8. 如图,点 E 是$△ ABC$的外心,P,Q分别是AB,AC的中点,连接EP,EQ分别交BC于点F,D.若$BF=5,DF=3,CD=4$,则$△ ABC$的面积为 （ ）
A. 18
B. 24
C. 30
D. 36

B

9.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,P的坐标分别为$(1,0),(2,5),(4,2)$.若点C在第一象限,且横坐标、纵坐标均为整数,点P是$△ ABC$的外心,则点C的坐标为________.

$(7,4)$或$(6,5)$或$(1,4)$

10.半径为5的$\odot O$是锐角三角形$ABC$的外接圆，$AB=AC$，连接$OB$，$OC$，延长$CO$交弦$AB$于点$D$.若$△ OBD$是直角三角形，则弦$BC$的长为$\underline{\hspace{5cm}}$.

$5\sqrt{3}$或$5\sqrt{2}$

11. 如图,残破的圆形轮片上,弦$AB$的垂直平分线交$\overset{\frown}{AB}$于点$C$,交弦$AB$于点$D$.$AB=24\ \mathrm{cm}$,$CD=8\ \mathrm{cm}$.
(1)求作此残片所在的圆;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)求(1)中所作圆的半径.

; 解：​$(1)\odot O$​即为残片所在的圆，如答图.​$ (2)$​如答图，连接​$OA，$​设​$OA = x\mathrm {cm}，$​由题意，得​$AD = 12\ \mathrm {cm}，$​​$OD=(x - 8)\mathrm {cm}，$​根据勾股定理，得​$x^2=12^2+(x - 8)^2，$​​$ \begin {aligned}x^2&=144+x^2-16x + 64\\16x&=208\\x &=13\end {aligned}$​​$ $​即​$(1)$​中所作圆的半径为​$13\ \mathrm {cm}.$​

12.如图,在半径为8的$\odot O$中,弦$AB=8\sqrt{2}$,C是劣弧AB上的一个动点,D是弦AC的中点,E是弦BC的中点,P是半径OC的中点.
(1)求$∠ AOB$的度数,并说明点P为$△ ODE$的外心;
(2)当点C沿着劣弧AB从点A开始,逆时针运动到点B时,请直接写出$△ ODE$面积的取值范围.

第12题图

解：​$(1)$​如答图​$①，$​连接​$PD，$​​$PE.$​ ∵​$AB^2=128，$​​$OA^2+OB^2=128，$​∴​$AB^2=OA^2+OB^2，$​ ∴​$\triangle AOB$​是直角三角形，​$∠AOB = 90°.$​ ∵​$D$​是弦​$AC$​的中点，​$E$​是弦​$BC$​的中点，​$OA = OB = OC，$
​∴​$OD\perp AC，$​​$OE\perp BC，$​∴​$∠ODC=∠OEC = 90°.$​ ∵​$P $​是​$OC$​的中点，∴​$PD = PO = PC = PE，$​ ∴点​$P $​为​$\triangle ODE$​的外心​$.$​​$ (2)$​如答图​$②，$​过点​$O$​作​$OH\perp DE$​于点​$H，$​交​$AB$​于点​$F. $​∵​$D$​是弦​$AC$​的中点，​$E$​是弦​$BC$​的中点，∴​$AD = CD，$​​$BE = CE，$​∴​$DE=\frac {1}{2}AB = 4\sqrt {2}，$​​$DE// AB，$​∴​$OF\perp AB，$​∴​$OF = 4\sqrt {2}. $​∵​$OH\perp DE，$​∴​$OH＞OF，$​​$OH＞4\sqrt {2}.$​​$ $​当​$C$​为​$\overset {\frown }{AB}$​的中点时，点​$O，$​​$F，$​​$H，$​​$C$​共线，​$OC = 8，$​​$OF = 4\sqrt {2}，$​∴​$FH = HC=\frac {1}{2}FC=\frac {1}{2}(OC - OF)=\frac {1}{2}(8 - 4\sqrt {2})=4 - 2\sqrt {2}，$​∴​$OH = OF+FH = 4\sqrt {2}+4 - 2\sqrt {2}=4 + 2\sqrt {2}，$​此时​$OH$​取得最大值，∴​$4\sqrt {2}＜OH\leqslant 4 + 2\sqrt {2}.$​ ∵​$S_{\triangle ODE}=\frac {1}{2}DE·OH，$​∴​$16＜S_{\triangle ODE}\leqslant 8\sqrt {2}+8.$
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