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2. 如图1,已知在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,D是BC上一点,$AC=2$,$CD=1$,$∠ CAD=α$.
(1)试写出$α$的三个三角函数值；
(2)若$∠ B=∠ CAD=α$,求$BD$的长.
(1)试写出$α$的三个三角函数值；
(2)若$∠ B=∠ CAD=α$,求$BD$的长.
答案
(1) $\sinα=\frac{\sqrt{5}}{5},\cosα=\frac{2\sqrt{5}}{5},\tanα=\frac{1}{2}$ (2) 3
解析
【分析】
(1) 求∠α的三角函数值，首先确定∠α在Rt△ACD中，已知两条直角边AC、CD的长度，先通过勾股定理求出斜边AD的长度，再根据锐角三角函数的定义，分别对应对边、邻边、斜边的比值计算即可。
(2) 已知∠B=α，可利用正切函数的定义，在大Rt△ABC中先求出BC的总长度，再用BC的长度减去CD的长度，即可得到BD的长。
【解析】
(1) 在$Rt△ACD$中，$∠C=90°$，$AC=2$，$CD=1$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
根据锐角三角函数定义：
$\sinα=\frac{∠α的对边}{斜边}=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cosα=\frac{∠α的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AD}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tanα=\frac{∠α的对边}{∠α的邻边}=\frac{CD}{AC}=\frac{1}{2}$。
(2) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠B=α$，
则$\tan B=\tanα=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$，
将$AC=2$代入得$\frac{2}{BC}=\frac{1}{2}$，解得$BC=4$，
又$CD=1$，故$BD=BC-CD=4-1=3$。
【答案】
(1) $\sinα=\frac{\sqrt{5}}{5},\cosα=\frac{2\sqrt{5}}{5},\tanα=\frac{1}{2}$；(2) $3$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题核心是找准对应角的对边、邻边和斜边，熟练掌握三角函数定义就能快速解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠α的三角函数值，首先确定∠α在Rt△ACD中，已知两条直角边AC、CD的长度，先通过勾股定理求出斜边AD的长度，再根据锐角三角函数的定义，分别对应对边、邻边、斜边的比值计算即可。
(2) 已知∠B=α，可利用正切函数的定义，在大Rt△ABC中先求出BC的总长度，再用BC的长度减去CD的长度，即可得到BD的长。
【解析】
(1) 在$Rt△ACD$中，$∠C=90°$，$AC=2$，$CD=1$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
根据锐角三角函数定义：
$\sinα=\frac{∠α的对边}{斜边}=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
$\cosα=\frac{∠α的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AD}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
$\tanα=\frac{∠α的对边}{∠α的邻边}=\frac{CD}{AC}=\frac{1}{2}$。
(2) 在$Rt△ABC$中，$∠C=90°$，$∠B=α$，
则$\tan B=\tanα=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}$，
将$AC=2$代入得$\frac{2}{BC}=\frac{1}{2}$，解得$BC=4$，
又$CD=1$，故$BD=BC-CD=4-1=3$。
【答案】
(1) $\sinα=\frac{\sqrt{5}}{5},\cosα=\frac{2\sqrt{5}}{5},\tanα=\frac{1}{2}$；(2) $3$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，解题核心是找准对应角的对边、邻边和斜边，熟练掌握三角函数定义就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 为计算$\tan15°$的三角函数值，我们可以构建$\mathrm{Rt}△ ACB$，如图2，使得$∠ C=90°$，$∠ ABC=30°$，延长$CB$到点$D$，使$BD=AB$，连结$AD$，可得到$∠ D=15°$，所以$\tan15°=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$。类比这种方法，请你计算$\tan22.5°$的值。
答案
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$∠ C=90°$,$∠ ABC=45°$,延长$CB$到点$D$,使$BD=AB$,连接$AD$ $\therefore ∠BAD=∠D=22.5°$,设$AC=BC=1$,则$AB=BD=\sqrt{2}$ $\therefore CD=CB+BD=1 + \sqrt{2}$,在$\mathrm{Rt}△ ADC$中 ,$\tan22.5°= \frac{AC}{CD}=\frac{1}{1 + \sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$
解析
【分析】
本题要求类比题中构造半角求三角函数值的方法计算$\tan22.5°$，思考路径如下：首先明确22.5°是45°的一半，对应题中15°是30°的一半的关系；第二步仿照示例构造含45°锐角的直角三角形，延长直角边构造等腰三角形，利用三角形外角性质和等边对等角得到22.5°的角；第三步设合适的边长参数，结合勾股定理计算相关线段长度，最后根据正切的定义列式，分母有理化后得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，延长$CB$到点$D$，使$BD=AB$，连接$AD$。
$\because BD=AB$，$\therefore ∠ BAD=∠ D$，
又$\because ∠ ABC$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ABC=∠ BAD+∠ D=2∠ D=45°$，即$∠ D=22.5°$。
设$AC=BC=1$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$\therefore BD=AB=\sqrt{2}$，则$CD=CB+BD=1+\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan22.5°= \tan∠ D=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{1 + \sqrt{2}}$，
对分母有理化：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$。
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
正切的定义；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于类比探究类问题，核心是利用倍角与半角的关系构造特殊直角三角形，解题过程需要综合运用等腰三角形性质、勾股定理和锐角三角函数的定义，能有效培养知识迁移能力和类比推理能力。
【难度系数】
0.7
本题要求类比题中构造半角求三角函数值的方法计算$\tan22.5°$，思考路径如下：首先明确22.5°是45°的一半，对应题中15°是30°的一半的关系；第二步仿照示例构造含45°锐角的直角三角形，延长直角边构造等腰三角形，利用三角形外角性质和等边对等角得到22.5°的角；第三步设合适的边长参数，结合勾股定理计算相关线段长度，最后根据正切的定义列式，分母有理化后得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC=45°$，延长$CB$到点$D$，使$BD=AB$，连接$AD$。
$\because BD=AB$，$\therefore ∠ BAD=∠ D$，
又$\because ∠ ABC$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ABC=∠ BAD+∠ D=2∠ D=45°$，即$∠ D=22.5°$。
设$AC=BC=1$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$\therefore BD=AB=\sqrt{2}$，则$CD=CB+BD=1+\sqrt{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$\tan22.5°= \tan∠ D=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{1 + \sqrt{2}}$，
对分母有理化：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{2}-1$。
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
正切的定义；等腰三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于类比探究类问题，核心是利用倍角与半角的关系构造特殊直角三角形，解题过程需要综合运用等腰三角形性质、勾股定理和锐角三角函数的定义，能有效培养知识迁移能力和类比推理能力。
【难度系数】
0.7
