算、压力的计算
【点评】
本题结合图像分析圆柱体的受力与状态，需掌握称重法求浮力、密度公式及力的相互作用的应用，关键是明确不同阶段圆柱体的浸没状态，难度适中。
【难度系数】
0.5
