7. 有一袋绿豆和一袋红豆,请设计一个方案估计袋中绿豆、红豆的数量.
答案
解：
1. 估计绿豆的数量：
(1) 从绿豆袋中随机取出$a$颗绿豆，做上不易脱落的标记后放回袋中，充分搅拌均匀；
(2) 从袋中随机抽取$n$颗绿豆，记录其中标记绿豆的数量$m$，重复该抽样操作多次，计算标记绿豆出现的频率的平均值$\overline{p}$；
(3) 设绿豆袋中共有$x$颗绿豆，根据频率估计概率，得$\overline{p}\approx\frac{a}{x}$，解得$x\approx\frac{a}{\overline{p}}$；
2. 估计红豆的数量：
(1) 从红豆袋中随机取出$b$颗红豆，做上不易脱落的标记后放回袋中，充分搅拌均匀；
(2) 从袋中随机抽取$k$颗红豆，记录其中标记红豆的数量$t$，重复该抽样操作多次，计算标记红豆出现的频率的平均值$\overline{q}$；
(3) 设红豆袋中共有$y$颗红豆，根据频率估计概率，得$\overline{q}\approx\frac{b}{y}$，解得$y\approx\frac{b}{\overline{q}}$。
答：估计绿豆数量约为$\frac{a}{\overline{p}}$颗，红豆数量约为$\frac{b}{\overline{q}}$颗。
1. 估计绿豆的数量：
(1) 从绿豆袋中随机取出$a$颗绿豆，做上不易脱落的标记后放回袋中，充分搅拌均匀；
(2) 从袋中随机抽取$n$颗绿豆，记录其中标记绿豆的数量$m$，重复该抽样操作多次，计算标记绿豆出现的频率的平均值$\overline{p}$；
(3) 设绿豆袋中共有$x$颗绿豆，根据频率估计概率，得$\overline{p}\approx\frac{a}{x}$，解得$x\approx\frac{a}{\overline{p}}$；
2. 估计红豆的数量：
(1) 从红豆袋中随机取出$b$颗红豆，做上不易脱落的标记后放回袋中，充分搅拌均匀；
(2) 从袋中随机抽取$k$颗红豆，记录其中标记红豆的数量$t$，重复该抽样操作多次，计算标记红豆出现的频率的平均值$\overline{q}$；
(3) 设红豆袋中共有$y$颗红豆，根据频率估计概率，得$\overline{q}\approx\frac{b}{y}$，解得$y\approx\frac{b}{\overline{q}}$。
答：估计绿豆数量约为$\frac{a}{\overline{p}}$颗，红豆数量约为$\frac{b}{\overline{q}}$颗。
一摊主用一个黑布袋装了3个白球、3个黑球,让人做摸球中奖活动.交2元可摸一次,每一次要摸出3个球,如果摸到的3个球都是白球,可以得到10元的奖励.参加这种摸球中奖活动合算吗?
答案
解：
从6个球中摸出3个球的所有可能情况数为：
$\mathrm{C}_{6}^{3}=\frac{6×5×4}{3×2×1}=20$（种）
摸到3个白球的情况数为：
$\mathrm{C}_{3}^{3}=1$（种）
则摸到3个白球的概率为：
$P=\frac{1}{20}$
设每次摸球的收益为$X$元，
若中奖，收益为$10-2=8$元；若不中奖，收益为$-2$元。
则收益的期望为：
$E(X)=8×\frac{1}{20}+(-2)×(1-\frac{1}{20})$
$=\frac{8}{20}-\frac{38}{20}$
$=-1.5$（元）
答：参加这种摸球中奖活动不合算。
从6个球中摸出3个球的所有可能情况数为：
$\mathrm{C}_{6}^{3}=\frac{6×5×4}{3×2×1}=20$（种）
摸到3个白球的情况数为：
$\mathrm{C}_{3}^{3}=1$（种）
则摸到3个白球的概率为：
$P=\frac{1}{20}$
设每次摸球的收益为$X$元，
若中奖，收益为$10-2=8$元；若不中奖，收益为$-2$元。
则收益的期望为：
$E(X)=8×\frac{1}{20}+(-2)×(1-\frac{1}{20})$
$=\frac{8}{20}-\frac{38}{20}$
$=-1.5$（元）
答：参加这种摸球中奖活动不合算。
例 如图8-4,转盘被均匀分为20等份,分别标记1~20这20个数字.游戏者每次玩游戏前须交费1元.游戏时,游戏者先押1个数字,然后转动转盘,若转盘停止转动时,指针所指的格子的数字与游戏者所押的数字相同,则游戏者获得奖励18元.这个游戏对游戏者公平吗? 转动多次后,游戏者平均每次获利或损失多少元?
解 这个游戏对游戏者不公平.
游戏者押中的概率为$\frac{1}{20}$,而每押中一次获得奖金17元,押错的概率为$\frac{19}{20}$,因此转动多次后,游戏者每次的平均收益是:$(18-1)×\frac{1}{20}-1×\frac{19}{20}=-\frac{2}{20}=-\frac{1}{10}$元.
解 这个游戏对游戏者不公平.
游戏者押中的概率为$\frac{1}{20}$,而每押中一次获得奖金17元,押错的概率为$\frac{19}{20}$,因此转动多次后,游戏者每次的平均收益是:$(18-1)×\frac{1}{20}-1×\frac{19}{20}=-\frac{2}{20}=-\frac{1}{10}$元.
答案
解：这个游戏对游戏者不公平。
转盘被均匀分成20等份，游戏者押中的概率为$\frac{1}{20}$，押错的概率为$\frac{19}{20}$。
押中时，游戏者实际获利$18-1=17$元；押错时，游戏者损失1元。
转动多次后，游戏者平均每次的收益为：
$(18-1)×\frac{1}{20} - 1×\frac{19}{20} = \frac{17}{20} - \frac{19}{20} = -\frac{1}{10}$（元）。
答：这个游戏对游戏者不公平，转动多次后，游戏者平均每次损失$\frac{1}{10}$元。
转盘被均匀分成20等份，游戏者押中的概率为$\frac{1}{20}$，押错的概率为$\frac{19}{20}$。
押中时，游戏者实际获利$18-1=17$元；押错时，游戏者损失1元。
转动多次后，游戏者平均每次的收益为：
$(18-1)×\frac{1}{20} - 1×\frac{19}{20} = \frac{17}{20} - \frac{19}{20} = -\frac{1}{10}$（元）。
答：这个游戏对游戏者不公平，转动多次后，游戏者平均每次损失$\frac{1}{10}$元。
1. 一般地,如果随机事件A发生的概率是P(A),那么在相同条件下重复n次试验,事件A发生的次数的平均值m等于.
答案
解：
$m = n · P(A)$
$m = n · P(A)$
