9. [2024·合肥肥西期末]线段AB的长为2 cm，延长AB到点C，使AC=3AB，再延长BA到点D，使BD=2BC，则线段CD的长为（）

A.10 cm
B.8 cm
C.6 cm
D.12 cm

9.D

【分析】
解决这类线段长度计算问题，首先要根据题意明确各点的位置顺序，再结合已知的倍数关系逐步推导未知线段长度：第一步先根据AB的长度和AC与AB的数量关系算出AC、BC的长度；第二步根据BD与BC的数量关系算出BD的长度；最后利用线段的和差关系求出CD的长度即可。
【解析】
已知线段AB=2 cm，
1. 计算BC的长度：
∵ AC=3AB，
∴ AC=3×2=6 cm，
∵ 点C在AB的延长线上，
∴ BC=AC - AB=6 - 2=4 cm；
2. 计算BD的长度：
∵ BD=2BC，
∴ BD=2×4=8 cm；
3. 计算CD的长度：
∵ 点D在BA的延长线上，各点顺序为D、A、B、C，
∴ CD=BD + BC=8 + 4=12 cm。
【答案】
D
【知识点】
线段的和差计算、线段延长线的定义
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题核心是先理清各点的相对位置，避免混淆延长线的方向，再结合已知的倍数关系逐步推导即可，是巩固线段和差计算的典型习题。
【难度系数】
0.8

10. 如图，点B，C都在线段AD上，若$AD=2BC$，则（）


A.$AB=CD$
B.$AC-CD=BC$
C.$AB+CD=BC$
D.$AD+BC=2AC$

10.C

【分析】
解题时首先观察图形，线段AD被点B、C分为AB、BC、CD三段，因此AD的长度等于这三段长度之和。结合题目给出的AD=2BC的条件，我们可以先写出AD的和差表达式，再代入已知条件化简，最后将化简结果和四个选项逐一对比即可选出正确答案。
【解析】
由图可知，线段AD可表示为：$AD = AB + BC + CD$
已知$AD=2BC$，将其代入上式可得：
$AB + BC + CD = 2BC$
等式两边同时减去BC，得：
$AB + CD = BC$，对应选项C。
接下来验证其余选项：
A选项：题目未给出B、C是线段三等分点的条件，无法推出$AB=CD$，错误；
B选项：$AC-CD=(AB+BC)-CD$，仅当$AB=CD$时该式等于BC，无相关条件支撑，错误；
D选项：$AD+BC=2BC+BC=3BC$，$2AC=2(AB+BC)$，仅当$BC=2AB$时二者相等，无相关条件支撑，错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
线段的和差运算；线段长度计算
【点评】
本题是线段和差关系的基础应用题，解题关键是掌握整体线段与分段线段之间的和差关系，结合已知条件推导等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

11.已知线段$AB=7$，$C$是线段$AB$上一点，且$BC=2$，则$AC=$。

11.5

【分析】
首先明确点C的位置：C在线段AB上，因此三条线段满足长度关系AB = AC + BC，要求AC的长度，只需将已知的AB和BC的长度代入，通过减法运算即可求出结果。
【解析】
∵ 点C是线段AB上的一点
∴ AC + BC = AB
已知AB=7，BC=2，代入得：
AC = AB - BC = 7 - 2 = 5
【答案】
5
【知识点】
线段的和差运算
【点评】
本题考查线段的和差计算，解题核心是根据点在线段上的位置确定三条线段的和差关系，难度较低，属于基础类题目。
【难度系数】
0.9

变式训练
线段上一点→直线上一点
已知线段AB=8，C是直线AB上一点，且AC=3，则BC=。

【变式训练】5或11

【分析】
题目中明确点C在直线AB上，直线可向两端无限延伸，因此点C的位置存在两种情况，需要分类讨论：①点C在线段AB上；②点C在线段BA的延长线上，再结合线段的和差关系分别计算BC的长度即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当点C在线段AB上时，点C位于A、B两点之间，根据线段的差的关系可得：
$ BC = AB - AC = 8 - 3 = 5 $
2. 当点C在线段BA的延长线上时，点C位于点A的左侧，不在A、B两点之间，根据线段的和的关系可得：
$ BC = AB + AC = 8 + 3 = 11 $
综上，BC的长度为5或11。
【答案】
5或11
【知识点】
直线的特征、线段的和差计算、分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略“直线AB”的条件，默认点C在线段AB上只算出一个结果，解题时要注意区分“直线”和“线段”的差异，遇到点在直线上的问题要考虑多种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

12. 已知线段AB，延长AB至点C，使BC=AB，再反向延长AC至点D，使得AD=AC.
(1) 利用尺规画出图形，并标出相应字母；
(保留作图痕迹，不写作法)
(2) 若AB=2 cm，求线段BD的长.
$\overline{AB}$

12.(1)略 (2)$BD=6\ \mathrm{cm}$

【分析】
(1) 作图思路：先画出线段AB，再用圆规截取与AB长度相等的线段BC，使点C落在AB的延长线上得到线段AC；接着反向延长AC，用圆规截取与AC长度相等的线段AD，使点D落在AC的反向延长线上，最后标注对应字母、保留作图痕迹即可。
(2) 计算思路：先根据BC=AB求出BC的长度，利用线段和的关系算出AC的长度，再结合AD=AC得到AD的长度，最后根据D、A、B的位置关系，通过AD与AB的和求出BD的长度。
【解析】
(1) 按尺规作图要求操作，保留作图痕迹，标注对应字母即可，作图过程略。
(2) 已知$AB=2\ \mathrm{cm}$，且$BC=AB$，因此$BC=2\ \mathrm{cm}$。
可得$AC=AB+BC=2+2=4\ \mathrm{cm}$。
又因为$AD=AC$，所以$AD=4\ \mathrm{cm}$。
由作图可知点D在BA的延长线上，因此$BD=AD+AB=4+2=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) 略；(2) $\boldsymbol{BD=6\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
尺规作等长线段；线段的和差计算
【点评】
本题考查尺规作图的基本操作和线段长度的计算，解题关键是理清各线段的数量关系和位置顺序，作图时要注意保留作图痕迹，计算时先明确各线段长度再进行和差运算。
【难度系数】
0.8

13. 如图，P是线段AB上不同于点A，B的一点，AB=18 cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发，在线段AB上向左运动，无论谁先到达A点，均停止运动。点C的运动速度为1 cm/s，点D的运动速度为2 cm/s.
(1)假设AP=PB.
①当动点C，D运动了2 s时，AC+PD= cm；
②当C，D两点间的距离为5 cm时，则运动的时间为 s.
(2)当点C，D在运动时，总有PD=2AC.
①求AP的长度；
②若在直线AB上存在一点Q，使AQ－BQ=PQ，求PQ的长度.

13.(1)①12 ②4
(2)①$AP=6\ \mathrm{cm}$
②如图1,当点Q在线段AB的延长线上时,$PQ=18\ \mathrm{cm}$.

如图2,当点Q在线段AB上时,$PQ=6\ \mathrm{cm}$.

综上所述,$PQ$的长度为$6\ \mathrm{cm}$或$18\ \mathrm{cm}$.

【分析】
这是线段上的动点问题，解题核心是用含运动时间的式子表示各线段长度，结合已知等量关系列方程求解，注意分类讨论点的位置。
(1) 先由$AP=PB$、$AB=18\ \mathrm{cm}$得$AP=PB=9\ \mathrm{cm}$：
① 计算运动2s后C、D移动的距离，再分别求$AC$、$PD$的长度相加即可；
② 用含时间$t$的式子表示$CD$的长度，结合$CD=5$列方程，根据运动时间范围取舍结果。
(2) ① 设$AP=x$，用含$x$和$t$的式子表示$AC$、$PD$，根据$PD=2AC$恒成立消去$t$，解方程求$x$；
② 分$Q$在线段$AB$上、$Q$在线段$AB$的延长线上两种情况，结合$AQ-BQ=PQ$列方程求解$PQ$长度。
【解析】
解：(1) 已知$AB=18\ \mathrm{cm}$，$AP=PB$，$\therefore AP=PB=\frac{1}{2}AB=9\ \mathrm{cm}$。
① 运动2s时，C移动的距离$PC=1×2=2\ \mathrm{cm}$，D移动的距离$BD=2×2=4\ \mathrm{cm}$。
$\therefore AC=AP-PC=9-2=7\ \mathrm{cm}$，$PD=PB-BD=9-4=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC+PD=7+5=12\ \mathrm{cm}$。
② 设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，C到A需要$9÷1=9\ \mathrm{s}$，D到A需要$18÷2=9\ \mathrm{s}$，故$0\le t\le9$。
$t$秒时，$CD=PB-(BD-PC)=9-(2t-t)=9-t$，
当$CD=5\ \mathrm{cm}$时，$9-t=5$，解得$t=4$。
(2) ① 设$AP=x\ \mathrm{cm}$，则$PB=(18-x)\ \mathrm{cm}$，运动时间为$t\ \mathrm{s}$。
则$AC=AP-PC=(x-t)\ \mathrm{cm}$，$PD=PB-BD=(18-x-2t)\ \mathrm{cm}$，
由题意$PD=2AC$恒成立，即：
$18-x-2t=2(x-t)$
化简得：$18-x=2x$，
解得$x=6$，即$AP=6\ \mathrm{cm}$。
② 由$AP=6\ \mathrm{cm}$，得点P距离A点6cm，距离B点12cm，分两种情况讨论：
情况1：点Q在线段AB的延长线上，如图1：

此时$AQ=AB+BQ$，代入$AQ-BQ=PQ$得：
$AB+BQ-BQ=PQ$，即$PQ=AB=18\ \mathrm{cm}$。
情况2：点Q在线段AB上，如图2：

设$PQ=y\ \mathrm{cm}$，
$AQ=AP+PQ=6+y$，$BQ=PB-PQ=12-y$，代入$AQ-BQ=PQ$得：
$(6+y)-(12-y)=y$，
解得$y=6$，即$PQ=6\ \mathrm{cm}$。
综上，$PQ$的长度为$6\ \mathrm{cm}$或$18\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)①12 ②4
(2)①$AP=6\ \mathrm{cm}$
②如图1,当点Q在线段AB的延长线上时,$PQ=18\ \mathrm{cm}$.

如图2,当点Q在线段AB上时,$PQ=6\ \mathrm{cm}$.

综上所述,$PQ$的长度为$6\ \mathrm{cm}$或$18\ \mathrm{cm}$.
【知识点】
线段的和差计算；动点问题的线段表示；分类讨论思想
【点评】
本题主要考查线段上的动点计算，解题关键是将运动距离转化为线段长度，结合等量关系列方程，涉及多种位置情况时要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6