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例2 如图,在池塘岸边A,B两处各有一棵柳树,试设计测量A,B间的距离的方案,并说明理由。
[点拨] 通过构造全等三角形的方法测量无法直接达到的两点间的距离,可根据SAS构造全等三角形,也可根据ASA构造全等三角形。
[解] 方法一:如图,在池塘外找一点C,使C点能直接到达A,B两点。连接AC并延长AC到A',使A'C=AC,连接BC并延长BC到B',使B'C=BC,则A',B'之间的距离A'B'就是A,B之间的距离。
理由:在△ABC和△A'B'C'中,
$\{\begin{aligned}AC&=A'C, \\∠ACB&=∠A'CB', \\BC&=B'C,\end{aligned} $
所以△ABC≌△A'B'C(SAS),
所以AB=A'B'(全等三角形的对应边相等)。
方法二:如图,在AB的垂线上取C,D两点,使BC=CD;过点D作BD的垂线DF,在DF上找一点E,使A,C,E三点在一条直线上,则DE的长度就是AB的长度。
理由:在△ABC和△EDC中,
$\{\begin{aligned}∠ABC&=∠EDC, \\BC&=DC, \\∠ACB&=∠ECD,\end{aligned} $
所以△ABC≌△EDC(ASA),
所以AB=DE(全等三角形的对应边相等)。
[点拨] 通过构造全等三角形的方法测量无法直接达到的两点间的距离,可根据SAS构造全等三角形,也可根据ASA构造全等三角形。
[解] 方法一:如图,在池塘外找一点C,使C点能直接到达A,B两点。连接AC并延长AC到A',使A'C=AC,连接BC并延长BC到B',使B'C=BC,则A',B'之间的距离A'B'就是A,B之间的距离。
理由:在△ABC和△A'B'C'中,
$\{\begin{aligned}AC&=A'C, \\∠ACB&=∠A'CB', \\BC&=B'C,\end{aligned} $
所以△ABC≌△A'B'C(SAS),
所以AB=A'B'(全等三角形的对应边相等)。
方法二:如图,在AB的垂线上取C,D两点,使BC=CD;过点D作BD的垂线DF,在DF上找一点E,使A,C,E三点在一条直线上,则DE的长度就是AB的长度。
理由:在△ABC和△EDC中,
$\{\begin{aligned}∠ABC&=∠EDC, \\BC&=DC, \\∠ACB&=∠ECD,\end{aligned} $
所以△ABC≌△EDC(ASA),
所以AB=DE(全等三角形的对应边相等)。
答案
解：
方案一：
在池塘外找一点C，使点C能直接到达A、B两点。连接AC并延长AC到点A'，使A'C=AC，连接BC并延长BC到点B'，使B'C=BC，测量出A'B'的长度，该长度即为A、B间的距离。
理由：在△ABC和△A'B'C中，
$\begin{cases}AC = A'C \\∠ ACB = ∠ A'CB' \\BC = B'C\end{cases}$
∴△ABC ≌ △A'B'C（SAS）
∴AB = A'B'（全等三角形的对应边相等）。
方案二：
过点B作AB的垂线，在这条垂线上取C、D两点，使BC=CD；过点D作BD的垂线DF，在DF上找一点E，使A、C、E三点在同一条直线上，测量出DE的长度，该长度即为A、B间的距离。
理由：在△ABC和△EDC中，
$\begin{cases}∠ ABC = ∠ EDC \\BC = DC \\∠ ACB = ∠ ECD\end{cases}$
∴△ABC ≌ △EDC（ASA）
∴AB = DE（全等三角形的对应边相等）。
答：通过上述任意一种构造全等三角形的方案，测量出对应可直接测量的线段长度，即可得到池塘岸边A、B两点间的距离。
方案一：
在池塘外找一点C，使点C能直接到达A、B两点。连接AC并延长AC到点A'，使A'C=AC，连接BC并延长BC到点B'，使B'C=BC，测量出A'B'的长度，该长度即为A、B间的距离。
理由：在△ABC和△A'B'C中，
$\begin{cases}AC = A'C \\∠ ACB = ∠ A'CB' \\BC = B'C\end{cases}$
∴△ABC ≌ △A'B'C（SAS）
∴AB = A'B'（全等三角形的对应边相等）。
方案二：
过点B作AB的垂线，在这条垂线上取C、D两点，使BC=CD；过点D作BD的垂线DF，在DF上找一点E，使A、C、E三点在同一条直线上，测量出DE的长度，该长度即为A、B间的距离。
理由：在△ABC和△EDC中，
$\begin{cases}∠ ABC = ∠ EDC \\BC = DC \\∠ ACB = ∠ ECD\end{cases}$
∴△ABC ≌ △EDC（ASA）
∴AB = DE（全等三角形的对应边相等）。
答：通过上述任意一种构造全等三角形的方案，测量出对应可直接测量的线段长度，即可得到池塘岸边A、B两点间的距离。
解析
【分析】
要测量被池塘隔开的A、B两点间的距离，由于两点无法直接到达测量，因此可利用全等三角形对应边相等的性质，将AB的长度转化为可直接测量的线段长度。构造全等三角形有两种常见思路：一是找一个能同时到达A、B的公共点C，延长AC、BC得到等长线段，结合对顶角相等，用SAS判定三角形全等；二是通过作垂线得到相等的直角，截取等长线段，结合对顶角相等，用ASA判定三角形全等，即可得到与AB长度相等的可测线段。
【解析】
方案一：
在池塘外找一点C，使点C能直接到达A、B两点。连接AC并延长AC到点A'，使A'C=AC，连接BC并延长BC到点B'，使B'C=BC，测量出A'B'的长度，该长度即为A、B间的距离。
理由：在△ABC和△A'B'C中，
$\begin{cases}AC = A'C \\∠ ACB = ∠ A'CB' \\BC = B'C\end{cases}$
∴△ABC ≌ △A'B'C（SAS）
∴AB = A'B'（全等三角形的对应边相等）。
方案二：
过点B作AB的垂线，在这条垂线上取C、D两点，使BC=CD；过点D作BD的垂线DF，在DF上找一点E，使A、C、E三点在同一条直线上，测量出DE的长度，该长度即为A、B间的距离。
理由：在△ABC和△EDC中，
$\begin{cases}∠ ABC = ∠ EDC \\BC = DC \\∠ ACB = ∠ ECD\end{cases}$
∴△ABC ≌ △EDC（ASA）
∴AB = DE（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
通过上述任意一种构造全等三角形的方案，测量出对应可直接测量的线段（A'B'或DE）的长度，即可得到池塘岸边A、B两点间的距离。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、利用全等测距离
【点评】
本题是全等三角形在实际测量场景中的典型应用，核心是运用转化思想，将不可直接测量的线段长度转化为可直接测量的线段长度，考查对全等三角形判定、性质的灵活运用能力，以及结合实际场景设计操作方案的实践能力。
【难度系数】
0.7
要测量被池塘隔开的A、B两点间的距离，由于两点无法直接到达测量，因此可利用全等三角形对应边相等的性质，将AB的长度转化为可直接测量的线段长度。构造全等三角形有两种常见思路：一是找一个能同时到达A、B的公共点C，延长AC、BC得到等长线段，结合对顶角相等，用SAS判定三角形全等；二是通过作垂线得到相等的直角，截取等长线段，结合对顶角相等，用ASA判定三角形全等，即可得到与AB长度相等的可测线段。
【解析】
方案一：
在池塘外找一点C，使点C能直接到达A、B两点。连接AC并延长AC到点A'，使A'C=AC，连接BC并延长BC到点B'，使B'C=BC，测量出A'B'的长度，该长度即为A、B间的距离。
理由：在△ABC和△A'B'C中，
$\begin{cases}AC = A'C \\∠ ACB = ∠ A'CB' \\BC = B'C\end{cases}$
∴△ABC ≌ △A'B'C（SAS）
∴AB = A'B'（全等三角形的对应边相等）。
方案二：
过点B作AB的垂线，在这条垂线上取C、D两点，使BC=CD；过点D作BD的垂线DF，在DF上找一点E，使A、C、E三点在同一条直线上，测量出DE的长度，该长度即为A、B间的距离。
理由：在△ABC和△EDC中，
$\begin{cases}∠ ABC = ∠ EDC \\BC = DC \\∠ ACB = ∠ ECD\end{cases}$
∴△ABC ≌ △EDC（ASA）
∴AB = DE（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
通过上述任意一种构造全等三角形的方案，测量出对应可直接测量的线段（A'B'或DE）的长度，即可得到池塘岸边A、B两点间的距离。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、利用全等测距离
【点评】
本题是全等三角形在实际测量场景中的典型应用，核心是运用转化思想，将不可直接测量的线段长度转化为可直接测量的线段长度，考查对全等三角形判定、性质的灵活运用能力，以及结合实际场景设计操作方案的实践能力。
【难度系数】
0.7
变式训练2 | 如图，阳阳为了测量楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P，使$∠ APC=90°$，量得点P到楼底的距离PB与旗杆的高度CD都为10 m，旗杆与楼之间的距离DB=24 m，求楼高AB。
答案
解:由题意得$∠ CDP=∠ PBA=90°$。
又因为$∠ APC=90°$，
所以$∠ DCP+∠ DPC=∠ DPC+∠ BPA=90°$，
所以$∠ DCP=∠ BPA$。
在$△ CPD$和$△ PAB$中，
$\begin{cases}∠ CDP=∠ PBA, \\DC=PB, \\∠ DCP=∠ BPA,\end{cases}$
所以$△ CPD≌△ PAB(\mathrm{ASA})$，
所以$DP=AB$。
因为$DB=24\ \mathrm{m},PB=10\ \mathrm{m}$，
所以$AB=DP=DB-PB=24-10=14(\mathrm{m})$。
又因为$∠ APC=90°$，
所以$∠ DCP+∠ DPC=∠ DPC+∠ BPA=90°$，
所以$∠ DCP=∠ BPA$。
在$△ CPD$和$△ PAB$中，
$\begin{cases}∠ CDP=∠ PBA, \\DC=PB, \\∠ DCP=∠ BPA,\end{cases}$
所以$△ CPD≌△ PAB(\mathrm{ASA})$，
所以$DP=AB$。
因为$DB=24\ \mathrm{m},PB=10\ \mathrm{m}$，
所以$AB=DP=DB-PB=24-10=14(\mathrm{m})$。
解析
【分析】
要测量无法直接获取的楼高AB，可通过证明三角形全等将AB转化为易计算的线段。首先观察图形可知存在多个直角，结合∠APC=90°，可根据同角的余角相等得到一组相等的角，再结合已知的CD=PB和两个直角相等，即可用ASA判定两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到AB与DP的等量关系，最后通过线段和差计算DP的长度即可得到AB的高度。
【解析】
由题意得$∠ CDP=∠ PBA=90°$。
又因为$∠ APC=90°$，
所以$∠ DCP+∠ DPC=∠ DPC+∠ BPA=90°$，
所以$∠ DCP=∠ BPA$。
在$△ CPD$和$△ PAB$中，
$\begin{cases}∠ CDP=∠ PBA, \\DC=PB, \\∠ DCP=∠ BPA,\end{cases}$
所以$△ CPD≌△ PAB(\mathrm{ASA})$，
所以$DP=AB$。
因为$DB=24\ \mathrm{m},PB=10\ \mathrm{m}$，
所以$AB=DP=DB-PB=24-10=14(\mathrm{m})$。
【答案】
楼高AB为14 m。
【知识点】
全等三角形判定，全等三角形性质，利用全等测距离
【点评】
本题是利用三角形全等解决实际测量问题的典型题，解题核心是通过角的互余关系推导等角，结合已知边相等证明三角形全等，将未知的测量量转化为可直接计算的线段长度，体现了全等三角形在实际问题中的转化应用。
【难度系数】
0.8
要测量无法直接获取的楼高AB，可通过证明三角形全等将AB转化为易计算的线段。首先观察图形可知存在多个直角，结合∠APC=90°，可根据同角的余角相等得到一组相等的角，再结合已知的CD=PB和两个直角相等，即可用ASA判定两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到AB与DP的等量关系，最后通过线段和差计算DP的长度即可得到AB的高度。
【解析】
由题意得$∠ CDP=∠ PBA=90°$。
又因为$∠ APC=90°$，
所以$∠ DCP+∠ DPC=∠ DPC+∠ BPA=90°$，
所以$∠ DCP=∠ BPA$。
在$△ CPD$和$△ PAB$中，
$\begin{cases}∠ CDP=∠ PBA, \\DC=PB, \\∠ DCP=∠ BPA,\end{cases}$
所以$△ CPD≌△ PAB(\mathrm{ASA})$，
所以$DP=AB$。
因为$DB=24\ \mathrm{m},PB=10\ \mathrm{m}$，
所以$AB=DP=DB-PB=24-10=14(\mathrm{m})$。
【答案】
楼高AB为14 m。
【知识点】
全等三角形判定，全等三角形性质，利用全等测距离
【点评】
本题是利用三角形全等解决实际测量问题的典型题，解题核心是通过角的互余关系推导等角，结合已知边相等证明三角形全等，将未知的测量量转化为可直接计算的线段长度，体现了全等三角形在实际问题中的转化应用。
【难度系数】
0.8
